独立重复试验与二项分布

1．n 次独立重复试验

一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布

前提在n 次独立重复试验中

字母的含义

X 事件A 发生的次数 p

每次试验中事件A 发生的概率

分布列 P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －k

，k ＝0，1，2，…，n 结论随机变量X 服从二项分布记法

记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率

明确该公式中各量表示的意义：n 为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A 发生的概率；k 是在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n 次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．( ) (2)n 次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同．( ) (3)二项分布与超几何分布是同一种分布．( ) (4)两点分布是二项分布的特殊情形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ? ??

??6，13，则P (X ＝2)等于( )

A.316

B.4243

C.13243

80243

答案：D

任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ) A.34 B.38 C.13 D.14

答案：B

设随机变量X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝5

9，则p ＝________．

答案：13

探究点1 独立重复试验的概率

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3

4，假设每次射击是否击中目标，

相互之间没有影响．(结果须用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．

【解】 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝19

(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 2

2×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，

由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝1

1．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率？

解：记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 1

2×23×13＝

49，P (B 3)＝38

，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P (A 3B 3)＝49×38＝16

2．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率？

解：记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 0

2(1－23)2＝19，P (B 4)

＝C 22(34)2

＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116

独立重复试验概率求法的三个步骤

1.某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中A －

发生k 次

的概率为( ) A ．C k n p k

(1－p )

n －k

B ．(1－p )k p

n －k

C ．(1－p )k

D ．C k

n (1－p )k p

n －k

解析：选D.由于P (A )＝p ，P (A )＝1－p ，所以在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为C k

n (1－p )k p

n －k

.故选D.

2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．解：(1)记“预报一次准确”为事件A ，则P (A )＝0.8.

5次预报相当于5次独立重复试验． “恰有2次准确”的概率为

P ＝C 25×0.82×0.23

＝0.051 2≈0.05，

因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为

P ＝C 05×0.25＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72.

所以所求概率为1－P ＝1－0.006 72≈0.99.

所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 探究点2 二项分布

抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P 的横坐标，另一枚的点数为点P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P 在圆x 2

＋y 2

＝16内的次数X 的分布列．

【解】由题意可知，点P 的坐标共有6×6＝36(种)情况，其中在圆x 2

＋y 2

＝16内的有点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，则点P 在圆x 2＋y 2

＝16内的概率为836＝29

由题意可知X ～B ? ????3，29，所以P (X ＝0)＝C 03

? ????290×? ????793

＝

343729

，

P (X ＝1)＝C 13

? ????291×? ????792

＝98

243

，

P (X ＝2)＝C 23

? ????292×? ????791

＝28

243

，

P (X ＝3)＝C 33

? ????293×? ????790

＝8729

故X 的分布列为

X 0 1 2 3 P

343729

98243

28243

8729

解决二项分布问题的两个关注点

(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k

(1－p )

n －k

(k ＝0，1，2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时

才能运用，否则不能应用该公式．

(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．

1.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的

概率，那么k 的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：选C.事件A ＝“正面向上”，发生的次数ξ～B ? ????5，12，由题设得C k 5? ????125

＝C k ＋15? ??

??125

，所以k ＋k ＋1＝5，所以k ＝2.

2．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1

，质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率是( )

A.? ????125

B ．

C 25

? ??

??125

C ．C 33

? ??

??123

D ．C 25C 35

? ??

??125

解析：选 B.质点P 由原点移动到(2，3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率即为质点P 的5次移动中恰有2次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是12，所以向右移动的次数X ～B ? ??

??5，12，所以所求的概率为P (X ＝2)＝C 25

? ????122? ????123＝C 25? ??

?125

究点3 二项分布的综合应用

袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X 的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．

【解】 (1)有放回抽样时，取到的黑球的次数X 可能的取值为0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X ～B ? ??

??3，15，则 P (X ＝0)＝C 03

×? ????150×? ????453

＝64

125

，

P (X ＝1)＝C 13

×? ????151×? ????452

＝48

125

，

P (X ＝2)＝C 23

×? ????152×? ????451

＝12

125

，

P (X ＝3)＝C 33

×? ????153×? ????450

＝1125

所以X 的分布列为

X 0 1 2 3 P

64125

48125

12125

1125

(2)则P (Y ＝0)＝C 02C 3

8C 310＝7

15，

P (Y ＝1)＝C 12C 2

8C 310＝7

15，

P (Y ＝2)＝C 22C 18C 310＝1

15.

