5外文翻译原文

Contents lists available at ScienceDirect , 2015, 528: 17-24.

半正定矩阵的乘积

Jianlian Cui , Chi-Kwong Li , Nung-Sing Sze

Department of Mathematics, Tsinghua University, Beijing 100084, PR China Department of Mathematics, College of William and Mary, Williamsburg,VA 23187, USA Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University,Hong Kong

摘 要 已知每个具有非负性决定因子的复方阵是正半定矩阵的乘积.在乘积中存在需要两个或五个半正定矩阵的矩阵的表征.然而，缺少乘积中需要三个或四个半正定矩阵的矩阵的表征. 在本文中，我们给出了这两种类型矩阵的完整表征.有了这些结果，我们给了一个确定方阵是否可以表示为k 半正定矩阵的乘积的算法,k = 1,2,3,4,5. 关键词 半正定矩阵，数值范围

1 介绍

令n M 为n n ?个复数矩阵的集合.在[3]中，作者表明，具有非负决定因子的n M 中的矩阵总是可以写成五个或更少的半正定矩阵的乘积.这是对[1]的结果的延伸，n M 中具有的决定因素的每个矩阵都是五个或更少正定矩阵的乘积.类似于[1]中的分析，[3]的作者研究那些可以表示为两个，三个或四个半正定矩阵的乘积.特别地，对于矩阵可以表示为两个半正定矩阵的乘积，也有人表示不是zI 形式的任何矩阵，其中z 不是非负数，可以写成四个半正定矩阵的乘积.此外，[3，定理3.3] 已被证明.如果应用单

一相似性来改变方阵形式12*0n T T M T ??=∈??

??，使得1T 是可逆的，2T 是零矩阵，并且如果1T 是三个正定矩阵的乘积，则T 可以表示为三个半正定矩阵的乘积.反之并不如此.以下示例显然不是这样.

例题1.1让9900T --??=????,那么9313151132151811T -??????

=??????

-??????是三个半正定矩阵的

乘积. 然而1[9]T =-不是它的乘积三个正定矩阵，因为1det()0T <.

当然，可以强制1det()0T >这个明显必要条件推测是否符合额外的假设. 然而，通过修改示例1.1

2

221222322299()()()00I

I T I A I A I A I --??

?==???????

, 使用因式分解123T A A A =.在修改示例中，我们有129T I =-和220T =.由[1，定理4]，

129,T I =-是不小于5的正数的乘积确定矩阵.

在下一节中，我们将给出可以写为三个半正定矩阵的乘积的矩阵的完整表征，此外，我们添加一个必要和足够的可逆矩阵的条件，可以写成三个正定矩阵的乘积. 通过这些结果，可以使用给定矩阵的Jordan 形式及其数值范围来决定是否可以表示为二，三，四或五个半正定矩阵的乘积.

2 三个半正定矩阵的乘积

我们将证明以下内容.

定理2.1.假设120T R T T ??

=????

使得1T 是可逆的. 那么T 是三个半正定矩阵的乘积，当且仅当满足以下条件：

2()00.a R T ≠≠或

2()0,0,b R T ≠=1T 是三个正定矩阵的乘积. 我们通过一些引理来证明定理2.1

引理2.2 令,n A S M ∈，使得S 是可逆的.那么当且仅当 * S AS 是时，A 是奇数个半正定矩阵的乘积.

在下一个引理中，我们需要矩阵n A M ∈的数值范围的概念被定义为

{}

()*:,*1.n W A x Ax x C x x =∈=

数值范围是研究矩阵的有用工具. 可以看到[2，第1章]为数值范围的基本属性.

引理2.3 假设100p T R T ??=???

?使得1m T M ∈是可逆的，并且R 是非零的.那么T 是三个

半正定矩阵的乘积.

证明：首先，我们表明存在一个p m ?矩阵S ，使得1T RS +是三个正定矩阵的乘积.

如果1m =，则存在p S C ∈，使得10T RS +>.假设1m >并且R 具有奇异值分解

*

*

111k k k

R s x y s x y =+

+，其中1,...,k s s 是非零奇异的R 和1,...,m k x x C ∈和1,..,p k y y C ∈是相应的右和左单位奇异向量. 让{}1,...,m e e 是m C 的标准基.取一个U ，使11Ux e =. 由于

