《空间图形的初步认识》单元测试1
第7章空间图形的初步认识
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列关于棱柱的说法：
①棱柱的所有面都是平面；
②棱柱的所有棱长都相等；
③棱柱的所有侧面都是矩形；
④棱柱的侧面个数与底面边数相等；
⑤棱柱的上、下底面形状相同、大小相等.
其中正确的有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）
3.如图所示,一个几何体上半部为正四棱锥,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色,
下列图形中,是该几何体的表面展开图的是（）
4.已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）
A.π
B.4π
C.π或4π
D.2π或4π
5.将一个正方体沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪的棱的条数是
（）
A.5
B.6
C.7
D.8
6.如图所示是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（）
7.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为（ ）
A.2
B.4
C.2π
D.4π
8.如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（ ）
A.9
B.339-
C.3259-
D.3239-
9.若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥母线长l 与底面半径r 之间的函数关系的是（ ）
A. B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
10. 如图，把一个半径为12 cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形
制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是cm．
第11题图
11. 圆锥底面圆的半径为3 cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为．
12. 已知一个圆锥形零件的母线长为3 cm，底面圆的半径为2 cm，则这个圆锥
形零件的侧面积为cm2．（用π表示）
13. 如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆
锥的母线长是．
14. 用半径为9 cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为
错误！未找到引用源。cm．
15. 一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积
是.
16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC所在直线旋转
一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是．
17. 如图是一个圆锥形的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5 cm，母线长
为15 cm，那么纸杯的侧面积为cm2．（结果保留π）
三、解答题（共46分）
18.（6分）如图，有一个圆柱形容器，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内
壁离容器底部0.3 m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为多少（容器厚度忽略不计）？
19.（8分）如图为圆锥形和圆柱形两个容器，它们的底面半径的比是2∶3，高
的比是3∶2，现在每次用圆锥形容器装满水往圆柱形容器里倒，这样进行若干次后，圆柱形容器满了，圆锥形容器中还剩下200毫升的水，请问圆锥形容器和圆柱形容器的容积分别是多少毫升？
20.（8分）如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为4 cm，在圆柱下底面的点A
处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点B处的食物，已知四边形ADBC的边BC，AD恰好是上、下底面的直径．
问：蚂蚁至少要爬行多少路程才能吃到食物？
21. （8分）某工厂为高压锅厂做铁皮烟囱配件，配件
如图所示由一个圆锥和一个圆柱构成（圆锥做盖，圆柱做出烟管）．圆锥的底面半径PQ为20 cm，母线长MQ为25 cm；圆柱的底面半径ON为15 cm，高OH 为40 cm．现在要做100个这样的配件要用多少平方厘米铁皮？（结果保留整数）
22.（8分）已知圆柱OO1的底面半径为13 cm，高为10 cm，一平面平行于圆柱OO1的轴OO1，且与轴OO1的距离为5 cm，截圆柱得矩形ABB1A1．
（1）求圆柱的侧面积与体积；
（2）求截面ABB1A1的面积．
23.（8分）李老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三
个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.（从左到右，一次是图（1）、（2）、（3）、（4））
（1）如图（1），正方体的棱长为5 cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点C1处；
（2）如图（2），正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为6 cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的点A处沿着棱柱表面爬到点C1处；
（3）如图（3），圆锥的母线长为4 cm，圆锥的侧面展开图如图（4）所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A处出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A处．
（1）（2）（3）（4）
参考答案
1.B 解析：①棱柱的所有面都是平面，正确；
②棱柱的侧棱长都相等，而所有棱长不一定都相等，错误；
③棱柱的所有侧面都是平行四边形，错误；
④棱柱的侧面个数与底面边数相等，正确；
⑤棱柱的上、下底面形状相同、大小相等，正确．故选B．
2. A
3. B 解析:选项A和C能折成原几何体的形状，但涂颜色的面是底面，与原几
何体的涂颜色面的位置不一致；选项B能折叠成原几何体的形状，且涂颜色的面的位置与原几何体一致；选项D不能折叠成原几何体的形状.
4. C 解析：本题考查了圆柱的侧面展开图，注意分底面周长为4π和2π两种
情况讨论，先求得底面圆的半径，再根据圆的面积公式即可求解．
①底面周长为4π时，半径为4π÷π÷2=2，底面圆的面积为π×22=4π；
②底面周长为2π时，半径为2π÷π÷2=1，底面圆的面积为π×12=π．
5.C 解析：如果把一个正方体剪开展平的图画出来，发现有5条棱没剪（没剪
的棱为两个正方形的公共边），正方体总共有12条棱，所以至少需要剪的棱的条数是12-5=7．
6.A 解析：选项A能折叠成原长方体的形状；选项B和C把完全相同的面连
在了一起，不能折叠成原长方体的形状；选项D把原长方体的上下两个底面都放在了上面，不能折叠成原长方体的形状．故选A.
7. D 解析：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长
是底面圆的周长，即2π，宽为母线长，即2，所以它的面积为4π．故选D．本题考查了圆柱的有关计算，掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点，是解决此类问题的关键．
8.B 解析：这个棱柱的侧面展开图是一个长方形，长为3，宽为3减去两个
三角形的高，再用长方形的面积公式计算即可解答．
∵将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，
∴这个棱柱的底面边长为1，高为1.