所以Y 的分布列为

Y 0 1 2 P

715

115

二项分布实际应用问题的解题策略

(1)根据题意设出随机变量． (2)分析出随机变量服从二项分布．

(3)找到参数n (试验的次数)和p (事件发生的概率)．

(4)写出二项分布的分布列．

在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需

在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为1

(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；

(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．

解：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立．所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝1

(2)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4. 且X ～B (4，1

)．

所以P (X ＝k )＝C k 4(12)k (1－12)4－k ＝C k 4(12)4

(k ＝0，1，2，3，4)．

所以随机变量X 的分布列为

X 0 1 2 3 4 P

116

1．某人投篮一次投进的概率为2

，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，

那么他投进的次数ξ服从参数为? ????6，23的二项分布，记为ξ～B ? ??

??6，23，计算P (ξ＝2)＝( ) A.20

243 B.8243 C.4

729

D.427

解析：选A.根据二项分布概率的计算公式可得，P (ξ＝2)＝C 26

? ????232

? ????1－234

＝

20243

，故选A.

2．一名射手对同一目标独立地射击四次，已知他至少命中一次的概率为80

81，则此射手一次

射击命中的概率为( )

A.13

B.23

C.14

D.25

解析：选

B.设此射手射击四次命中次数为ξ，

一次射击命中的概率为p ，所以ξ～B (4，p )．依题意可知，P (ξ≥1)＝80

81，

所以1－P (ξ＝0)＝1－C 0

4(1－p )4

＝8081

，所以(1－p )4

＝181，

所以p ＝2

3．某市公租房的房源位于甲、乙、丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为________．

解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请甲片区房源记为A ，则P (A )＝13，恰有2人申请甲片区的概率为P ＝C 2

4·? ????132·? ????232＝827.

答案：8

4．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为2

求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．

解：设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A ，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B 1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件，则P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23×(23)2×13×C 03×(12)3＋C 33×(23)3×C 1

3×(12)3＝16，

所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为1

知识结构

深化拓展

1.独立重复试验的基本特征 (1)每次试验都在同样条件下进行．

(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．

(3)各次试验之间相互独立．

(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的． 2．n 次独立重复试验的概率公式中各字母的含义

[A 基础达标]

1．某学生通过英语听力测试的概率为1

3，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的

概率是( ) A.49 B.29 C.427

D.227

解析：选A.记“恰有1次获得通过”为事件A ，则P (A )＝C 13(1

3)·(1－13)2＝49

.故选A.

2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，1

2)，则P (ξ≤3)等于( )

A.1132

B.732

C.2132

D.764 解析：选C.P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C 0

6×(12)6＋C 16·(12)6＋

C 26·(12)6＋C 3

6·(12)6＝2132

.故选C.

3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2

3，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )

A.827

B.6481

C.49

D.89

解析：选A.当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙

赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23(23)2

(1－23)×23＝3×49×

13×23＝8

，故选A. 4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是1

2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通

过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4

D ．3

解析：选C.由1－C 0

n ? ????12n

>0.9，得? ??

??12n

<0.1，所以n ≥4. 5．袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，

a n ＝????

?－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球

，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )

A ．C 57×(13)2×(23)5

B ．

C 2

7×(23)2×(13)5

C ．C 57×(13)2×(13)5

D ．C 2

7×(13)2×(23

解析：选B.由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 2

7×(23)2×(13)5，故选 B.

6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．

①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；

③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M

④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数．

解析：对于①，设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P (A )＝1

.而在n 次

独立重复试验中事件A 恰好发生了k 次(k ＝0，1，2，…，n )的概率P (ξ＝k )＝C k n

×? ????13k

×? ??

??23n －k

，符合二项分布的定义，即有ξ～B ? ??

??n ，13；对于②，ξ的取值是1，2，3，…，n ，P (ξ＝k )＝0.9×0.1k －1

(k ＝1，2，3，…，n )，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二

项分布；③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“不放回”抽取，显然④中n 次

试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B ?

??n ，M N . 答案：①③

7．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X ，则P (X ＝5)＝________．

解析：X ＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．则P (X ＝5)＝C 24(13)2

×(23)2×13＝881.

