正、反比例函数的内容特点及教材分析
正、反比例函数的内容特点及教材分析
第一部分:初中函数内容的知识框架结构
1.函数在初中数学知识体系中的地位和作用
函数是初中数学中的重要内容之一,它是从现实世界中抽象出来的,是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具。函数知识渗透在初中数学的许多内容中,它又与物理、化学等学科知识密切相关。同时函数本身也是一种重要的数学思想,运用函数的思想和方法,可以加深对一些代数问题的理解。
2.初中学习函数的意义和要求
初中学习函数的意义是初步感受现实世界中除了确定的一些量——常量外,还有不少的量——变量,初步知道两个变量之间存在的关系,能利用这些关系来研究它们之间的一些基本性质。
初中学习函数的要求是理解函数的意义,理解正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念,能画出它们的图像,并根据图像知道它们的一些基本性质。
3.教材内容安排的方式及要求所体现的思想
函数内容在初中教材中主要分布在八年级和九年级中,八年级第一学期学习函数的概念,研究两个最简单的函数——正比例函数和反比例函数的有关图像和性质;八年级第二学期学习一次函数的有关图像和性质;九年级第一学期学习二次函数的有关图像和性质,九年级第二学期在拓展II中进一步对二次函数进行深入的研究。这样首先出示基本概念,然后由易到难研究一些特殊函数的编排方式符合学生的认知规律,帮助学生充分理解函数的基本思想。
4.高中函数教学的介绍
课程标准中指出:在初中学习函数的基础上,进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映;学习用集合与对应的语言刻画函数,再从直观到解析、从具体到抽象,研究函数的性质,并能从解析的角度理解有关性质。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一,函数的思想和方法贯穿于高中数学。
第二部分:函数知识内容的教学研究
(一)函数内容的知识体系
初中学习函数主要是让学生对函数有一个初步的认识,知道生活中的变量关系,能用函数的思想处理一些简单的问题,因此初中函数内容的知识体系是,先介绍函数的概念,
然后以两个最简单的函数(正比例函数和反比例函数)作为载体,让学生理解函数的图像与一些性质,再介绍函数常用的三种表示方法,最后再分别研究现实生活中经常遇到的另外两个简单而常用的函数(一次函数和二次函数),使学生对函数有一个较完整的理解,并能进行简单的应用。
(二)函数内容的教材分析及教学注意事项
1.函数的相关概念教材分析及教学注意事项
(1)函数相关内容的概念框架与知识结构
函数的定义域
实际问题---变量与常量---函数--- 函数值
函数的表示法
(2)函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析
通过身边的事例和生活中的实例,直观地认识变量以及变量之间的相互依赖关系,体会函数的意义,以及函数的三种常用的表示方法和数形结合的思想。
教学目标:
①通过实例认识变量与常量,理解变量之间的相互依赖关系,能用运动、变化的观点看待相关数量问题,能从两个变量之间相互联系、相互依赖的角度理解函数的意义。
②知道函数的定义域、函数值等概念,知道符号“y=f(x)”的意义,会根据函数解析式和实际意义求函数的定义域,初步理解自变量的值与函数值之间的对应关系,会根据函数解析式求函数值。
③知道函数的三种表示方法,以及它们的优势与不足,知道函数图像的意义,能借助函数图像的直观性,用语言描述函数的基本性质,体会数形结合思想。
重点难点:
理解函数的概念,知道符号“y=f(x)”的意义,会求函数的定义域,能借助图像认识函数的一些基本性质。
(3)教材分析
教材分析:
①变量、常量通过有关长度的数量关系的实例引入,能使学生更容易理解。
