初中数学相似三角形的经典综合题
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题
一、知识体系：
1．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例；
③相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④相似三角形的周长之比等于相似比。
⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方（2
k ）。
二、典型例题：
例1：若△ABC∽△A′B′C′，且,,
3
4AB A B ，△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ） A ．18 B ．20 C ．154 D ．80
3
针对练习：
1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 的三边长为3、4、5，若△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3
2．一直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ） A ．7 B ．5 C ．7或5 D ．无数个
例2：（2014江苏南京，3）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 针对练习：
1．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为322
cm ，那么小三角形的面积为（ ） A ．102
cm B ．142
cm C ．162
cm D ．182
cm
2．如图，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。
3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ （用a 的代数式表示）。
4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE 的面积为 ▲ 。
5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 。M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ，且ON ＝1。 ①求BD 的长；
②若△DCN 的面积为2，求四边形ABNM 的面积。
6．（2012湖北鄂州，10） 在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（ ）
A ．2010
352??? ?
?? B ．2010
954??
? ?
??
C ．2012
954??? ?
??
D ．4022
352??
? ?
??
例3：（2014浙江绍兴，20改编）有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm 。
①如果把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上。问加工成的正方形零件的边长是多少mm ？
②如果把它加工成矩形零件，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算。
针对练习：
1．）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，
A ．1
B ．2
C ．1226-
D ．626-
2．如图，已知△ABC 的面积是12，BC ＝6，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次做了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，…，KHIJ ，则每个小正方形的边长为（ ）
A ．
1211 B ．1223n - C ．12
5
D ．1223n +
3．一块直角三角形木版的一条直角边AB 为3m ，面积为62
m ，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图①进行加工，小华准备按图②进行裁料，他们谁的加工方案符合要求？
例4：如图，为了测量大树的高度，小华在B 处垂直竖立起一根长为2.5m 的木杆，当他站在点F 处时，他的眼睛E 、木杆的顶端A 、树端C 恰好在同一条直线上，量得BF ＝3m ，BD ＝9m ，小华的眼睛E 与地面的距离EF 为1.5m ，求大树的高度。
针对练习：
1．如图，已知：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢房子，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9米，留在墙上的影长CD 为2米，求旗杆的高度。
2．如示意图，小华家（点A 处）和公路（l ）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（DE ），广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区的那段公路记BC ，一辆以60公里/小时匀速行驶的汽车经过公路BC 段的时间为6秒，已知广告牌和公路的距离为35米，求小华家到公路的距离．
3．如图，王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行12m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知王华同学的身高是1.6m ，两个路灯的高度都是9.6m 。 ①求两个路灯之间的距离；
②当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长是多少？
4．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点1C 处直立高3m 的竹竿11C D ，然后退到点1E 处，此时恰好看到竹竿顶端1D 与电线杆顶端B 重合。小亮的眼睛离地面高度EF ＝1.5m ，量得CE ＝2m ，1EC ＝6m ，11C E ＝3m 。 ①△FDM ∽△ ▲ ，△11F D N ∽△ ▲ ； ②求电线杆AB 的高度。
相似三角形的判定
一、知识体系：
1．相似三角形的概念：
三边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形对应边的比叫做相似比，一般用k 表示。 2．相似三角形的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（平行法）； ②两角对应相等，两个三角形相似（“AA ”）；
③两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（“SAS ”）； ④三边对应成比例，两个三角形相似（“SSS ”）。 3．相似三角形的基本图形
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
D
A
B
C
E
平行型（A 字型） 平行型（X 字型） 旋转型
D
A B C
A
B
C D E
A
B
C
D
A
B C
D
E
交错型 母子型
二、典型例题：
例1：如图，在△ABC 和△ADE 中，已知∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC∽△ADE。
针对练习：
1．已知：如图，AB ＝AC ，∠DAE＝∠B。求证：△ABE∽△DCA。
2．已知：如图，△PQR 是等边三角形，∠APB＝120°，求证：△PAQ∽△BPR。
3．如图，在△ABC 中，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC ∽△DEF 。
4．已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且∠BAC＝∠DAG，∠CDG＝∠BAD。 ①求证：
AD AG
AB AC
=
； ②当GC⊥BC 时，求证：∠BAC＝90°。
例2：（2014福建南平，21）如图，已知△ABC 中，点D 在AC 上且∠ABD＝∠C，求证：2
AB AD AC =?。
针对练习：
相似三角形，并证明其中的一对。
例3：（2013四川巴中，29）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B。
①求证：△ADF∽△DEC；
②若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长。
针对练习：
1．（2014辽宁本溪，9）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点。
(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC>∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E。试说明E是△ABC的自相似点；
(2)在△ABC中，∠A<∠B<∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数。
