矩阵论答案

习题一

1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ??

-?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++??

??-++??

，故由归纳法知

cos sin sin cos n

nx nx A nx nx ??

=??-??

。

（2）直接计算得4

A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。

（3）记J=0 1 0 1 1 0 ??????

??????????

，则，

112211111 () n n n n

n n n n n n n n

i i n i

n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a

a -----=-????????=+==??

????????

∑。 2．设11

22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===??

则由得

1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ??

????==??????????????

1时,不可能。

而由2

112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ??

????==??????????????

1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -，其中P 为任意满秩矩阵，而

1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===??????

--??????

。注：2

A E =-无实解，n

A E =的讨论雷同。

3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2

n 个未知数时线

性方程AX -XA=0有2

n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，

通过直接检验即发现A 为纯量矩阵。110n n a a a -+++=

4．分别对（A B ）和A C ??

???

作行（列）初等变换即可。

5．先证A 或B 是初等到阵时有()*

**AB B A =，从而当A 或B 为可逆阵时有()*

AB B A =。

考虑到初等变换A 对B 的1n -阶子行列式的影响及*1

A A -=即可得前面提到的结果。

下设 00 0r E PAQ ??=????

，

（这里P ，Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可：

* 0 00 00 0r r E E B B ??????= ??????

?????，（1） r

（2） r=n-1时，*

00 00 10 0r E ????=????????，n1

*nn 0 0 0 0 B 0

n B B r

E B ??????=????????

，但 1112111121212222122212 00 0 0 0 0n n n r n n n nn b b b b b b b b b E b b b b b b ????

??????????

=????????

???????????

? ，故 *

00 0r E B ????= ???

????n1

2 nn 0 B 0

n B B ????????

00 0r E B ??=????。 6．由()()0()0r A r A AX AX AX ⊥⊥

==?=及，即0AX =与0A AX ⊥=同解，此即所

求证。

7．设其逆为()

ij a ，则当I 固定时由可逆阵的定义得n 个方程

()()()

111123n j j j i i i in ij a a w a w a w δ----++++= ，1,2,j n = ，

其中ij δ为Kronecker 符号。对这里的第l 个方程乘以()()

1j n l w

--然后全加起来得

()()()()111j n j n i ij nw a w ----=，即得()()111j n i

ij a w n

-+-=。

注：同一方程式的全部本原根之和为0，且m

w 也是本原根（可能其满足的方程次数小于n ）。

习题二

1．因11x x x ⊕==⊕，所以V 中零元素为1，x 的负元素为

，再证结合律、交换律和分配律。

2．归纳法：设121s W W W V -≠ ，则下面三者之一必成立：

（1）121s s W W W W -? ；（2）121s s W W W W -? 。

（3）存在121\s s W W W W α-∈ 及121\()s s W W W W β-∈ 。如果是（1）（2）则归纳成立，如果是（3）则选s 个不同的数12,,,s k k k ，则必有某一个12i s k W W W αβ+? 。

3． U 是满足方程tr(A)=0解向量空间，其维数为2

1n -，故其补空间为一维的，可由任一迹

非0的矩阵生成。

4．易证线性封闭。又设V 中元素为1211n n n n f a x a x a ---=+++ ，则U 是满足方程

110n n a a a -+++= 的子空间。故U 的维数为n-1，其补空间为一维的，故任取一系

数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。

5．记U=()123,,u u u ，()12,W w w =，把U,W 放在一起成4行5列的矩阵，其Hermite 标

准形为

1 4 5 1 2150 1 1 390 0 0 1 30 0 0 0 0??

????

?????????

，故U W 的基为123w w -+，U 的基为123w w -+，1u ；W 的基为123w w -+，1w ；

U W +

的基为123w w -+，1u ，1w 。

6．0(,,,)0x y z w U W x y z w x y z w ?+++=?

?=??

?-+-=???