②变量、常量是相对的,是要结合实际问题具体分析,比如在行程问题中的三个量,路程S、速度v和时间t,在匀速运动时存在这样的关系:S=vt,如果假定速度v不变,那么路程S就随时间t的变化而变化,S和t就是变量,v就是常量;如果假定路程S不变,那么时间t就随速度v的变化而变化,v和t就是变量,S是常量。
③例题1通过摄氏度与华氏度的转化,揭示这两个变量之间存在相互依赖的关系,并且这种相互依赖的关系能够用等式——函数解析式表示出来,注意“边款语”,
3259
+=t F 与325
9+=t y 的一致性,即它们所表示的两个变量之间的依赖
关系是完全一样的。
④例题2主要通过图像、表格的形式表示两个变量之间的相互依赖关系,为进一步学习函数的表示方法做准备。此处还要让学生理解函数图像与学生原有的生活经验的一致性,看得懂函数图表中两个变量之间的相互依赖关系。
⑤通过取数字填表操作,使学生理解自变量的取值是有要求的,这个要求就是函数的定义域,每一个函数都有定义域,对于用解析式表示的函数,如果不加说明,那么这个函数的定义域就是使这个函数解析式有意义的一切实数,在初中阶段,我们主要考虑两个方面的问题:分式的分母不能为零,偶次根式的被开方数非负。例题3就是说明如何根据解析式来求定义域
⑥例题4主要说明如何求函数的解析式和如何求函数的定义域,此处的定义域由于有实际的背景,因此不能简单地按照解析式来看,更要关注符合实际意义。
⑦为了进一步研究函数的方便,引入函数的记号y=f(x),这个对学生来讲相当抽象,也不容易理解,因此一定要用一些实例来说明括号内的字母x 表示自变量,f 表示对应法则,即y 随x 的变化而变化的规律,另外再配以例题5求函数值的计算,让学生理解。
⑧通过实例引入了函数的三种表示方法,并说明各种表示方法的优劣,在教学中也要让学生充分理解。
⑨本节通过几个例题,进一步说明如何求函数的解析式和定义域,但此处更要关注的是例题2和例题5,应再一次帮助学生学会如何从函数的图像中获得信息解决问题。根据以往的经验,从表格中获得有关信息,学生比较容易接受和掌握,但从图像中获得有关信息,
是学生学习的一个难点,在教学中要引起足够的重视。
正比例函数教材分析及教学注意事项
(1)正比例函数相关内容的概念框架与知识结构
正比例
正比例函数的图像
实际问题--- 正比例函数---
正比例函数的性质
比例系数
(2)正比例函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析
正比例、正比例函数是我们生活实际中经常遇到的一个数学概念,正比例函数也是最简单的一个函数,通过研究、学习正比例函数的有关知识,使学生初步体会研究函数的方法,以利于继续研究、学习其他一些函数的知识。
教学目标
①通过分析现实生活中具有正比例关系的具体事例,引进正比例函数,从而理解正比例函数的概念,初步获得从数量方面把握事物运动变化的规律和事物之间相互联系的体会。
②能根据条件求正比例函数的解析式,从中体会待定系数法。
③通过画图像的操作实践,体验“描点法”,理解正比例函数的图像是一条经过原点的直线,会画正比例函数的图像。
④借助正比例函数图像的直观性,认识正比例函数的一些基本性质,并能用数学语言进行描述,进而掌握这些基本性质。
重点难点
理解正比例函数的概念,初步学会用待定系数法求正比例函数的解析式;知道正比例函数的图像是一条经过原点的直线,并能根据图像掌握正比例函数的一些基本性质。
(3)教材分析
教材分析:
①通过实例,先引进正比例的概念:如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零),那么就说这两个变量成正比例,为后面引入正比例函数作准备。
②正比例函数的定义是采用形式化的定义,即形如y=kx(k≠0)的函数叫做正比例函数,教材中的表述略有不同。定义域是根据解析式,x为一切实数。
③例题1主要目的是让学生具体认识正比例函数和它的比例系数,体会正比例函数是
由它的比例系数完全确定的,同时复习巩固函数值的概念和求法。
④例题2让学生体验正比例函数的解析式中只有一个系数,因此只要有两个变量的一组对应值就可以确定这个函数的解析式的过程,从而体验重要的数学方法——待定系数法:只要数学模型已知,而其中的一些系数未知,那么就可以采用待定系数法解决问题。教材中特别在例题后的想一想中直截了当地提出这个问题。
