误差分析及绪论习题-复习题

课本例外补充习题 (第一章)

1. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?

2. 2.为了使

11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?

3. 3.如果利用四位函数表计算

ο2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.

4.求方程

01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.

( 已知

975.19399≈ )

5、设

0>x , *x 的相对误差为δ

求

x ln 的误差。

6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。摄指出他们是几位有效数字。 解：(1)

*1x =1.1021 是五位有效数字 (2) *2x =0.031 (2位) (3) *3x =385.6 (4位) (4) *

4x =56.430 (5位)

(5)

*5x =7*1.0 (2位) .

7、 求下 列各近似值得误差限 .

(.

1)

*

3*2

*

1

x x x ++ , (

.1.

1)*

3*2*1x

x x ， (

.1.1.

1) *

4

*2

x x , 其中*4*3*2*

1

,,,x x x x 均为

第6题 所给的数 .

8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限

是多少?、

9、设

2

2

1gt s =

假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明 当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.

10、

)1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时误差有多大?若改用另一个等价公

式

)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?

课本例外补充习题 (第一章)答案

4. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?

2.为了使

11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?

解:

3166

.311≈ , 31

=∴a , %1.010**21

|)(|11

*≤≤

∴+-n r a x ε

? 1000

6101≤

+-n

? (-n+1)lg10≤lg6-lg1000= -n+1≤ 0.77815 –3

?-n+1≤-2.2218 ?n ≥3.2218 .

∴

n=4 . 说明应取4位有效数时相对误差限

≤0.1% .

3.如果利用四位函数表计算

ο2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.

解: 用四位函数表值接计算0006.09994.012cos 1=-≈-ο

, 只有1位有效数字.

4

2210*092.69994.1)03490.0(2cos 12sin 2cos 1-≈≈+=-ο

οο

只有4位有效数字.

4210*09.61sin 22cos 1-≈=-οο , 只有3位有效数字.准确值 410*0917.62cos 1-=-ο , 故

以上3种算法误差限分别为

44410*002.0,10*0003.0,10*1.0--- .

4.求方程

01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.( 已知 975.19399≈ )

解: 975

.39399202

1400240241600401=+=-+=-+=

x Θ

975.1920*

1+=x , 由伟大定理

211x x = ,)1*(21=x x , 故0250151.0975

.391

2==x , 02500

.0975.1920399202

1400240*22=-=?-=--=

x x Θ

00005.010*2

1

00001565.0|975.19974984.19||975.19399||||)(|4*

111=≤

=-=-=-=-x x x εΘ

4*

22210*2

1

|975.19399||||)(|-≤

-=-=x x x ε 可见 21,x x 有四位有效数字. 5、设

0>x , *x 的相对误差为δ求

x ln 的误差。

解：求x

ln 的误差限就是求

x

x f ln )(= 的误差限。由公式

)

(|)(|)(***x x f x f δδ'≈ 有

)(|)(|m ax

|)()(|)(*)

(||****x x f x f x f x f x x x δδδ'≤-=≤-

已知 *x 的相对误差限δ

满足

|

*||

*|x x x -δ≤<1而

x x f ln )(= , x

x f 1)(=

' , |

|)(||*

*

*x x x x δδ=≤- ,故

)

(|||||||1|max |ln ln |**

**

*)(|*|*

x x x x x x x x x x x x δδ--≤-≤-≤- 即

δ

δ

δδ-≤

--=

111|*||*|)(ln *x x x x 。

6‘-为了减少运算次数，应将表达式.54324216171814131

1681

x x x x x x x x -+---++-

改写为；

答案：

()()()()()()()1

816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x

6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。摄指出他们是几位有效数字。 解：(1)

*1x =1.1021 是五位有效数字。 (2) *

2x =0.031 (2位) (3)

*3x =385.6 (4位) (4) *4x =56.430 (5位) (5)

*5x =7*1.0 (2位) .

7、 求下 列各近似值得误差限 .

(.

1)

*

3*2

*1

x x x ++ , (

.1.

1)*

3*2*1x

x x ， (

.1.1.

1) *

4

*2

x x , 其中*4*3*2*

1

,,,x x x x 均为

第6题 所给的数 . 解: (.

1

)*3*2*

1

x x x ++ 用 7p 公式=±)(*2*1x x ε±)(*

1x ε)(*2x ε

∴

)()()()(*

4*2*1*4*2*1x x x x x x εεεε++=++

有绝对误差限公式1*110*2

1

||

+-≤

-n m x x

3344.

10*05.110*2

1

10*2110*21)1(----=++≤

∴ []

)

(||||)(||)(||||)(||||)(||)()11(*

3*2*1*2*2*1*1*3*3*2*1*2*1*3*3*2*1.

.x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεε++=+=Θ

215.010*2

1

*031.0*1021.1)10*21*031.010*21*1021.1(*6.385134=++=---

)

111(.

..*4

*2

x

x 解2

3

32*4*4

*4

*2

*2

*4

*2)430.56(10*21

*430.5610*21*031.0||)(||)(||)(--+≤+≈x x x x x x x εεε

=8.87*6

10

-.

8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限

是多少?、解: 已知

%1=v dv , 由334r v π= %133

43*3432

==∴dr r

dr r r ππ

%33.0%31

==∴

r dr 9、设

2

2

1gt s =

假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.

解:

1

.0)(*=t ε

22

1gt s =

Θ ,

gt t

s

=?? ,

2

2

1t g s =?? ,

0)(*=g ε

*1******101.0*|)()(|)(|)(

|)(gt gt g g

s

t t s s -==??+??=εεε*

2**1***

1

)(2

110||)

()(st t g gt s s s r ===-εε , 由

*1*10)(gt s -=ε , 已知*

*1)(st s r =

ε当 t 增加时 s 的绝对

误差

)(*s ε增加 , 而 )(*s r ε减少.

10、

)1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时误差有多大?若改用另一个等价公式

)

1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?分析: 由于

)1ln()(2--=x x x f , 求)(x f 的值应看成复合函数先令12--=x x y , 由于开平方用六位函数表则y

的误差为已知故应看成

y

y f z ln )(==-

, 由y 的误差限

|

*|y y - 求

)

(y f -

的误差限

|ln ln |)(**y y z -=δ .

解: 当 30=x 时求 130302--=y 用六位开平方表得 0167

.09833.2930*=-=y 故

4

*

10*21||-≤-y y 由 y y f z ln )(==-得y

y f 1)(=

'-故

)(1*

**y y y

z z -≈

- , 于是

2

4*

**

*

10*3.010*0167.05

.0|

|||||)(--≤≈-≈-=y y y z z z δ , 若改用公式

)1ln()(2-+-=x x x f 则 先令12

-+=x x y 此时 y y f z ln )(-==-

则

9833

.5989930*=+=y 因此

4*10*2

1

||-≤

-y y ,

)(1*

**y y y

z z --

≈- 于是

6

4*

**

10*834.010*9833.595.0|

||||*|)(--≤≈-≈-=y y y z z z δ 可见改用公式时误差比前面的误差小得多. 第一章

1、345x ??

?

= ? ???

求G-矩阵T 使得1||Tx x e =

解：12125(,)3/5,4/5,05T c s c s T x ?? ?

=== ? ???

中 ) ,

1312131

(,)1/2,2,520||0T c s c s T T x x e ==? == ? ???

中1213T T T =