， 1 1 1 121 1 1 1r ??= ?--??，

故()()()dim 2,dim dim dim dim 4U W U W U W U W =+=+-= ；

()()1,1,1,1U W -- 的基为方程组的解向量0,1,1,-1和。

7．（1）由1

(1)(1)

j j j

i i x x a X x x -==---∑知可表示为线性组合，由基定义知其为一组基。

（2）由

()0

1n n

i i

i i a x b x ===-∑∑及()0

(11)1j

i x

x C x ==-+=-∑得0

j j k k k b C a ==∑。

注：当k

8．由12,,,j t αβββ 为的线性组合知存在矩阵A 使得()()1212,,,,,,s t A αααβββ= ，由i α线性无关可知()r A s =故s t ≤，把A 的Hermite 标准形非0行的第一个非0元所在列对应的i β全替代为i α即为所求。

9．易证为子空间； {}

n U B Z XA x F =∈为在空间上的核空间，故

{}()()()dim dim n

U Z XA X F r AB r A r AB ==∈-=-。

习题

三

1．略

2．()()1122 ,, y a b x y x x b c y ??

??= ? ?????

，故内积定义的（1）

（3）显然；而

（2）成立 c a b b ???

???

为正定矩阵2

0,0a ac b ?>->。 3．（1）（3）显然

（2）(,)0f f ≥且等号成立当且仅当(,)0f f =?

()22002f f π??

+= ????()002f f π??

= ???

? cos sin 0cos sin 022

a b a b θθππ

+=???+=???00a b f ==?=。

||()||5h t =

=。

习题四

1．设AB 的特征值及其对应的特征向量为,i i X λ，即i i i A B X X λ=，如0i BX =，

则0i λ=（注意到只能有一个特征值为0）。故由i i i BABX BX λ=知BA 与AB 特征值勤全相同，所以它们都相似于()12,,n dig λλλ 。

2．σ对应的矩阵为

0 2 22 3 12 1 3T

--????--????--??

，即

()()123123,,,,,

e e e e e e A σ=作基变换

()()'

1231

23,

,,,.

e e e e e e P

=则()()'''

1123123,,,,.e e e e e e PAP σ-=故使为对角形的基()1123,,e e e P -即可。

3．V 的一组基为1 00 00 10 1 1 00 0????????????-??????

，，，分别记为123,,e e e ，则

123223332,,e e e e e e e e e σσσ=-=-=-，故

()()123123 0 0 0,,,, 1 1 11 1 1e e e e e e σ??

??=-????--??

()123,,e e e A ，

求出使1

PAP -为对角形阵的P ，基取为()1

123,,e e e P -

4．令1

1 20 0,

2 10 1P P AP -????==?

???-????

则，

()10 00 01,||0,0 10 5tr A A A P P -????====????????

。

5． ()||m n m n E AB E BA λλλ--=-知除0外AB 与BA 的特征值全相同（包括代数重数），

而迹为矩阵特征值之和。

6．（1）特征多项式2

87x x -+为最小多项式，可能角化（2）()()()||123E A λλλλ-=---为最小多项式，可对角化

（3）特征多项式为()

()2

12λλ-+，经验证()()2A E A E -+，故最小多项式为

()()12λλ-+，可对角化。

（4）同（3），但()()20A E A E -+≠，故最小多项式为()()2

12λλ-+，不能对角化。

7．（1） a 0 a 1, 0 a 0 a A B ????==?

???

????

，则()()()22

,A B A B f f x a m x a x a m ==-=-≠-=；（2） a 1 0 0 a 1 0 00 a 0 00 a 0 0,0 0 a 00 0 b 00 0 0 b 0 0 0 b A B ????????

???=????????????

()()()()322A B f x a x b x a x b f =--≠--=，()()()()2

A B m x a x b x a x b m =--=--=

8．由特征多项式的表达式特和题设有

10,0n

i i j i i j λλλ=≠==∑∑，故2

110n n

i i i j i i i j λλλλ==≠??==+ ???