答案：8

8．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是1

3.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率

为________．

解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－(1－13)4＝65

81.

答案：65

9．下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？ (1)掷5枚相同的正方体骰子，X 为出现“1点”的骰子数． (2)1 000个新生婴儿，X 为男婴的个数．

(3)某产品的次品率为p ，X 为n 个产品中的次品数．

(4)女性患色盲的概率为0.25%，X 为任取10个女人中患色盲的人数．解：(1)X 服从参数为5，16的二项分布，简记为X ～B ? ????5，16. (2)X 服从参数为1 000，12的二项分布，简记为X ～B ? ????1 000，12.

(3)X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．

(4)X 服从参数为10，0.25%的二项分布，简记为X ～B (10，0.25%)．

10．甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错或不答者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为2

3，乙队中3人答对的概率分

别为23，23，1

，且每人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．

(1)求随机变量ξ的分布列；

(2)设C 表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P (C )．解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且

P (ξ＝0)＝C 03

×? ????1－233

＝1

，

P (ξ＝1)＝C 13

×23×? ????1－232＝2

，

P (ξ＝2)＝C 23

×? ????232

×? ????1－23＝4

，

P (ξ＝3)＝C 33

×? ????233

＝8

，

所以ξ的分布列为

(2)甲队得2由上表可知，

甲队得2分，其概率为P (ξ＝2)＝4

，

乙队得1分，其概率为P ＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝5

18.

根据独立事件概率公式得P (C )＝49×518＝10

[B 能力提升]

11．近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为低碳族，否则称为非低碳族．数据如下表(计算过程把频率当成概率)：

(1)如果甲、乙来自A 2人是低碳族的概率； (2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随

机地从A 小区中任选25个人，记X 表示25个人中低碳族人数，试写出X 满足的分布．解：(1)设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”，P (C )＝C 2

2·0.52

·C 2

2·0.22

＋C 1

2·0.5×0.5×C 1

2·0.2×0.8＋C 2

2·0.52

·C 2

2·0.82

＝0.01＋0.16＋0.16＝0.33. 即甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33.

(2)设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率P 1＝a ×0.5×（1－20%）2

＝0.32.

故低碳族的概率P 2＝1－0.32＝0.68.

随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即X ～B (25，0.68)． 12．为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来自沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设． (1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；

(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列．

解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，

i ＝1，2，3.

由题意知A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，C 3均相互独立．则P (A i )＝

3060＝12，P (B i )＝2060＝13， P (C i )＝1060

＝16

(i ＝1，2，3)．

(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：

P ＝A 33P (A 1B 2C 3)＝6×1

2×13×16＝16

(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P ＝30＋1060＝23.

由X ～B ? ????3，23，所以P (X ＝k )＝C k 3? ????23k

? ???

?1－233－k

(k ＝0，1，2，3)．所以X 的分布列为

高考数学(理)总复习讲义： n次独立重复试验及二项分布

第七节n 次独立重复试验及二项分布 1.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB ) P (A ) (P (A )＞0). (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P (B |A )≤1； ②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 2.相互独立事件 (1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件. (2)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立. (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. (4)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B ). (5)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n (n ＞2，n ∈N *)相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A n ). 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 (1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系； (2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P (AB )＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. (2)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n － k ，k ＝0,1,2，…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n 次独立重复试验；,(2)随机变量是否为某事件在这n 次独立重复试验中发生的次数.

独立重复试验教案

独立重复试验教案教学目的使学生了解独立重复试验的实际背景和能利用其法则进行实际计算．教学重点和难点独立重复试验的概念及其公式推导． (教学方法：讲练结合) 教学过程 1．独立重复试验的意义独立重复试验，又叫做贝努里试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，这种试验在概率论中占有相当重要的地位，因为随机现象的统计规律只有在大量独立重复试验中才能显示出来．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生；要么不发生．在一定条件下，种子要么发芽；要么不发芽．在产品抽样检查中，要么抽到合格品；要么抽不到合格品．所以在n次独立重复试验中某事件恰好发生k(k=0，1，2，…，n)次，另外(n－k)次就是某事件不发生． 2．n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式．的展开式中x m的系数．因此，我们可将概率P n(m)的分布叫做二项式分布． 3．举例 (1)某批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求其中次品数等于0、1、2、3、4、5的概率．解：已知n=5 P=0.2，