⑤通过画正比例函数y=2x的图像,了解用“描点法”画函数图像的三个步骤:列表、描点、连线,并得到这个函数的图像,再通过画正比例函数y=-2x的图像,归纳得到正比例函数y=kx的图像是一条经过原点和(1,k)的直线。教师归纳解释时应从纯粹性和完备性两个方面表述,但对学生不作过高要求,只让他们有所认识、有所体验。
⑥例题3是让学生在已知正比例函数图像是一条经过原点的直线的基础上,画正比例函数的图像。此时应该让学生明白:两点确定一条直线,因此要画一条直线,只需描出两点就可以了,而且其中的一点是坐标原点。
⑦在学会画正比例函数的图像的基础上,来学习正比例函数的有关性质,一定要让学生学会看图,结合图像理解性质。思考引入就是这个目的,从而得到图像经过的象限和有关正比例函数的增减性,体验数形结合的思想。另外要给学生交代清楚的是,这些性质反之也成立。
⑧例题4就是利用正比例函数的性质求字母a,让学生熟悉正比例函数性质,比例系数与它的增减性的关系。
⑨例题5是通过一个实例,让学生体验生活中正比例函数的应用,进一步感受到生活中处处有数学,数学来源于生活服务于生活的事实。同时也让学生主要到具体问题中的函数定义域要根据具体情况来确定,本例尽管解析式是正比例函数y=0.2x的形式,但根据实际意义,定义域是0≤x≤10,因此画出的函数图像是一条线段,它是直线y=0.2x上的一部分。
反比例函数教材分析及教学注意事项
(1)反比例函数相关内容的概念框架与知识结构
反比例
反比例函数的图像
实际问题--- 反比例函数---
反比例函数的性质
比例系数
(2)反比例函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析
反比例、反比例函数也是我们生活实际中经常遇到的一个数学概念,它与正比例函数一样,也是最简单的一个函数之一,通过研究、学习反比例函数的有关知识,使学生进一步体会研究函数的方法,特别是如何画函数的图像,以及如何根据函数的图像掌握函数的性质。
教学目标
①通过分析现实生活中具有反比例关系的具体事例,引进反比例函数,从而理解反比例函数的概念,进一步获得从数量方面把握事物运动变化的规律和事物之间相互联系的体会。
②能与正比例函数进行类比,根据条件求反比例函数的解析式,进一步体会待定系数法。
③通过画图像的操作实践,进一步体验“描点法”,理解反比例函数的图像是双曲线,会画反比例函数的图像。
④借助反比例函数图像的直观性,认识反比例函数的一些基本性质,并能用数学语言进行描述,进而掌握这些基本性质。
重点难点
在研究反比例函数的有关性质时,能与正比例函数进行类比,运用研究正比例函数的方法研究反比例函数;知道反比例函数的图像是双曲线,研究它的增减性时注意“在每个象限内”这一关键的条件。
(3)教材分析
①通过两个实例引出反比例的概念:如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例。
②例题1继续通过对一些具体问题的研究,使学生进一步体验两个变量成反比例的关
系,为引出反比例函数作充分地准备。
③反比例函数的定义与正比例函数的定义一样,也是通过形式化来描述的,即解析式
形如
)0
(≠
=k
x
k
y
的函数叫做反比例函数,这样做也是根据初中学生的认知水平,便于
他们理解。定义域则根据式子,分母不为零得x≠0的一切实数。
④例题2也是要让学生进一步理解待定系数法这个重要的数学方法。反比例函数的解析式是已知的,其中只有一个系数,因此只要一对变量的值就可以求出比例系数,从而确定函数的解析式。同时也再一次复习求函数值和已知函数值求它对应的自变量x 的值。
⑤通过画反比例函数
x
y 8
=的图像,进一步熟悉函数图像的画法:列表、描点、连
线,同时也知道反比例函数的图像不是一条直线,而是由两个分支组成的曲线——双曲线。在教学中要注意取点的对称性,也可以让学生看到双曲线不但是轴对称图像,而且是中心对称图形。