∑∑∑21n i i λ==∑，又i λ为实数故i λ均为0。现由Shur 定理存在P 使

0 * * * 0 * * * 0P AP -??

??????=????????

=B ，

直接计算得1

0,0n n n B A PB P -===故。

9．由

i n λ

==∑

i n

=≤

∑即得。

10．略

11．略

12．盖尔圆分离且A 为实阵，故A 有n 个不同实根。（命题4.4.1 及其推论）

13．略

习题五

1．略

2．略

3．略

4．略

5．（1）22

1 0 00 6

2 4100

3 5 47E A λλλλλλλ????-→--+-→????-+-??

21 0 00 0 440 2 1λλλ??

??+-→????--??

()31 0 00 0 00 0 -2λ??

??????????

，即初等因子为()3

2λ-，故Jordan 标准形为

2 1 00 2 10 0 2??

????????

，由AX=2X 解出1X ，再由AX-2X= 1X -求出2X 及由22AX X X -=-解出3X ，则

[]123,,P X X X =即为所求。

6．略

7．由于幂0阵的特征值全为0，故若其不为0阵则其Jordan 标准形必含阶大于1的Jordan

块

J=0 1 0 1 1 0??????

??????????

，但J 的最小多项式为r

λ（r>1）有重根不能对角化，故幂0阵的Jordan 标准形不能对角

化，那它自己当然也不能对角化。

8．设1

A P A P J -=

为

A 的Jordan 标准形及，

()()120 * 0 0 0 * 0,,, * 0A n i J dig dig M λλλλ??

????

??=+=+????????

，

易算出0n

M =，1()n P MP o -=，而

()111A i A P J P P dig P P MP D N λ---==+=+。

9．特征值为1,,i i -，可对角化后计算。

10．记V 的基为221234,,,x x x x e e e xe e x e e e ===则

()()()1234123412341 1 0 00 1 2 0,,,,,,,,,0 0 1 00 0 0 2T e e e e e e e e e e e e A ??

?==??????

，

E A λ-可初等变换为()31 0 0 00 1 0 00 0 -1 00 0 0 -1λλ??

?????????

，故初等因子为()32,1λλ--；以下略。

11．设A 的标准形的Jordan 块为12,,r J J J ，则

()()121

,,,, r i r

A J J J A J i m x m m m f x f =??==??∏ ，而()()i J i J m x f x =，故A A f m =时对应

于每个特征值的Jordan 块仅有一个。

习题六

1．（1）（2）略（3）直接计算有，

()()()

******,,,AX X AX X A AX A X A AX A X x A X X A x λλλλλλ--=--=--由内积的性质得*

00AX X X A X λλ-=?-=。

2．设

()*12,,,n A U dig U

λλλ= ，（U 为酉矩阵），故

()**12,,,n A U dig U λλλ= ，所以 ()**22212||,||,,||n AA U dig U λλλ= ，

3．（1）由()*12,,,n A U dig U λλλ= 及()

**12,,,n A U dig U λλλ= 即得，

（2）由第2题得；

（3）()

*12,,,m m m m

n A U dig U λλλ= ，故由m i i λλ=知i λ必为1或0

4．（1）（2）略

（3）()()

*333*222

1212,,,,,,n n U dig U U dig U λλλλλλ= ，由32i i λλ=22i i A A λλ==故

（4）()

*12,,,k k k k

n E A U dig U λλλ== ，又

i λ为实数，故i λ为1±，所以

()2*1,1,,1A U dig U E ==

5． λ为AB 的特征值，对应特征向量为X ，则()()()*

AX B AX AX X X A X λλ==；

由A ，B 正定及*

A 正定和0AX ≠（A 满秩）知()()*

*0AX B AX X AX

λ=

6．由绍尔定理存在酉阵U

使得

1121312232*

1, n n n n b b b b b U AU b λλλ-??????