∴侧面为长为3，宽为3的长方形，∴侧面积为9﹣33．
故选B ．
9.D 解析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥母线长l 与底面半径r 之间的函数关系，看属于哪类函数，找到相应的函数图象即可．
由圆锥侧面积公式可得l =π10r
，属于反比例函数．故选D ． 10.4 解析：首先求得圆的周长，利用三等分求得扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长求得底面的半径即可．
∵ 把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，
∴ 扇形的弧长为13
×2π×12=8π(cm). ∵ 扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴ 2πr =8π，解得r =4 cm.
11. 6 cm 解析：设圆锥侧面展开图所在圆的半径为R ，因为圆锥底面圆的周长为C =2πr = 6π cm ，所以圆锥侧面展开图半圆的弧长为πR =6π cm ，所以R =6 cm.因为圆锥的母线长等于侧面展开图所在圆的半径，即母线长为6 cm.
12. 6π 解析：先计算出底面圆的周长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用扇形的面积公式进行计算即可．
∵ 底面圆的半径为2 cm ，
∴ 底面圆的周长=2π?2=4π（cm ），
∴ 圆锥形零件的侧面积=1/2?4π?3=6π（cm 2）．
13.30 解析：圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
将弧长l =20π，n =120代入扇形弧长公式π180
n r l
中， 得20π=120π180r ，解得r =30． 14. 62 解析：已知半径为9 cm ，圆心角为120°的扇形，就可以求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径．因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形，所以可以根据勾股定理求出圆锥的高．
扇形弧长为l=120π9
180
=6π（cm），设圆锥底面半径为r，则2πr=6π，
所以r=3 cm.
因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形，设圆锥的高为h，所以h2+r2=92，即h2=72，h=62错误！未找到引用源。cm，所以圆锥的高为62错误！未找到引用源。cm．
15. 5π解析：利用圆锥的底面半径求得圆锥的底面积、侧面积，两者相加即
可得到圆锥的全面积．
∵圆锥底面半径为1，
∴圆锥的底面积为π，侧面积为πrl=π×1×4=4π，
∴全面积为π+4π=5π．
16.2 0π解析：运用公式S=πrl（其中用勾股定理求得母线长l为5）求解．由已知得，母线长l=5，半径r为4，
∴圆锥的侧面积是S=πrl=π×4×5 =20π．
17. 75π解析：纸杯的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即
可．纸杯的侧面积为π×5×15=75π（cm2）.
18. 分析：将容器侧面展开，取点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最
短可知A′B的长度即为所求．
解：如图所示：
∵高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部
0.3 m的点B处有一只蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子
相对的点A处，
∴将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
可得A′D=0.5 m，BD=1.2 m，A′B= = =1.3（m）．
19.解：圆锥形容器和圆柱形容器的底面半径比为2∶3，则底
面积比为22∶32=4∶9，
圆锥形容器和圆柱形容器的高的比为3∶2，
则圆锥形容器与圆柱形容器的体积比为
则圆柱形容器的体积是圆锥形容器体积的，需倒5次圆柱形容器即满，圆锥形容器的容积为=400（毫升），
圆柱形容器的容积为（毫升）.
答：圆锥形容器的容积是400毫升，圆柱形容器的容积是1 800毫升．20. 解：把圆柱侧面沿着直线AC剪开，得到矩形如下：
第20题答图
则AB的长度为所求的最短距离，
根据题意知圆柱的高为10 cm，底面半径为4 cm，
则可以知道AC=10 cm，BC=底面周长，
∵底面周长为2πr=2×π×4=8π（cm），
∴BC=4π cm.
根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2，
即AB2=102+（4π）2，
∴AB=cm．
答：蚂蚁至少要爬行cm才能吃到食物．
21.解：圆锥底面周长为2π×20 =40π（cm），
圆锥侧面积为×40π×25=500π（cm2），
圆柱底面周长为2π×15 =30π（cm），
圆柱侧面积为30π×40=1200π（cm2），
100个配件所需的铁皮为100×（500π+1200π）≈534 071（cm2）．
答：做100个这样的配件约需要534 071 cm2的铁皮．
22. 解：（1）因为圆柱OO1的底面半径为13 cm，高为10 cm，
所以圆柱的侧面积为2πRh=2π×13×10=260π（cm2）．
体积为πR2h=π×132×10=1690π（cm3）．
（2）在上底面圆中知O1到A1B1的距离为5 cm，
利用勾股定理得截圆柱所得矩形ABB1A1的上底边长为24 cm，
所以截面ABB1A1的面积为10×24=240（cm2）．
23. 解：（1）将面ABB1A1与面BCC1B1展开在一个平面上，可得
AC==.
1
（2）分两种情况：
①将面ABB1A1与面BCC1B1展开在一个平面上，可得
AC===.
1
②将面ABB1A1与面A1B1 C1D1展开在一个平面上，可得
AC==.
1
∵>最短路程为cm.
（3）由已知得所求的最短路程为图（4）中线段AA1的长度：AA1=.