⑥一般来说,反比例函数
x
y 8
=的图像由教师演示完成,然后请学生画反比例函数
x
y 8
-=的图像,熟悉取点的方法,以及曲线的趋势,再进行适当的练习,画反比例函数
x
y 6
=和x y 6-=的图像,从而归纳出反比例函数的性质。
⑦对于反比例函数的性质,尽管仍要求根据图像来理解、记忆,但要与正比例函数的性质加以类比,强调它与正比例函数性质不一样的地方——增减性要突出“在每个象限内”这一重要的条件,并说明清楚为什么,使学生正确理解这一性质。
⑧例题3已知图像经过点(2,-1),求解析式中的k 的值,目的是通过不同的条件,再一次熟悉用待定系数法求反比例函数解析式的方法,同时学会利用反比例函数的性质解决问题。
⑨例题4是正比例和反比例的综合应用,告知成正比例,则知道两个变量的关系式;告知成反比例,也知道两个变量的关系式。需注意的是它们的比例系数一般是不相等的,因此要用不同的字母或添加下标等方法表示,以示区别,然后根据待定系数法的方法求出这些系数,从而得到函数解析式。
第三部分:典型例题剖析
例1:南方A 市欲将一批容易变质的水果运往B 市销售,共有飞机、火车、汽车三种运输方式,现只可选择其中的一种,这三种运输方式的主要参考数据如下表所示:
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时,记A 、B 间的距离为
x
千
米。(1)若用W 1、W 2、W 3分别表示飞机、火车、汽车运输时的总费用(包括损耗),写出W 1、W 2、W 3与
x
之间的函数关系式(只需写出结果,不必写出过程);(2)应采用
哪种运输方式,才能使运输时的总支出费用(包括损耗)最小?
例1的解答:
(1)W 1=171400x +;W 2=
62800x +;W 3=121400x +
(2)三个函数图像画在同一坐标系内得
当
S AB
>7003
千米时,用火车比较合理。(为什么用画图像的方法?注意新老教材的区别)
例2:如图,已知直线
x y 21=与双曲线x
k y =(0 k )交于A 、B 两点,且
点A 的横坐标为4。(1)求
k
的值;(2)若双曲线)0( k x
k y =上一点C 的纵坐标为
8,求AO C ?的面积;(3)过原点O 的另一条直线l 交双曲线
)0( k x
k
y =于P 、Q 两点(P 点在第一象限),若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标。
11X (千米) 3
x
例2的解答:(1)A (4,2),
k =8;
(2)C (1,8),A O C ?的面积为15(可用三种方法求AOC ?的面积,什么方法最好);
(3)四边形面积是AOP ?的面积的4倍,设
P (a ,
a
8
),则244)8
2(214=-+??a a
,得a =-8(舍去)或a =2
或
a =-2
(舍去)或
a =8,所以P (2,4)或(8,1)
例3:如图,已知平面直角坐标系中,直线
)0(2
1
b b x y +-=分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,以OA 、OB 为边作矩形OACB ,D 为BC 的中点。以M (4,0),N (8,0)为斜边端点作等腰直角三角形PMN ,点P 在第一象限,设矩形OACB 与△PMN 重叠部分的面积为S 。(1)求点P 的坐标;(2)当b 值由小到大变化时,求S 与b 的函数关系式;(3)在b 值的变化过程中,若△PCD 为等腰三角形,请求出所有符合条件的b 值。
例3的解答:(1)P (6,2);(2)B (0,b ),A (2b ,0) ①当2b ≤4即b ≤2时,S=0
②当4<2b ≤6即2<b ≤3时,S=
2
)42(2
1-b ,
即S=
8822
+-b b
③当
6<2b <8
即
3<b <4
时,
x
S=
2
)
2
8(
2
1
2
4
2
1
b
-
-
?
?
,即S=28
16
22-
+
-b
b
④当2b≥8即b≥4时,S=
2
4
2
1
?
