分式考点及典型例题分析(最全面)

分式考点及典型例题分析

1、分式的定义：

例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π

xy 3、y x +3、m

a 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123

x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？

5a -； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145

b -+. 2、分式有，无意义，总有意义：

（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；

（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；

注意：（12

+x ≠0） 例1：当x 时，分式

51-x 有意义； 例2：分式x

x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式12+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y

-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）

A ．

122+x x B.12+x x C.133+x x D.2

5x x - 例7：使分式2+x x 有意义的x 的取值围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3 3、分式的值为零：

使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0

了，那么要舍去。

例1：当x 时，分式1

21+-a a 的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0 例3：如果分式22

+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对

例4：能使分式1

22--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ ） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x

例5：要使分式6

5922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2 例6：若01=+a

a ,则a 是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

例1：aby a xy = ； z y z y z y x +=++2

)(3)(6 ；如果75)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值围是________； 例2：)(1332

=b

a a

b )(

c b a c b --=+- 例3：如果把分式b

a b a ++2中的a 和b 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A 、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的20倍 D 、不变

例4：如果把分式y

x x +10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的10

1 例5：如果把分式y

x xy +中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍

C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=()0≠C

例6：如果把分式y

x y x +-中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍

例7：如果把分式xy

y x -中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小

21倍 例8：若把分式

x y x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（ ） A ．扩大12倍 B ．缩小12倍 C ．不变 D ．缩小6倍

例9：若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）

A 、y x 23

B 、223y x

C 、y x 232

D 、2

3

23y x 例10：根据分式的基本性质，分式

b

a a --可变形为（ ） A

b a a -- B b a a + C b a a -- D b

a a +- 例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05

.0012.02.0x x ； 例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， 211x x x -+--= 。 5、分式的约分及最简分式：

①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分

②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）

约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。 例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）c

a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个

例2：下列约分正确的是（ ）

A 、326x x x =；

B 、0=++y x y x ；

C 、x xy x y x 12=++；

D 、2

14222=y x xy 例3：下列式子正确的是( ) A 022=++y x y x B.1-=-+-y a y a C.x z y x z x y -+=+- D.0=+--=+--a

d c d c a d c a d c 例4：下列运算正确的是（ ）

A 、a a a b a b =--+

B 、2412x x ÷=

C 、22a a b b =

D 、1112m m m

-= 例5：下列式子正确的是（ ）

A ．22a b a b =

B ．0=++b a b a

C ．1-=-+-b a b a

D ．b

a b a b a b a +-=+-232.03.01.0 例6：化简2

293m m m --的结果是（ ）A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 例7：约分：=-22

64xy y x ；932--x x = ；()xy xy 132=； ()y x y x y x 536.03151+=-+。 例8：约分： 22444a a a -++＝ ； =y x xy 2164 ；=++)()(b a b b a a ； =--2)(y x y

x =-+22y x ay ax ；=++-16

81622x x x ；=+-6292x x 23

314___________21a bc a bc -= 29__________3m m -=+=b

a a

b 2205__________=+--96922x x x __________。 例9：分式3a 2a 2++，2

2b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1-中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

6、分式的乘，除，乘方： 分式的乘法：乘法法测：

b a ·d

c =bd

ac . 分式的除法：除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =bc ad 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b

a )n .分式的乘方，是把分子、

分母各自乘方.用式子表示为：(b a )n =n n

b

a (n 为正整数) 例题：

计算：（1）74

6239251526y

x x x -? （2）13410431005612516a x a y x ÷ （3）a a a 1?÷ 计算：（4）24222a

ab a b a ab a b a --?+- （5）4255222--?+-x x x x （6）2144122++÷++-a a a a a 计算：（7）32

2346y x y x -? （8）a b ab 2362÷- （9）()2xy xy x x y -?- 计算：（10） 2

2221106532x y x y y x ÷? （11） 22213(1)69x x x x x x x -+÷-?+++（12） ()22121441a a a a a a -+÷+?++- 计算：（13）1112421222-÷+--?+-a a a a a a （14）()6

33446222-+-÷--÷+--a a a a a a a 求值题：（1）已知：43=y x ，求xy

x y xy y xy x y x -+÷+--22

22222的值。 （2）已知：x y y x 39-=+，求222

2y

x y x +-的值。 （3）已知：

311=-y

x ，求y xy x y xy x ---+2232的值。 例题： 计算：（1）2

32()3y x = （2）52??? ??-b a = （3）32323???? ?

?-x y = 计算：（4）3222??????????? ??a b = （5）()

4322ab a b b a -÷???? ??-???? ??- （6）22221111??

? ??-+-???? ??-÷--a a a a a a a 求值题：（1）已知：4

32z y x == 求222z y x xz yz xy ++++的值。 （2）已知：0325102=-++-y x x 求y

xy x x 222++的值。

例题：计算y x x x y x y x +?+÷+222

)(的结果是（ ）A y x x +22

B y x +2

C y 1

D y

+11 例题：化简x y x x 1?÷的结果是（ ）A. 1 B. xy C. x

y D . y x 计算：（1）422448223-+?++-x x x x x x ；（2）1221

1222+-÷-+-x x x x x （3）(a 2－1)·22221a a a +-+÷122a a +- 7、分式的通分及最简公分母：

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解） 分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。

“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。 例如：2

22--+x x x 最简公分母就是()()22-+x x 。 “二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。 例如：4

222--+x x x 最简公分母就是[][]()2242-+=-x x x “四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。

例如：()()

2222-+-x x x x 最简公分母是：()22-x x 这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。

例1：分式n

m n m n m --+2,1,122的最简公分母是（ ） A ．))((22n m n m -+ B ．222)(n m - C ．)()(2n m n m -+ D ．22n m -

例2：对分式2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ） A ．２４x 2y ３ B ．１２ｘ２ｙ２ Ｃ．２４ｘｙ２ Ｄ．１２ｘｙ２

例3：下面各分式：221x x x -+,22x y x y +-,11x x --+,22

22x y x y

+-，其中最简分式有（ ）个。 A. 4

B. 3

C. 2

D. 1