(2)一批产品中有30%的一等品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求： (i)取出的5个样品中恰有2个一等品的概率是多少？ (ii)取出的5个样品中至少有2个一等品概率是多少？ =1－[P5(0)＋P5(1)] =1－0.52822 =0.47178≈0.472 (3)某厂大量生产的某种小零件，经抽查检验知道其次品率为0.3%，现把这种零件每100件装成一盒．试分别计算每盒中不含次品、恰好含1件次品、含2件次品、含3件次品、含4件次品的概率．并求一盒中至少含有3件次品的概率是多少？解：将100个零件装进盒内，可以看成是进行了100次检验零件的随机试验．在一盒中不含次品的概率同理，可算得 P100(1)≈0.2228≈22% P100(2)≈0.0332≈3.3% P100(3)≈0.0033≈0.3%

n次独立重复试验与二项分布

二项分布及其应用 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做______________，用符号__________来表示，其公式为P (B |A )＝__________. 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①____________； ②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__________________________________. 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称_______________________． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝________， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝____________. (3)若A 与B 相互独立，则________，________，________也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则________________． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为________________________(p 为事件A 发生的概率)，事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为____________，记为____________． 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系 (1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系． (2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． (3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥． 2．条件概率条件概率通常是指在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．放在总体情况下看：先求P (A )，P (AB )再求P (B |A )＝P (AB ) P (A ).关键是求P (A )和P (AB )． 1．已知P (AB )＝320，P (A )＝3 5，则P (B |A )＝________. 2．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 . 3．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 4．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为65 81 ，则事件A 在1次试验

第七节 n次独立重复试验与二项分布

第七节n次独立重复试验与二项分布 A组基础题组 1.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是( ) A. B. C. D. 答案 D 由题意知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P=×=. 2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A. B. C. D. 答案 D 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率P 1 =,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P=-=. 3.如图,元件A i (i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是( ) A.0.729 B.0.882 9 C.0.864 D.0.989 1 答案 B 电流能通过A 1,A 2 的概率为0.9×0.9=0.81,电流能通过A 3 的概率为0.9,故电流不能通过A 1,A 2 ,且也不能通过A 3 的概率为(1-0.81)×(1-0.9)=0.019. 故电流能通过元件A 1,A 2 ,A 3 的概率为1-0.019=0.981, 而电流能通过A 4 的概率为0.9, 故电流能在M,N之间通过的概率是0.981×0.9=0.882 9.

4.甲、乙两名羽毛球运动员要进行三场比赛,且这三场比赛可看作三次独立重复试验,若甲至少取胜一次的概率为 ,则甲恰好取胜一次的概率为( ) A. B. C. D. 答案 C 假设甲取胜为事件A,每次甲胜的概率为p,由题意得,事件A 发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3 = ,得p= ,则事件A 恰好发生一次的概率为 × × - = . 5.甲、乙两人同时解答某一问题,解答成功的概率是0.8,已知甲单独解答成功的概率是0.6,甲、乙单独解答成功与否互不影响,则乙单独解答成功的概率是 . 答案 0.5 解析设乙单独解答成功的概率是p, 则0.6(1-p)+(1-0.6)p+0.6p=0.8, 解得p=0.5. 6.甲、乙两个狙击手对同一个目标各射击一次,其命中率分别为0.9,0.95.现已知目标被击中,则它被乙击中的概率是 .(精确到小数点后第三位) 答案 0.955 解析设“目标被击中”为事件A,“被乙击中”为事件B, 则P(A)=0.9×(1-0.95)+(1-0.9)×0.95+0.9×0.95=0.995,P(AB)=P(B)=0.95, 所以P(B|A)= ( ) ( )= . . ≈0.955. 7.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后两位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率; (3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.