?
=4;(3)C(2b,b),D(b,b)
①若PC=PD,则
6
2
2
=
+b
b
,b=4
②若PD=CD,则PD2=CD2,所以
2
2)
2(
)
6(b
b
b=
-
+
-
,b=8±26
③若PC=CD,则PC2=CD2,所以
2
2)
2(
)
2
6(b
b
b=
-
+
-
, b=2(舍去,为什么?)
或b=5。所以b=4或5或8±26
初中数学_确定二次函数的表达式教学设计学情分析教材分析课后反思
确定二次函数表达式 一、导入新课 复习回顾:先复习二次函数的概念及二次函数的表达式,再通过一次函数,反比例函数的求法,引入确定二次函数表达式的方法。 二、学习目标 1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思 想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式,交点式,以 便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数,简化运算过程。 三、教学过程 1、先复习二次函数的概念及二次函数的表达式,再通过一次函数, 反比例函数的求法,引入确定二次函数表达式的方法----待定系数法。 2、指出本节课的教学目标: (1)经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识. (2)会利用待定系数法求二次函数的表达式.
(3)灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式,交点式,以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数,简化运算过程。 3、精讲例题1,学习具体求解方法。 例1 已知二次函数y=ax2+c 的图象经过点(2,3)和 (-1,-3),求出这个二次函数的表达式. 解:将点(2,3)和(-1,-3)分别代入二次函数y=ax 2+c 中,得 ? ??4a+c=3a+c=-3 解这个方程组,得? ??a=3c=-5 ∴所求二次函数表达式为:y=2x 2-5. 4、让学板演评测题:做一做,并点评,介绍两种解法。说明什么时候设一般式。 做一做:已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式. 5、继续学习例题2,例3,并讲解不同解法,说明什么时候设顶点式,什么时候设交点式 例题2二次函数y=ax2+bx+c 的图象过点A(0,5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=3,求这个二次函数的解析式。 例3已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点,求二次函数的表达式。
函数教材分析解读
《函数》教材分析 1、哪儿发生变化,哪没变?从教材内容,(或添加、删减),内容 没变,但是呈现方式发生改变,体现的理念变化,为什么这么 变?实际上是要学有用的数学,身边的数学,应用数学,学是 为了用,设计思想,体现的理念。做数学,让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来,要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化,技术所起的作用。技术的使用,引起学习方式的改变,怎么用?明确指出需要用技术的地方,形与数要结合。使用技术到非用不可,举例说明。重点! “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社
会中的简单问题。” 二、内容安排: 函数这章教材共分个大节:第一大节是函数的概念及函数的一般性质;第二大节是指数与指数函数;第三大节是对数与对数函数;第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段,初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象,并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等,使学生获得感性知识;本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段,是对函数概念的再认识阶段,用集合、映射的思想理解函数的一般定义,通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数,使学生获得较为系统的函数知识,并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分,极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。 高中的函数知识是在初中的基础上学习的,主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看,函数是集合A到集合B的映射(A、B是非空数集),映射是特殊的对应,函数是特殊的映射,反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点,要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景,通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质,反之,函数性质又直观反映在图象上,指导准确作出函数图象。
高中数学_2.4.1 函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.1《函数的零点》教学设计 一、教材与教学分析 1.函数的零点在教材中的地位 本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容,它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上,对函数知识的进一步延伸和拓展,为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用,地位至关重要。 2.教学目标分析 ①知识能力方面: (1).掌握函数零点的概念,会求函数的零点. (2).掌握二次函数零点的判定方法. (3).会运用性质做出简单三次函数的大致图像. ②数学核心素养方面: (1).在探索方程根与函数零点的关系中,构建函数零点的概念,提升学生数学抽象与数学建模素养; (2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中;培养学生数形结合与直观想 象的核心素养. 3.教学的重点:函数零点的概念与性质;判定二次函数零点的个数;会求函数的零点. 教学的难点:函数零点的应用