??=???

?????

，故

2122212

2|| * * * |||| * * * |||n n in i i b U A AU b λλλ-=??

??+????=??

??+?

???

∑

，故 ()()2*()A tr A A ρ≤

7．设

()12,,T n A U dig U λλλ= ，U 为正交阵，

令Y UX =，则 {}2

||||max ||n

T T i i

i i X AX y

Y Y CX X λλ==≤=∑，其中{}max ||i C λ=

8．设**

(A V PV V VAV P ==为酉阵),则，而

AB 正规*

VABV ?正规*

PVBV ?正规并且*

AB BA PVBV VBV P =?=，故不妨设

1111121222122

212 , r r r r r r rr E B B B E B B B A B E B B B λλλ????????

????==????????????????

，

其中i λ互不相同，则由AB=BA 知

0ij B =（当i j ≠时），即()1122,,,rr B dig B B B = ；

易证ii B 为正规阵，故存在酉阵12,,,r U U U 使得

()***1212(,,,),,,r r dig U U U Bdig U U U 为对角阵，令()12,,,r U dig U U U = ，则

*U ABU 为对角阵，故AB 为正规阵。

9．略

10．****

****00P P B P P P B A A E Q B Q B P B B Q Q ??????===??????+?

?????，故 **

***

,0,0,P P E B P P B B B

Q Q E

===+=由此即可算出。

11．特征多项式相同?特征值及其重数都相同?两个矩阵与同一对角阵相似。

12．计算出()()

1A f ax b λλ=-++，特征值为221,,λλλ=，故

1所对应的特征向量为旋转轴，旋转角由22cos Re ,sin Im θλθλ==决定。

13．特征值为1±，求出特征向量即可。

14．对X V ∈，

()()()()()

()()

222224T

T T T T T T T T T T T T T T TX TX TX TX x YY X x YY X X XYY X YY X X X X YY X X YY X X YY YY X

X X

==--

=--=--+=

注意到上式已用到2

||||1T YY Y ==。

15．两者均为正规阵，故求出特征向量并标准化即可。

习题七

1．略；2。略

3．（1）由()

()*

T T E ρρ=得

（2）由()()()*

*TA TA A A ρ

ρ=得

4．见习题六第6题的证明，注意被酉阵乘后不改变这两种范数。

5．略；

6．不一定，反例略；

7．由lim lim lim n

n n n A A A A →∞

→∞

=得；

8．可简单计算出最小多项式为()2

1λ-，且函数()0

22k k k x f x x

∞

-∑

在A 的谱上的数值为()()12,'12f f ==，故()f x 与多项式2x 在A 的谱上的数值相同，所以f(A)=2A

9.易计算出其特征值为0，0.2，故0m

A →。

10．221A m λλ=++，后略；

11． ()()()2

122,A m λλλ=--+后略；

12．特征多项式为()()()123λλλλλλ---

或()3

1λλ- 或()

()212λλλλ--，故寻找二次多项式()P λ使得

()i t

i P e λλ=

或()()()112112,',t

P e P te p e

λλ

λλλλ===

或()()()1112111,',"t

P e P te P t e λλλλλλ===；

13．（1）

A A

e =00(1)!!

k k k A A

E e A k k ∞

∞

=====+-∑∑，后略；

14．略

15．略

16．（1）设110A m m m m e a x a x a E --=+++ ，故

()()m

A T

T i i i e a A ==∑，注意到A 与T A 有相同的特征值及其重数，故

()T

A T i

i i e

a A ==∑，即()

A A e

e =，所以

()

A A

e e e E +

===。

（2）的证明类似，略。

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

2016矩阵论试题

第 1 页共 6 页（A 卷）学院系专业班级姓名学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷太原理工大学矩阵分析试卷（A ）适用专业：2016级硕士研究生考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟共 8页一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是（）. (A) A 一定可以对角化；（B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ；（D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(