高考理科数学练习训练题n次独立重复试验与二项分布含解析理

高考理科数学复习训练题 (建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题 1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为1 5.则甲获第一名且丙获第二名的概率为( ) A.11 12 B.16 C.130 D.215 D [设“甲胜乙”“甲胜丙”“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩–C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩–C )＝P (A )P (B )P (– C )＝23×14×45＝215 .] 2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和1 3，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×1 3；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×2 3 ，以上说法正确的是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．②④ D ．①③ C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝1 2，所以①错误，结合选项可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×1 3，所以③错误，排除 A.故选C.] 3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3 4，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512

C.14 D.16 B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝3 4 ，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A － )P (B )＝ 23×? ????1－34＋? ????1－23×34＝5 12.] 4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1 5，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.1 10 B.15 C.25 D.12 C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝ P AB P A ＝2 5 ，故选C.] 5．(2018·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是2 3，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( ) A.89 B.7381 C.881 D.19 C [因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为1 3，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3–A 4– A 5)＋P (–A 1A 2A 3A 4–A 5)＋P (–A 1– A 2A 3A 4A 5) ＝? ????233 ×? ????132 ＋13×? ????233 ×13＋? ????132 ×? ????233 ＝881 .] 二、填空题

n次独立重复试验

n次独立重复试验独立重复试验： (1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验． (2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为，此时称随机变量X 服从二项分布，记作，并称p为成功概率． (3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的． (4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．求独立重复试验的概率： (1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即 2，…，n)是第i 次试验的结果． (2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。相互独立事件同时发生的概率相互独立事件的定义：如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。若A，B是两个相互独立事件，则A与与，与B都是相互独立事件。相互独立事件同时发生的概率：

两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。若A 1，A 2 ，…A n 相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A 1·A 2 ·…·A n ）＝P（A 1 ）·P（A 2 ）·…·P（A n ）。求相互独立事件同时发生的概率的方法：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。条件概率条件概率的定义： (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示． (2)条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）． (3)条件概率的求法： ①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P(A∩B)，得P(B|A)=。 ②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P(B|A)= 。 P(B|A)的性质：（1）非负性：对任意的A∈Ω，；（2）规范性：P（Ω|B）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则。

2.2.3独立重复试验与二项分布(教学设计)

2.2.3独立重复试验与二项分布（教学设计）教学目标知识与技能：理解n 次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。教学重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。教学难点：二项分布模型的构建。教学过程：一、复习回顾： 1、条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：()(|)() P AB P B A P A

2、事件的相互独立性：事件A 与事件B 相互独立，则： P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立二、创设情景，新课引入：三个臭皮匠顶个诸葛亮的故事已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.6,老二为0.6,老三为0.6,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三、师生互动，新课讲解： 1、分析下面的试验，它们有什么共同特点？（1）投掷一个骰子投掷5次; （2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次; （3）实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）; （4）抛硬币实验。在研究随机现象时，经常需要在相同的条件下重复 1()10.40.40.40.9360.8 P A B C -??=-??=>

n次独立重复试验的模型及二项分布.

第八节 n 次独立重复试验与二项分布 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 相互独立事件、n 次独立重复试验的概率求法是每年高考的热点，特别是相互独立事件、n 次独立重复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重，如2012年山东T19等. [归纳·知识整合] 1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ P AB P A 为在事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1 (2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪ C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) 2.事件的相互独立性 (1)定义：设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质： ①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． [探究] 1.“相互独立”和“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥． 3．独立重复试验与二项分布

独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率计算公式 A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0，1,2，…，n ) [探究] 2.二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系？提示：如果把p 看成a,1－p 看成b ，则C k n p k (1－p ) n －k 就是二项式定理中的通项． [自测·牛刀小试] 1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝1 4，则P (EF )的值等于( ) A ．0 B.116 C.14 D.12 解析：选B EF 代表E 与F 同时发生，故P (EF )＝P (E )·P (F )＝1 16 . 2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3 8，则P (A )等于( ) A.3 16 B.1316 C.34 D.14 解析：选C 由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝3 4 . 3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( ) A ．0.26 B ．0.08 C ．0.18 D ．0.72 解析：选A P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.

独立重复试验与二项分布

独立重复试验与二项分布 1．n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布前提在n 次独立重复试验中字母的含义 X 事件A 发生的次数 p 每次试验中事件A 发生的概率分布列 P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k ，k ＝0，1，2，…，n 结论随机变量X 服从二项分布记法记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率明确该公式中各量表示的意义：n 为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A 发生的概率；k 是在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n 次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．( ) (2)n 次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同．( ) (3)二项分布与超几何分布是同一种分布．( ) (4)两点分布是二项分布的特殊情形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ? ?? ??6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D. 80243 答案：D 任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ) A.34 B.38 C.13 D.14 答案：B