值为 四、函数零点的性质 性质1, 问题1.请同学们通过列表研究一次,二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的? 问题2.如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时,函数值变号吗? 问题3.如果零点左右的函数值连续变号,函数图象与x 轴一定有什么关系? 性质2, 问题4.通过几何画板观察一次函数,二次函数在零点分成的区间上,函数值有什么特点? 1.通过列表,学生从数上理解函数零点的性质1 2.通过几何画板的演示,使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。 3.培养学生分析问题探究问题的能力,培养学生数形结合思想,直观想象的核心素养。 师:观察函数12-=x y , 2()6f x x x =--的图像,在零点两侧 附近函数值的符号是如何变化的? 一生投影展示,大胆给出结论 师:性质1.(板书) 师:如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时,函数值变号吗? 生:不变号 师:如果零点左右的函数值连续变号,函数图象与x 轴有什么关系? 生:相交 师:通过几何画板观察一次函数,二次函数在零点分成的区间上,函数值有什么特点? 师:性质2(板书) 五、性质简单应用 1.运用零点的性质,求函数 22)(23+--=x x x x f 的 零点,画出函数的图像。 2.变式:求函数 f (x )= 通过例题的练习,初步掌握利用三次函数图像的大致 画法。 例2教师板书:规范步骤。 强调:(1)求函数的零点 (2)取值列表 取与x 轴交点,与y 轴交点,以及零点分成区间内部至少一点。遇到对称值,可以再取点。 (3)描点连线,用平滑的曲线连接。 师:明确了作三次函数图像的步骤,变式:求f (x )=12432 3 +--x x x 的零点,并画出它的图象.
《函数》教材分析
第三章《函数》教材分析 本章为函数,共6节,内容如下映射、函数、作函数图像的描点法、函数的性质、反函数、函数的应用举例. 本章共需17课时,具体分配如下: 3.1映射约1课时 3.2 函数约3课时 3.3作函数图像的描点法约2课时 3.4函数的性质约3课时 3.5 反函数约2课时 3.6 函数的应用举例约2课时 小结与复习约4课时 一、内容与要求 函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析,包括极限理论、微分学、 积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程,无一不是以函数作为基本 概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想,是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关,初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容,高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体,通过这些函数的研究,能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数,等差数列的通项反映的点对(n,an)都分布在直线y=kx+b的图象上,等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函 数关系式,等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数中学的其他数学内容也都与函数内容有关 函数在中学教材中是分三个阶段安排的第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等,并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一 次函数、二次函数等最简单的函数,通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次 函数、二次函数的慨念和性质,理解函数的概念,并用描点法可以绘制相应函数图象 及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段,也就是函数概念的再认识阶段,即用 集合、映射的思想理解函数的一般定义,加深对函数概念的理解,在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质,从而使学生在第二阶段函数 的学习中获得较为系统的函数知识,并初步培养了学生的函数的应用意识,为今后学习打下 良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成 学的限定选修课中安排的,选修Ⅰ的内容有极限与导数,选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分,这些内容是函数及其应用研究的深化和提高,也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的 基础知识 (一)内容安排 本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念,这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段高一学生的数学知识较少,接受能力有限,用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的而且有利于初中和高中知识的自然过渡和衔接 映射是在学习完集合与函数的基本概念之后学习的它是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念学习集合的映射概念的目的主要为了进一步理解函数的定义 的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集,还可以是点集、向量的集合等,本章主要是指数的集合随 - 1 -
(完整版)反比例函数教案
9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力:(1)理解反比例函数的概念,能判断两个变量之间的关系是否是函数关系,进而识别反比例函数; (2)能根据已知条件确定反比例函数的表达式; 过程与方法:经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程,体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观:(1)经历反比例函数的形成过程,使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 (2)通过学习反比例函数,培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点:根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点:理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境,引入新课 同学们,你们还记得在小学里学过的,两个变量满足什么条件时成反比例关系吗?你能写出下列例子中的等式吗? 1.当路程s 一定时,时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时,长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时,三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答:如果两个量x和y满足xy=k(k为常数, k ≠0)那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海(全程约300km),全程所用的时间t(h)随着速度v(km/h)的变化而变化。 (1)你能用含v的代数式表示t吗?
