初二数学上册培优辅导讲义人教版

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.

3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.

经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两

边的反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】

01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：

⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角

是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.

【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．

⑴求∠EOF 的度数；

⑵写出∠BOE 的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2

1

∠BOC ，∠FOC ＝

21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2

1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21

又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2

1×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .

【变式题组】

01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）

A ．20°

B ． 40°

C ．50°

D ．80°

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .

【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上

的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线

段.

【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】

01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ）

A ．4cm

B ． 5cm

C ．不大于4cm

D ．不小于6cm

A B

C D E F A

B C D

E

F P

Q R C

E F E A B

C

D O （第1题图）

1 4 3

2 （第2题图）

l 2

02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ． 【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.

03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：

∠1和∠3：

∠1和∠6：

∠2和∠6： ∠2和∠4：

∠3和∠5：

∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所

在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

F B A O

C D E C D B A E

O B A

C D O A B

A E D

C F E B

A

D 1 4 2 3 6 5

【变式题组】

01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同

旁内角共有（ ）

A ．4对

B ． 8对

C ．12对

D ．16对

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.

03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）

A ．∠1和∠2是同旁内角

B ．∠3和∠4是内错角

C ．∠5和∠6是同旁内角

D ．∠5和∠7是同旁内角

【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?

⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°

⑶∠ACD ＝∠BAC

【解法指导】图中有即即有同旁内

角，有“ ”即有内错角.

【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两

直线平行.

⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁

内角互补，两直线平行.

⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两

直线平行.

【变式题组】

01．如图，推理填空.

⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）

∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠

CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． A

B

D

C

H

Ｇ E F

7 1 5 6 8 4 1 2 乙

丙 3 2 3 4 5

6 1 2

3 4

甲 1 A B C 2 3 4 5

6 7 A B C D

O

A B E F

C

A

B

C

D

E

A B C

E

1 2

04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF . 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个

角小于31°.

【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，

此时的图形为图⑵.

证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°

则12×31°＝372°＞360°

这与一周角等于360°矛盾

所以这12个角中至少有一个角小于31°

【变式题组】

01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.

02．在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…，a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3，

a 3⊥a 4，a 4∥a 5……那么a 1与a 2010的位置关系是 .

03．已知n （n ＞2）个点P 1，P 2，P 3…Pn .在同一平面内没有任何三

点在同一直线上，设S n 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S 2＝1，S 3＝3，S 4＝6，∴S 5＝10…则Sn ＝ .

演练巩固·反馈提高 01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角 D ．α与∠ACF 互补

02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为

（ ）

A ．∠AMF

B ．∠BMF

C ．∠ENC

D ．∠END

03．下列语句中正确的是（ ）

A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B ．过直线上一点的直线只有一条

C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D ．垂线段就是点到直线的距离

04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）

①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段

AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD

A B C D E F

l 1

l 2 l 3 l 4 l 5 l 6

图⑴ l 1 l 2 l 3

l 4 l 5 l 6 图⑵ A E

B C F D A B

C D

F

E

M

N α 第1题图 第2题图

A

B D C

第4题图

＞BD

A．0 B． 2 C．4 D．6

05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）

A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ .

07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）

09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，

②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的

序号是 .

10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .

11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？

12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1

＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：

⑴∵∠A＝（已知）

∴AC∥ED（）

⑵∵∠2＝（已知）

∴AC∥ED（）

⑶∵∠A＋＝180°（已知）

∴AB∥FD．

14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．

A

B

C

D

O

A

B C

D

E

F

G

H

a

b

c

第6题图第7题图第9题图

1

2

3 4

5

6

7 8

1

A

C D

E

B

A B

C D

E

F

1

2

A

B C

D

E

F

第14题图

培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有

__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？

09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ） A ．60° B ． 75° C ．90°

D ．135° 10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足

下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；

⑵总共有29个交点.

第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译

1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直

线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.

经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数. 【解法指导】

两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等；

两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.

【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)

a b A

B C

∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°

【变式题组】

01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC

的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°

02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）

A ． 50°

B ． 55°

C ． 60°

D ．65°

03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B

的度数.

【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.

【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝

90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°

【变式题组】

01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝

_______________

02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点

O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________

03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求

∠NMP 的度数.

【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】

因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要

证明∠1＝∠3.

证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴

DB ∥EC （同位角相等?两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线

平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） A

B C

D

O

E F

A

E

B

C （第1题图） （第2题图） E

A F G

D

C B B

A M

C

D N P （第3题图）

D

E F

3

2

D

A 2 E

1 B C B F E A C D 【变式题组】 01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG 02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB

03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论

的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】

01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．

02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠

ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF . AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.

A D M C N E

B G

B 3

C A 1

D 2

E F （第1题图） A

2 C F

3 E D 1

B

（第2题图）

3 1 A

B G D

C E

α β

P B A ∠P ＝α＋β

3 2

1 γ 4

α β E B A

F H F γ D

α β E B C A

F D E

B

C A B C

A

A ′ l

B ′

C ′

【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同

一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同

旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2

＝∠4＋ψ＝180°

【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）

A ． ∠β＝∠α＋∠γ

B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°

C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°

D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠AB

E 和∠CDE 的平分线相交于点

F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.

【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.

【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在

l 截取BB /＝AA /,则点B /

就是的B 对应点，用同样的方法B A

P C A C C D A A P C B D P

B

P

D B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ F

E D 2 1 A

B C

西

B 30° A

北

东

南

作出点C 的对应点C /.连接A /

B /

，B /

C /

，C /

A /

就得到平移后的三角形A /

B /

C /

.

【变式题组】

01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.

02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝

4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /

的位置，若平移距离为3, 求△ABC

与△A /B /C /

的重叠部分的面积.

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的

距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）

演练巩固 反馈提高

01．如图，由A 测B 得方向是（ ）

A ．南偏东30°

B ．南偏东60°

C ．北偏西30°

D ．北偏西60°

02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线

平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相

同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°

D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°

04．下列命题中，正确的是（ ）

A ．对顶角相等

B ． 同位角相等

C ．内错角相等

D ．同旁内角互补

05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是

通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]

从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④

06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南

偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）

A ．北偏东52°

B ．南偏东52°

C ．西偏北52°

D ．北偏西38° B B /

A

A /

C C /

07．下列几种运动中属于平移的有（）

①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略

车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.

A．1种B．2种C．3种D．4种

08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它

正好位于左上角的位置（不能出格）

09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）

10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分. 11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.

⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；

⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.

12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.

⑴互补的角是邻补角；

⑵两个锐角的和是锐角；

⑶直角都相等.

13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多

少度？并说明理由.

D

A

B C

E

D

B C

E

D A

B C

E

D A

B C

E

A B C

E

湖

4

3 2 1 A

B

E F C D

14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？ 15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.

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01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有

25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三

角形共有（ ）个 02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上

时，平移的距离是___________,平移的方向

是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];

将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1

[即阴影部分如图⑵]; ⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个

单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影. ⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.

⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小

1个单位），请你猜想空白部分草地面积C

B 1

A

A 1

C 1

D 1

B

D . B . O

. A