设随机变量X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝5 9，则p ＝________．答案：13 探究点1 独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3 4，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．【解】 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝19 27 . (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 2 2×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝1 6. 1．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率？解：记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 1 2×23×13＝ 49，P (B 3)＝38 ，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P (A 3B 3)＝49×38＝16 . 2．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率？解：记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 0 2(1－23)2＝19，P (B 4) ＝C 22(34)2 ＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116 . 独立重复试验概率求法的三个步骤

n次独立重复实验与二项分布

n 次独立重复实验与二项分布一、选择题 1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次这样的试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －k C ．(1－p )k D ．C k n (1－p )k p n －k [答案] D [解析] 在n 次独立重复试验中，事件A 恰发生k 次，符合二项分布，而P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，故P (X ＝k )＝C k n (1－p )k p n －k ，故答案选D. 2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4 5，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( ) [答案] B [解析] P ＝C 24? ????452? ????152 ＝96625 . 3．某电子管正品率为34，次品率为1 4，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝( ) A ．C 23? ????142 ×34 B ． C 23? ????342 ×14 2 ×34 2 ×14 [答案] C 4．某射手射击1次，击中目标的概率是，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( ) A ．× B ． C ．C 3 4×× D ．1－ [答案] C

[解析] 由独立重复试验公式可知选C. 5．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（C ） ()A 33710(1)C p p - ()B 333 10(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 6．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ A ） ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()() 33C 7. [2013·河池模拟]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( ) A. 9 10 B. 45 C. 8 9 D. 8990 答案：D 解析：目标被击中的概率为P ＝1－(1－910)(1－89)＝1－190＝89 90 . 8. [2013·湖北调研]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是、、，则系统正常工作的概率为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：系统正常工作概率为C 1 2×××(1－＋××＝，所以选B. 9. [2013·大庆模拟]某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动，从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽2道，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( ) A. 9 25 B. 625 C. 3 10 D. 12 答案：D 解析：因为第一次抽到的是理科题，此时剩下2道文史题和2道理科题，故第二次抽

5.独立重复试验解析

基础达标 1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是1 2，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( ) A ．5 16 B ．2 5 C ．58 D ．132 解析：选 A ．P ＝C 25· ????123×????122 ＝516 . 2．某电子管正品率为34，次品率为1 4，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)＝( ) A ．C 23 ????142 ×34 B ． C 23 ????342 ×14 C ．????142 ×34 D ．????342 ×14 解析：选C ．X ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是??? ? 142 ×34 . 3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2 3 ，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( ) A ．827 B ．6481 C ．49 D ．89 解析：选A ．当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23(23)2(1－23)×23＝3×49 ×13×23＝8 27 ，故选A ． 4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是1 2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 解析：选C ．由1－C 0n ????12n >0.9，得??? ?12n <0.1，所以n ≥4.

5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列 {a n }，a n ＝? ????－1，第n 次摸取红球 1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A ．C 57×(13)2×(23)5 B ． C 27×(23)2×(13)5 C ．C 57×(13)2×(13 )5 D ．C 27×(13)2×(23 )2 解析：选B ．由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13 )5 ，故选B ． 6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．(填序号) ①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次，出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； ③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M

n次独立重复试验及二项分布

n 次独立重复试验及二项分布一基础知识 1.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB ) P (A ) (P (A )＞0). (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P (B |A )≤1； ②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 2.相互独立事件 (1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件. (2)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立. (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. (4)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B ). (5)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n (n ＞2，n ∈N *)相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A n ). 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 (1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系； (2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P (AB )＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. (2)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n － k ，k ＝0,1,2，…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n 次独立重复试验；,(2)

11.3每次试验只有两个可能结果的n次独立重复试验模型

11.3 每次试验只有两个可能结果的n次独立重复试验模型教学目标: １．理解相互独立事件．２．掌握概率的乘法定理、伯努利概率模型的计算公式．３．理解伯努利概率模型的特点．教学重点：概率的乘法定理、伯努利概率模型的计算公式．教学难点：对伯努利概率模型的理解及应用．教学方法：启发引导式、讲解式．授课类型：新授课课时安排：2课时一、复习提问： 1、在掷两次硬币的随机试验中，它的样本空间是什么． 2、事件A的发生会不会影响事件B的发生．（引出课题）二、新课引入：给出事件A与事件B独立的定义：在随机试验中，如果事件A的发生不会影响事件B发生的可能性大小，即在事件A发生的情况下，事件B发生的概率等于事