1T 是可逆的，所以*11?T UTU =也是可逆的. 假设*1?t 是1T 的第一行. 令12?v t e ε=+，并且1

?()T ε是通过用*v 替换其第一行而从1T 获得的m m ?矩阵. 取足够小0ε>，使得v 不是1e 的倍数，矩阵1

?()T ε仍然是可逆的. 令1*11i S s re y v U θ

-=且0r >，[0,2)θπ∈.且

****1111

?().i U T RS U UTU URSU T re e v θ+=+=+ 由于v 不是1e 的倍数，所以矩阵*1e v 的秩不正常，因此*1()W e v 是具有焦点0和1

v

0>，其中1v 是v 的第一个条目; 例如，见[2，

定理1.3.6]. 由于图()X

W X 是连续的，对于足够大的0r >，

*11

?(/)i W e v e T r θ-+ 仍然包含0作为任何[0,2)θπ∈的内点.那么令

*

*

1111??()().i i i e W T re e v re W e v T r

θ

θ

θ

-+=+ 此外，可以选择值r 使得11

??det()/det(())r T T ε>. 现在由行列式相对于第一行的线性度，

**111111

???det()det(())det()det()det(())i i T RS U T RS U T re e v T re T θθε+=+=+=+ 因为11

??det()det(())i T re T θε<，存在[0,2)θπ∈，使得1det()0T RS +>.通过[1，定理3](另见命题2.4)，1T RS +是三个正定矩阵的乘积.

最后，请注意

*10000

00

m

m

p p p p T R I T RS

R I S T S I I +????????

==???????????

?????

?? 由[3，定理3.3]，T 是三个半正定矩阵的乘积，T 也是引理2.2.

定理证明2.1，假设T 是三个半正定矩阵的乘积.如果0R ≠或20T ≠，那么我们完成了.否则，10p T T =⊕是三个半正定矩阵的乘积.由[3，命题3.5]，1T 是三个正定矩阵的乘积.

为了证明相反，我们考虑以下三种情况.

情况1：假设0R ≠我们使用p 上的感应，2T 的大小.如果1p =，则结果从引理2.3得到：2[0]T =. 假设2T 的大小最大为1p -的结果.由于2T 是无效的，不失一般性，

我们可以假设2T 是上三角矩阵，2122200T T T ??

=????

，其中211p T M -∈. 写12[]R R R =其中1R 是(1)m p ?-. 如果10R ≠，矩阵11210T R T ??????

是一种三个半正定矩阵的乘积，例如123PP P . 此外，通过[3，定理2.2](另见命题3.1)，我们可以假设12P P 和都是可逆的.

令222(1) 1.R X m p T ??

=+-?????

对于任意的U ，0>ε

1

13

12321111*

10000000()

1P P PP P P P X T P X εεεε----????????==???????????????? 显然，11[0]Q P =⊕和1

33[]Q P ε-=⊕是半正定矩阵.现在可以选择一个足够小，使

0ε>,1

2121*

1()

1P P X Q P X εε--??=???? 也是半正定. 因此，T 是三个半正定矩阵123QQ Q 的乘积.

现在假设10R =，那么T 的第() 1m +列是零列. 通过交换第() 1m +和最后一个索

引，可以看到T 是排列相似于121

2200000T R

T T ???

?

?????

?

,其中

2122(1),(1)(1),11R m p T p p T p ?--?-?-是是是（）

还要注意，R 非零，21T 是无效的. 通过归纳，1210T R T ??

????

是三个半正定矩阵123PP P 的乘

积. 由[3，定理2.2]，我们可以进一步假定2P 和3P 都是可逆的. 令220Y T ??=??，那么任意0ε>，

11*

1

3123

23

21111

3220000()0000

0()100T R

P P PP P P YP T Y

YP T εεεε----???????????

?==????????????????

??????

再次，可以选择一个足够小的0ε>，使得上述方程左侧的所有三个矩阵都是半正定的. 因此，T 是排列相似的到三个半正定矩阵的乘积，因此T 也可以写成三个半正定矩阵的乘积.

情况2：假设 0R =，2T 是非零. 在不失一般性的情况下，我们可以假设2T 是具

有零对角线条目的上三角形，而2T 的第一行是非零的.令0m

p I S Z

I ??

=?

???

，那么 **1*1

2220000

0m

m

p p I T I

Z T Z T S TS Z I T I T ????

????==????????????????

??. 情况3：假设 0R =，20T =.如果1T 是三个正定矩阵的乘积，则10p T T =⊕是三个半正定矩阵的乘积.

注意，定理2.1取决于检查可逆矩阵是三个正定矩阵的乘积. 这种条件在[1，定理3]中给出. 我们根据以下命题的数值范围重新得出结果，该方法基于[1，定理3和事实3.2]中的讨论.

命题2.4 令n T M ∈使得() 0det T >.然后，当且仅当以下之一成立时，T 是三个正定矩阵的乘积.

