自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册

第一章 函数与极限

一、 选择题： 1．

函数

1

arccos

2

x y +=的定义

域是（ ） (A)

1

x ≤； (B)

31

x -≤≤；

(C)(3,1)-； (D){}{}131x x x x

3,401,03

x x x x --≤≤??+<≤?的定义域是

（ ）

(A)40x -≤≤；(B)3≤;(C)(4,3)-; (D){}{}4003x x x x -≤≤?<≤. 3、函数

cos sin y x x x

=+是（ ）

(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数

()1cos

2

f x x

π

=+的最小正

周期是（ ）

(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)12

. 5、函数2

1x x +在定义域为（ ） (A)有上界无下界； (B)有下

界无上界； (C)有界，且

112

2

()f x ≤≤

； (D)有界，且 2

22

1x x -≤≤+ .

6

、与()f x =等价的函数是

（ ）

(A) x ；

(B) 2

；

(C)

3

； (D) x .

7、当0

x →时，下列函数哪一

个是其它三个的高阶无穷小（ ）

（A ）2

x ； （B ）1cos x -；

（C ）tan x x -； （D ）ln(1)x +. 8、设0

,0,

a b

≠则当（ ）时有

10101010........lim .........m m m n n x n

a x a x a a

b x b x b b --→∞+++=+++ .

(A)m n > ； (B)m n = ；

(C)m n < ； (D),m n 任意取 .

9、设1,10,01

x x x x --<≤??

<≤?

,则0

lim ()x f x →=( ) (A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 .

10、0

lim x x

x →（ ） (A)1； (B)-1；(C)0； (D)不

存在.

二、求下列函数的定义域： 1sin(21)arctan ;y x x =++、 2

、

()x φ=三、 设2

(1)231

g x x x -=--

（1） 试确定,,a b c

的值

使 2

(1)(1)

(1)g x a x b x c

-=-+-+ ； （2） 求

(1)

g x +的表达

式 . 四、 求2()(1)sgn f x x x

=+的

反函数1()

f x -.

五、 求极限：

1、

22

21lim (1)n n n n →∞++- ； 2

、

3

x → ； 3、2

lim(1)x

x x →+ ； 4、1lim (1)

x

x x e

→∞

- ； 5、当

x ≠时，

limcos cos ........cos 242

n n x x x

→∞ ；

6

、

21sin

lim

x x →+∞

.

六、 设

有

函

数

sin ,1

()(1)1,1

ax x f x a x x

--≥?试确定

a

的值使

()

f x 在

1

x =连续 . 七、 讨

论

函

数

1arctan

1()sin

2

x x f x x

π

-=

的连续性，

并判断其间断点的类型 .

八、 证明奇次多项式： 21

20

121

()n n n P x a x

a x a ++=+++L 0(0)

a ≠至

少存在一个实根 .

第二章 导数与微分

一、 选择题： 1、函数()f x 在点0

x 的导数0

()

f x '定义为（ ） （A ）0

0()()

f x

x f x x

+?-?； （B ）0

00()()

lim

x x f x x f x x →+?-?；

（C ）0

0()()

lim

x x f x f x x →-?； （D ）0

00

()()lim

x x f x f x x x →--；

2、若函数()y f x =在点0

x 处的导数0

()0f x '=，则

曲线()y f x =在点(0

,()x f x )处的

法线（ ）

（A ）与x 轴相平行；（B ）与x 轴垂直；

（C ）与y 轴相垂直；（D ）与x 轴即不平行也不垂直：

3、若函数()f x 在点0

x 不连续，则()f x 在0

x ( )

（A ）必不可导； （B ）必定可导；

（C ）不一定可导； （D ）必无定义.

4、如果()f x =（ ），那么()0f x '=. (A) arcsin2arccos x x +；

(B) 2

2

sec tan x x +；

(C) 2

2

sin cos (1)x x +-；

(D) arctan x +arc cot x .

5、如果2

,0

()(1),0

ax

e x

f x b x x ?≤?=?

->??处处可导，那末（ ） （A ）1a b ==； （B ）2,1a b =-=-； （C ）1,0a b ==； （D ）0,1a b ==. 6、已知函数()f x 具有任意阶导数，且

[]2

()()f x f x '=,则当n 为大于2的

正整数时， ()f x 的n 阶导数()

()

n f

x 是（ ）

（A ）1![()]n n f x +； （B ） 1[()]n n f x +； （C ） 2[()]n

f x ； （D ）2![()]n

n f x . 7、若函数()x x t =,()y y t =对t 可导且()0x t '≠,又

()x x t =的反函数存在且可导，

则dy

dx =（ ）

（A ）()()y t x t '； （B ）()

()

y t x t '-'； （C ）()()y t x t ''； （D ）()()

y t x t '.

8、若函数()f x 为可微函数，

则dy （ ）

（A ）与x ?无关；

（B ）为x ?的线性函数；

（C ）当0x ?→时为x ?的高阶无穷小；

（D ）与x ?为等价无穷小. 9、

设函数()y f x =在点0

x 处可导，当自变量x 由0

x 增加到0

x

x

+?时，

记y ?为()f x 的增量，dy 为()f x 的

微分，0

lim x y dy x ?→?-?等于（ ）

（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）∞.

10、设函数()y f x =在点0

x 处可

导，且0

()0f x '≠，

则 0

lim x y dy x ?→?-?等于（ ）.

（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）∞ .

二、求下列函数的导数：

1、2

sin ln y x x =； 2、

cosh x

y a = （0a >）； 3、

2sec (1)x

y x =+ ； 4、

2

ln[cos(103)]

y x =+；

5、设y 为x

的函数是由方程

arctan

y

x

=确 定的；

6、设2

x y

y

=+，3

2

2

()

u x

x =+，求dy

du .

三、证明sin t

x e t =，cos t

y e t =满足

方程

22

2()2()

d y dy

x y x y dx dx

+=- .

四、已知

()cos ,0(),0

g x x

x f x x

a x -?≠?

=??=?其中

()

g x 有二阶连续导数，且(0)1g =，

1、确定a 的值，使()f x 在0X =点连续；

2、求()f x ' 五、设ln ,y x x =求()

(1)

n f .

的近似值 .

七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为

多少？

第三章 微分中值定理

一、 选择题： 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）

（A ） 它们都给出了ξ点的求法 .

（B ） 它们都肯定了ξ

点一定存在，且给出了求ξ的方法。