件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 独立．在掷硬币的随机试验中事件A 与事件B 独立，引导学生得出P (AB ) 、P (A )、P (B ) 之间的关系 P (AB ) = P (A )P (B )．三、探究新课：（一）概率的乘法定理（幻灯片给出）定理1（概率的乘法定理）如果随机试验的样本点只有有限多个，那么事件A 与B 独立的充分必要条件是P (AB ) = P (A )P (B )．当随机试验的样本点有无穷多个时，如果事件A 与事件B 满足P (AB ) = P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 独立．定义事件A 与B 独立当且仅当事件B 与A 独立，这时我们就说：事件A 与事件B 相互独立．例1 在掷两次硬币的试验中，“至少有一次出现正面”的事件C 与“至少有一次出现反面”的事件D 是否独立？解： C ＝{}），（正，反）（正，正），（反，正 D ＝{}），（反，反）（正，反），（反，正 {}）（正，反），（反，正＝＝D C CD 于是，）＝（43C P ，）＝（43D P 2 1 42＝）＝（CD P ．所以 2 11694343)()(≠=?= D P C P ，所以 )()()(D P C P CD P ≠，从而事件 C 与事件 D 不独立．

独立重复实验与二项分布教学设计(罗雪梅)

课题：独立重复试验与二项分布人教A版选修2-3第二章第二单元第三课时授课教师：广东省清远市英德中学罗雪梅一、教学目标 ●知识与技能：理解n次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。 ●过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。 ●情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。二、教学重点、难点重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。难点：二项分布模型的构建。三、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。教学手段：多媒体辅助教学

四、教学过程

附：板书设计与时间安排1、板书设计

教案说明我有这样的深刻体会：好的教学情景的创设，等于成功的一半。因而，我以一个轻松愉快的猜数游戏把学生带进一个轻松愉快的课堂环境中。从游戏开始，诱思深入，把老师在堂上讲、学生在堂下听的教学过程变为师生共同探索，共同研究的过程。学生围绕老师提出的一系列具有趣味性和启发性的层层入深的问题，展开讨论，使问题得到解决，从而突出本节重点，突破本节难点。在整个教学过程中，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线，思维为主攻”的“四为主”原则。教师不是抛售现成的结论，而是充分暴露学生的思维，展示“发现”的过程，突出“师生互动”的教学，这种设计充分体现了教师的主导作用。学生在一系列的思考、探究中逐步完成了本节的学习任务，充分实现了学生的主体性地位，在整个教学过程中，始终着眼于培养学生的思维能力，这种设计符合现代教学观和学习观的精神，体现了素质教育的要求。教与学有机结合而对立统一。良好的教学设想，必须通过教学实践来体现，教师必须善于驾驭教法，指导学法，完成教学目标，从而使学生愉快地、顺利地、认真地、科学地接受知识。

高三数学：n次独立重复试验与二项分布经典教案

n 次独立重复试验与二项分布 [最新考纲] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题． 1．条件概率的定义条件概率的性质设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A ) ＝P (AB )P (A ) 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1； (2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) 2.(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与–B ，–A 与B ，–A 与– B 也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1,2，…，n )是第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件． ( ) (2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． ( ) (3)公式P (AB )＝P (A )P (B )对任意两个事件都成立． ( ) (4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设随机变量X ～B ??? ?6，1 2，则P (X ＝3)等于( ) A.516 B.316 C.58 D.38 A [∵X ～ B ????6，12，∴P (X ＝3)＝ C 36 ????126＝516.故选A.] 3．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3 8 ，则P (A )等于( ) A.316 B.1316 C.34 D.14 C [由P (AB )＝P (A )P (B |A )，得38＝1 2 P (A )， ∴P (A )＝3 4.] 4．某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________． 81125 [P ＝C 230.620.4＋C 330.63 ＝81125.] 5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．

教案：独立重复实验与二项分布

课题：独立重复试验与二项分布 ●知识与技能：理解n次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。 ●过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。 ●情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。二、教学重点、难点重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。难点：二项分布模型的构建。三、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。教学手段：多媒体辅助教学四、教学过程

附：板书设计与时间安排1、板书设计