完全平方公式第2课时 备课教案学案素材

6 完全平方公式

第2课时利用完全平方公式进行计算

情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣

情景导入活动内容:很久很久以前,有一个国王的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主.国王要赏赐他们,这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地,第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了.”

国王想不通了,他说:“你们的要求不是一样的吗?”你认为他们的要求一样吗?

大臣们开始讨论这个问题,最后一个聪明的大臣解决了国王的疑惑!

国王和大臣们……

图1-6-7

[说明与建议] 说明:利用学生感兴趣的故事引入新课,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让聪明的学生进一步体会了a2+b2与(a+b)2的关系,这也为新课的学习做好铺垫.建议:1.引导学生用上节课所学的数学知识帮助国王解开这个迷;2.提示学生可以画图进行分析.学生画完图形后,教师找画得比较好的图形进行投影展示.3.画图表示第一个农夫的土地扩大后的面积为(a2+b2)平方米.4.画图表示第二个农夫的土地扩大后的面积为(a+b)2平方米.5.请同学们观察两图,能够发现什么?学生交流讨论后,找学生代表发言.

复习导入活动内容1:完全平方公式的结构特征.

问题1:完全平方公式用字母如何表示?

问题2:完全平方公式用语言如何叙述?

问题3:完全平方公式中的字母可以表示什么?

活动内容2:利用完全平方公式计算:

(1)(-2x+3y)2;(2)(-2x-3y)2.

[说明与建议] 说明:通过学生的回顾交流和计算,进一步巩固完全平方公式,熟练完全平方公式的结构特征,也为下面探究利用完全平方公式进行数或代数式的简便运算做铺垫.建议:学生口答前面的问题后到黑板上板书活动2的解答过程.

类比导入利用平方差公式可以简便计算998×1002的值,若没有计算器的情况下,你能很快算出9982的结果吗?还能运用平方差公式计算吗?

[说明与建议] 说明:通过类比运用平方差公式进行简便计算,提出问题,激起学生的探究欲望,为导入新课做准备.建议:可先让学生计算998×1002,然后再提出后面的问题,让学生比较两个算式的异同,并引导学生分析得出9982不符合平方差公式的结构特点,不能套平方差公式,为提出利用完全平方公式进行简便计算做铺垫.

悬念激趣[师]请同学们探究下列问题:

图1-6-8

一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来1个孩子,老人就给这个孩子1块糖,来2个孩子,老人就给每个孩子2块塘,来3个孩子,老人就给每个孩子3块塘……

(1)第一天有a个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?

(2)第二天有b个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?

(3)第三天有(a+b)个孩子一起去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?

[生](1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖.

(2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖.

(3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖.

[师]第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样吗?请你用所学的公式解释自己的结论.

[说明与建议] 说明:采用“情境——探究”教学方法,让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵.建议:教师可进一步设计如下问题:能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢?用同底数幂相乘的性质(a+b)2=(a+b)(a+b),再结合多项式乘多项式的法则,引导学生探究出规律.

教材母题——第26页例2

计算:

(1)(x+3)2-x2;(2)(a+b+3)(a+b-3);

(3)(x+5)2-(x-2)(x-3).

【模型建立】

综合利用完全平方公式和平方差公式进行计算,注意公式的合理使用、运算顺序和符号的变化.

【变式变形】

1.计算(a+3b)2-(3a+b)2的结果是(C)

A.8(a-b)2

B.8(a+b)2

C.8b2-8a2

D.8a2-8b2

2.正方形原来的边长为a cm,将其边长增加6 cm,则正方形的面积增加了(C)

A.36 cm2

B.12a cm2

C.(36+12a)cm2

D.以上都不对

3.当a=b+3时,代数式2a2-4ab+2b2的值为18.

4.先化简,再求值:(x+5)(x-1)+(x-2)2,其中x=-2.

解:原式=x2-x+5x-5+x2-4x+4=2x2-1.

当x=-2时,原式=2×(-2)2-1=2×4-1=7.

5.先化简,再求值:a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b),其中a=1,b=-.

解:a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b)=a2-3ab+a2+2ab+b2-a2+ab=a2+b2.

当a=1,b=-时,原式=12+-2=.

6.已知x2-2x+y2+6y+10=0,求x+y的值.

[答案:-2]

7.用乘法公式计算:

(1)9992;(2)20022-4004×2003+20032.

[答案:(1)998001(2)1]

8.计算:(1)（60）2;(2)(2a+3b-c)2;(3)20212-4042×2020+20202.

解:(1)（60）2=（60+）2=602+2×60×+（）2=3600+2+=3602.

(2)(2a+3b-c)2=[2a+(3b-c)]2=(2a)2+2·2a·(3b-c)+(3b-c)2=4a2+12ab-4ac+9b2-6bc+c2=4a2+9b2 +c2+12ab-6bc-4ac.

(3)原式=(2021-2020)2=1.

[命题角度1] 利用完全平方公式的结构特征进行配方

完全平方公式分为和的完全平方和差的完全平方,其结构特征类似,都是首平方,尾平方,乘积2倍在中央,其区别是加乘积的2倍还是减乘积的2倍.

例填空:x2-4x+3=(x-2)2-1.

[命题角度2] 完全平方公式的推广

完全平方公式也可推广到多个数的和与差的平方.解此类题常利用添括号法则适当变形,把三项看作两项处理.

例计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.

[答案:(1)x2-4y2+12y-9(2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac]

[命题角度3] 利用完全平方公式进行简便计算

有些数学计算可使用乘法公式进行简便运算.

例计算:9.82.

解:9.82=(10-0.2)2=102-2×10×0.2+0.22=100-4+0.04=96.04.

[命题角度4] 完全平方公式的逆用

当遇到两数(或式)的平方和加上(或减去)它们的积的2倍的形式时,就逆用完全平方公式,即等于这两个数(或式)的和(或差)的平方.把注意力和着眼点放在问题的整体上,多方位思考、联想、探究,进行整体思考、整体变形,从不同的方面确定解题策略,能使问题迅速获解.

例化简:(a+2b)2-2(a+2b)(a-2b)+(a-2b)2.

解:(a+2b)2-2(a+2b)(a-2b)+(a-2b)2

=[(a+2b)-(a-2b)]2

=(4b)2 =16b2.

[命题角度5] 利用公式的变形进行代数式的化简和求值

对于有些题目按常规思路把a ,b 的值分别求出来,非常困难,仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来,运用完全平方公式的变形很容易找到解决问题的途径.熟悉完全平方公式的变形是解决这类相关求值题的关键.

(1)(a-b )2=(a+b )2-4ab ;(2)(a+b )2=(a-b )2+4ab ;

(3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab ;a 2+b 2=(a-b )2+2ab.

例1 已知a+b=3,ab=2,则a-b 的值为 ±1 .

[解析] 因为(a-b )2=(a+b )2-4ab=9-8=1,

所以a-b=±1. 例2 已知数a ,b 满足(a+b )2=10,ab=1,求下列各式的值: (1)a 2+b 2; (2)(a-b )2.

[答案:(1)8 (2)6]

P24 随堂练习

计算：

(1)????12x －2y 2；

(2)?

???2xy ＋15x 2； (3)(n ＋1)2－n 2.

解：(1)14

x 2－2xy ＋4y 2. (2)4x 2y 2＋45x 2y ＋125

x 2. (3)2n ＋1.

P26 习题1.11

1．计算：

(1)(2x ＋5y )2；

(2)????13

m －122； (3)(－2t －1)2；

(4)????15x ＋110y 2；