（a ）()W T 包含0作为内点.

（b ）()W T 包含正数， T 的特征值的参数可以被排列成：

11-...0n

n j j πθθπθ=<≤≤<=∑使得.

请注意，在[1，p. 88]，作者在条件(3.6b)条件(3.6b)中要求对应于我们的条件(b)，T 的所有实际特征值都是正的，这是通过我们假设所有j 的(,)j θππ∈-来保证的.

3 确定因素的数量

在本节中,我们描述了一种算法,用于确定乘积等于给定的n A M ∈与非负决定子的半正定矩阵的最小数量.

我们首先提出以下定理,为矩阵A 的乘积提供一些简单的测试, 两个半正定矩阵满足条件(a),(b),(c)的等价性在[3，定理2.2]中给出.包括一个简短的证明.

命题3.1 令A 为方阵. 以下是等同的. (a)A 是两个半正定矩阵的乘积.

(b)=A BC ，其中,B C 是半正定矩阵，使得B 或C 是可逆的.

(c)A 相似于非负对角矩阵.

(d)A 与上部块三角矩阵整体相似，使得对角线块是对应于不同标量的标量矩阵. (e)A 的最小多项式只有简单的非负数. 证明：(c)(d)(e)已是显然.

111**11**()():()()()()c b A S DS S S S DS S D S S S -----?===

()()b a ?：显然.

()()a c ?:假设=A BC ,其中,B C 是n n ?半正定. 令U 为酉矩阵，使

*00k U BU B =⊕，其中0n k B M -∈为正定矩阵. 让1112*2122C

C U CU C C ??=??

??. 假设V 是一个整数，使得对于正定矩阵*1100e V C V C =⊕. 我们可以用()U V I ⊕代替U ，并假设

1100e C C =⊕.因为C 是半正定的，0

1*1

2200

000

e C C C C C ????=??????

,那么 0

10

100*

*1

2200000000000

0000

00

0e e k k k C C C

C B B U AU C C ????

????????==?

?????????????????

?

?

,

1

1

11

01010122

00

11

220000

000000000000000

000

0000000e k k k k k k k e E C C C C E

C C B B B E E E E E E C B B ---????-??????

??????????????????????????

???????

???????????=⊕??

??（）

因此，A 相似于11

220

00000k e C

B B ??⊕????

（，它是半正定的，并且是相似于非负对角矩阵.

现在，我们准备提出一个算法来检查具有det ()0,A ≥的矩阵n A M ∈是否可以被写为k 个正半矩阵的乘积，但1,2,3,4,5k ≠.

算法3.2 令n A M ∈,det ()0,A ≥如果n A I α=，使得[0,)α?+∞,则A 可以表示为五

个半正定矩阵的乘积.否则,应用与A 的酉矩阵相似得到上三角矩阵120

T R T T ??

=?

???

,使得1T 是可逆的,2T 是无效的.

(1)如果T 是非负对角矩阵，那么T 本身就是一个半正定矩阵.

(2)条件(1)不成立，A 满足命题3.1中的任何一个等效条件. 那么A 可以表示为两个半正定矩阵的乘积.

(3)假设(1)和(2)不成立. 那么A 可以表示为三个半正定矩阵的乘积，但不限于以下任何一个.

(3.a)R 或2T 不为零.

(3.b)0R =和20T =，1T 是三个正定的乘积矩阵.

在(3.b)中，如果以下之一成立，则可逆矩阵1T 是三个正定矩阵的乘积. (i)1det 0,T ≠，1()W T 包含0作为内部点，

(ii)0不在1()W T 的内部，1()W T 包含正数，j θ∑，其中12k πθθθπ-<≤

1T 的特征值的参数.

（4）假设条件(1),(2),(3)不成立，即1=0p T T ⊕，使得上三角矩阵1T 对于(i)和(ii)均不成立,那么A 可以表示为四个半正定矩阵的乘积.

4 致谢

作者要感谢裁判仔细阅读手稿，崔先生的研究得到了国家自然科学基金委的支持，是滑铁卢大学量子计算研究所的附属成员.他也是上海大学著名教授；他的研究由美国NSF 授权DMS 1331021，西蒙斯基金会赠款351047和中国11571220的NNSF 拨款支持.Sze 的研究得到了香港RGC 授予理大502512及理大中央研究资助G-UC25的支持.

5 参考文献

[1] C.S. Ballantine, Products of positive definite matrices. IV, Linear Algebra Appl. 3 (1970) 79–114.

[2] Horn Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

[3] P.Y. Wu, Products of positive semidefinite matrices, Linear Algebra Appl. 111 (1988) 53–61.