(2)利用(1)的关系式完成下表: 随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化? (3)时间t是速度v的函数吗? (4)时间t是速度v的一次函数吗?是正比例函数吗? 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念,引出新知:反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化,则a与b的关系式为_____. 2.京沪线铁路全程为1463 km,某列车平均速度为v(km/h),全程运行时间为t(h),则v与t的关系式为_____ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为_____ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为_____ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征? 2它们与正比例函数关系式有什么不同? 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论:反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数。 注:(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
一次函数:教材分析
浙教版八年级(上)第七章 《一次函数》教材分析 一、内容定位 (一)注重函数建模过程,降低函数抽象图形分析的难度,融合方程、不等式、函数的统一 (二)本章教材设计,体现了“问题情景——建立数学模型——概念、规律应用与拓展”的模式。 通过大量的贴近学生生活的实例,让学生 ①体会了常变量之间关系的普遍性。 ②感受了学习变量关系的必要性。 ③明确了函数的三种表示方式:解析式法、图象法、列表法。 ④研究了具体的、简单的一次函数的性质。 我们希望通过本章学习一次函数,使学生了解一次函数的有关性质,并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识与能力。这样为以后学习有关函数问题提供了研究的方法和起到了示范作用。 二、教学目标: 1、经历常量与变量、函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展学生的抽象思维能力,经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作交流活动中发展学生的意识与能力。 2、经历一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展学生的形象思维能力。 3、初步理解函数的概念;理解一次函数及其图象的有关性质;初步体会方程和函数的关系。 4、能根据所给的信息确定一次函数表达式,会作一次函数的图象,并利用它们解决简单的实际问题。 下面谈谈每一节的教学设计: 第一节:常量与变量 【教学目标】 在具体情境中理解什么是变量、常量,并能举出常量、变量之间关系的例子,获得探索常量、变量之间关系的体验。 重点:认识常量与变量。
难点:理解变量的概念。 【教材分析】 通过长途客车从杭州驶向上海,引出问题:什么量不变,什么量在变,再根据合作学习,探讨了圆的面积公式、钟点工的工资额相关运算问题,在运算的过程中,让学生感觉变与不变,从而深刻理解常量与变量的概念。 第二节:认识函数 【教学目标】 (1)初步了解函数的概念,明确函数中两个变量之间的关系。 (2)了解函数常用的三种表示方法,会列简单实际问题的函数解析式;会求函数值和简单函数的自变量的取值范围。 重点:建立函数观念,掌握求函数解析式。 难点:函数概念的理解,函数解析式的应用 【教材分析】 本节课共两课时, ●第一课时以大学生暑期打工的时间与报酬的关系图,跳远运动员的跳远的距离与 助跑的速度的经验公式呈现了两个生活化的场景,使学生明确“给定其中某一个 变量的值,相应地就确定了另一个变量的值”这一共性,从而归纳出函数的概念, 同时也明确了函数的三种表示方式,对于函数的概念,只要学生能结合具体情境, 体会到函数的概念即可,不必作不必要的拓展和加深,也不要作判断函数关系的抽 象训练.建议把P154骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数 关系图象,并设置问题情境,放入合作学习中,作为第三个问题。 ●第二课时是两个求函数解析式及其应用的简单例子,通过几何(等腰三角形)与 代数应用(游泳池换水)问题,使学生初步了解如何求函数关系式、自变量的取 值范围,想一想提出的问题很及时,让学生感受到实际问题的限制条件。探究活 动给了学生一个思维的空间,又一次让学生感受数学中的“数形结合”思想。 第三节:一次函数 【教学目标】 (1)使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念,能够说出一次函数与正比例函数之间的关系。 (2)会求正比例函数、一次函数的解析式。 (3)会求一次函数的值,会根据已知一次函数的值求对应的自变量的值。