3．（2013江苏苏州，26）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G 。 (1)求证：△APB≌△APD；
(2)已知DF:FA ＝1:2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y 。 ①求y 与x 的函数关系式； ②当6x =时，求线段FG 的长。
例4：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足2
AB DB CE =?。 求证：△ADB∽△EAC。
针对练习：
1．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：△ABC∽△DBE。
2．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于点G。
①求证：△AED∽△ABC；
②如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE。
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。找出图中相似的三角形，并说明理由。
4．（2014山东淄博，23）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE 交AM于点N，AB＝AC＝BD。连接MF，NF。
①判断△BMN的形状，并证明你的结论；
②判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由。
5．（2014江苏徐州，27）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数
k y
x =
图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F。已知(1,3)
B。
①k=▲；
②试说明AE＝BF；
③当四边形ABCD的面积为21
4
时，求点P的坐标。
6．在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，∠AMC ＝∠ABC ，求证：①2
AC AE AM =?；② MB ⊥AM 。
例5：如图，AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且
,,,,,,
AB BD AD
A B B D A D ==
，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′。
针对练习： 1．如图，已知
AB BC AC
AD DE AE
==
。①求证：△ABD∽△ACE；②若∠BAD ＝18°，求∠EBC 的度数。
射影定理：Rt△ABC 中，∠ ABC＝90°，CD 是斜边AB 上的高，则有射影定理如下： ①2
CD AD BD =?（由△ADC ∽△CDB 推导出）； ②2AC AD AB =?（由△ACD ∽△ABC 推导出）； ③2BC BD BA =?（由△BCD ∽△BAC 推导出）。
例6：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，则图中的相似三角形共有 ▲ 对。 针对练习：
1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，20ABC S ?=，AC ＝45。
①求BC、AB的长；
②求AD、BD、CD的长。
2．如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F。
①求证：△CEF∽△CBA；
②连接EF交CD于点O，线段OC、OD、OE、OF成比例吗？为什么？
相似三角形中的动态几何问题
图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。动态几何问题是近年来各地中考的热点和难点，通常以压轴题形式出现在中考数学试卷中，分值占总分的10%左右。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，把相关的线段用含有时间t（或其他字母）的代数式表示出来，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm。动点P以4/
cm s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动；同时，动点Q以2/
cm s的速度从C点出发，沿CB向点B移动。当其中有一点到达终点时，它们都停止移动。设移动的时间为t秒。
①当3
t 秒时，P，Q两点之间的距离是多少？
②求△CPQ的面积S（2
cm）与时间t（s）的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
③t为何值时，以点C、P、Q为顶点的三角形与与△ABC相似？
练习1.1：如图，在平面直角坐标系内，已知点(0,6)A 、点(8,0)B ，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止。设点P 、Q 移动的时间为t 秒。 ①求直线AB 的解析式；
②当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？ ③求△APQ 的面积S （用含t 的代数式表示）。
练习1.2：(2013江苏苏州，28)如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB ＝10cm ，BC ＝12cm 。点E ，F ，G 分别从A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1/cm s ，点F 的运动速度为3/cm s ，点G 的运动速度为1.5/cm s 。当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动。在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△△EB'F ，设点E ，F ，G 运动的时间为t （单位：s ）。 ①当t s 时，四边形EBFB'为正方形；
②若以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值； ③是否存在实数t ，使得点B'与点O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
例2：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，DC ＝5，BC ＝10，梯形的高为4。动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，当其中
有一点到达终点时，它们都停止移动。设运动的时间为t（秒）。
①求∠B的度数以及AB的长；
②当MN∥AB时，求t的值；
③试探究：t为何值时，△MNC为直角三角形？
练习2.1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝42，∠B＝45°。动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，当N点到达D点时，M点随之停止运动。设运动的时间为t秒，
①求BC的长；
②试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形？
练习2.2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝50，AC ＝30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点。点P 从点D 出发沿折线DE-EF-FC-CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC-CA 于点G 。点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止。设点P ，Q 运动的时间是t 秒（0t >）。 ①D ，F 两点间的距离是________；
②射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值；若不能，说明理由； ③当点P 运动到折线EF-FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； ④连接PG ，当PG ∥AB 时，请直接写出t 的值。
例3：如图所示，在ΔABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当其中有一点到达终点时，另一点也停止移动。设运动时间为x 。
①当x 为何值时，PQ ∥BC ？ ②当
3
1
=??ABC BCQ S S ，求
ABC BPQ S S ??的值； ③ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。
练习3：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6cm ，CD ＝4cm ，BC ＝BD ＝10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，
有一点到达终点时，另一点也停止移动。若设运动时间为t （s ）（05t <<）。 ①当t 为何值时，PE ∥AB ？
②设△PEQ 的面积为y （2
cm ），求y 与t 之间的函数关系式； ③是否存在某一时刻t ，使2
25
PEQ BCD S S =
△△？
例4：如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1/cm s ，点Q 运动的速度是2/cm s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：
①当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； ②设△BPQ 的面积为S （2
cm ），求S 与t 的函数关系式；
③作QR ∥BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
练习4：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB 的速度由点B 向点A 运动。同时，动点Q 在线段AC 上由点N 向点C 运动，且始终保持MQ ⊥MP 。一个点到终点时，两 个点同时停止运动。设运动时间为t 秒(0t )。 ①△PBM 与△QNM 相似吗？请说明理由； ②若∠ABC ＝60°，AB ＝43cm 。 (1)求动点Q 的运动速度； (2)设△APQ 的面积为S （2 cm ），求S 与t 的函数关系式（不必写出t 的取值范围）； ③探求2 2 2 BP PQ CQ 、、三者之间的数量关系，请说明理由。 例5：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A 、B 、C 三点的坐标分别为(8,0)A 、(8,10)A 、 (0,4)C ，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间 为t 秒。 ①求直线BC 的解析式； ②若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的 2 7 ？ ③动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设△OPD 的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； ④当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由。 练习5：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5。点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动。伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB —BC —CP 于点E 。点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止。设点P 、Q 运动的时间是t 秒(0t >)。 ①当t ＝2时，AP ＝ ，点Q 到AC 的距离是 ； ②在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式（不必写出t 的取值范围）； ③在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由； ④当DE 经过点C 时，请直接．． 写出t 的值。 相似三角形单元复习 知识点一：比例的性质与成比例线段 例1：不为0的四个实数a ，b ，c ，d 满足ab cd =，改写成比例式错误的是（ ▲ ） A ． a d c b = B ． c b a d = C ．d b a c = D ．a c b d = 针对练习： 1．4和1的比例中项是 ▲ 。 2．已知线段b 是线段a ，c 的比例中项，且9a =，4c =，则b = ▲ 。 例2：如果 23x y =，则x y x y -=+ ▲ 。 针对练习： 1．如果 74x y y +=，那么y x 的值是（ ▲ ） A ． 34 B ．23 C ．43 D ．32 2．若 a b c k b c c a a b ===+++，则k 的值是（ ▲ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．3 知识点二：相似三角形的判定： 例3：如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE，试说明△ACE∽△BAD。 针对练习： 1．如图，△BAC、△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC＝∠AGF＝90°。若△BA C固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E。请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明。 知识点三：相似三角形的性质 例4：如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则DE BC 的值为（▲） A．2 3 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 针对练习： 1．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF:FD＝1:3，则BE:EC＝（▲） A．1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 4 2．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M。若PN＝3，则DM的长为▲。 3．如图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB， DE∥BC，若AC ＝10，BC ＝15，则AE ＝ ▲ ，DE ＝ ▲ 。 例5：（2014浙江宁波，8）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ▲ ） A ．2:3 B ．2:5 C ．4:9 D ．2:3 针对练习： 1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的面积之差为252 cm ，则较大三角形的面积是（ ▲ ） A ．752 cm B ．652 cm C ．502 cm D ．452 cm 2．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB ＝5，D 是AB 延长线上一点，连接CD ，若∠DCB＝∠A，BD:DC ＝1:2，则△ABC 的面积为（ ▲ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 例6：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 相交于点F ，DE:EC ＝2:3，则:DEF ABF S S ??等于（ ▲ ） A ．4:25 B ．4:9 C ．9:25 D ．2:3 针对练习： 1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 相交于点F ，:4:25DEF ABF S S ??=，则DE:AB ＝ ▲ ，:DEF ADF S S ??= ▲ ，:DEF DBC S S ??= ▲ 。 A ．4:25 B ．4:9 C ．9:25 D ．2:3 2．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE∥BC，若:1:2ADE BDE S S ??=，则:ADE BEC S S ??=（ ▲ ） A ．1:4 B ．1:6 C ．1:8 D ．1:9 3．如图所示，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积为 ▲ 2 cm 。 知识点四：位似三角形 例7：如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，且三角尺的一边长为8cm ，则投影三角形的对应边长为 ▲ cm 。 针对练习： 1．已知，如图，直角坐标系中，点(4,2)E -，(1,1)F --，以O 为位似中心，按比例尺2:1把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标为（ ▲ ） A ．(2,1)-或(2,1)- B ．(8,4)-或(8,4)- C ．(2,1)- D ．(8,4)- 2．如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1,0)-。以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍。设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ▲ ） A ．12 a - B ．1(1)2a -+ C ．1(1)2a -- D ．1 (3)2a -+