时域有限差分法发展综述

潘忠

摘要:时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一，目前FDTD

法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD法的应用范围越来越广，而FDTD法本身在应用中又有新的发展.本文介绍并分析了时域有限差分法，对各种条件的应用进行了比较和分析，给出了具有一定参考价值的结论。

关键词:时域有限差分法;研究与发展;比较;分析

A Summary of FDTD and Development at Home and Abroad

Zhong Pan

Abstract: The finite difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists’ effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDTD method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally, some valuable conclusions are drawn.

Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis

1966年，K.S.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。

经过了近四十年的发展，FDTD法在计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来，讨论FDTD法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。现就几个主要方面综述如下:

1 FDTD法在计算方法上的发展状况

1.1吸收边界条件

用FDTD分析电磁散射、辐射等开放或者半开放性质问题时,受计算机内存容量限制,不可能直接对无限的空间进行计算,因此必须在截断处设置适当的吸收边界条件,以便用有限网格空间模拟开放的无限空间.目前对吸收边界条件的比较系统和深入的研究,主要是沿着两个方向进行的,一是在边界上引入吸收材料,电磁波在无反射地进入吸收材料后被衰减掉,如PML。二是通过波动方程的因子分解获得单行波方程并取近似来建立吸收边界条件。

Mur吸收边界条件以实施方便简单、吸收效果较好而获得广泛应用。然而,在使用中注意到,一阶近似的Mur吸收边界条件虽简单易行,但直角坐标系下采用Yee网格划分,在角区域称作较大误差,且不易向三维推广,而二阶近似尽管精度较高,但编程复杂,且对三维情况还可能出现结果发散的现象。

完全匹配层(PML)首先由Berenger提出[1]。通过在FDTD区域截断边界处设置一种特殊介质层,该层介质的波阻抗与相邻介质的波阻抗完全匹配,因而入射波将无反射地穿过分界面而进入PML层。并且,由于PML层为有耗介质,进入PML 层的投射波将迅速衰减,即使PML为有限厚度,它对于入射波仍有很好的吸收效果。

廖氏吸收边界条件可以看作利用Newton后向差分多项式在时空对波函数进行外插的结果,是将边界上的场值用垂直于边界上采样点的场值来表达。其在网格外边界引起的反射比Mur二阶吸收边界条件要小一个数量级。

Tan于2001年提出的驻波-行波边界条件是在FDTD计算空间的边界设置理想导体,波到达边界将发生全发射,若边界是理想导电(磁)壁,则切向电(磁)场为零,切向磁(电)场是入射场的两倍,同时反射场将向回传播,在区域内部形成驻波,随着时间的推移驻波向内扩展,而在反射波未到过的区域场仍呈外行波状态.要将反射波滤除,只需在每个时间步迭代时将算出的边界磁场(对理想导电壁而言)或边界电场对理想导磁壁而言除以二即可[2]。

1.2激励源设置

FDTD法建模中,除了需要在足够的网格空间中模拟被研究的媒质外,合理进行激励源的建模也十分重要。因此,需要尽可能将源的特性与实际物理模型性质一致。根据激励源的能量来源不同,可以将激励源分为外激励源和内激励源。如果源的能量在计算区域外部,采用特定极化、给定方向的平面波形式作为激励源。而对于内激励源,这方面的研究较少。它主要由电压源或电流源产生。这些内部源一般采用理想源模拟,如普遍采用电流密度J,它是麦克斯韦方程中产生电磁

场的主要激励源。由于电流源是个理想源,所以不一定是激励源的最合理模拟。

同样,采用理想电流源还是采用有限内阻的电压源都会影响被研究物体的近、远场特性。而且在大多数EMI/EMC问题中,被研究的激励源要比偶极子复杂得多,且辐射源的内部构造也将影响整个辐射特性。因此FDTD法中合理进行激励源建模很重要。需要根据具体的物理现象对激励源建模,从而根据FDTD方程得到最符合实际的电磁特性预测[3]。

1.3网格剖分技术

传统的FDTD法都是采用直角坐标系中均匀的巨型网格，差分格式所能模拟的最小尺度为一个网格，对于小于一个网格的尺寸，需要近似为一个网格，这样会给计算带来误差。当用它模拟不规则的边界时，就只好用阶梯折线来近似代替曲边.而这种近似只有在计算网格足够小的情况下才能获得高精度解，但是这又必然增加计算网格，这将大大增加计算机内存和计算时间。另外，对于电大尺寸散射体上的某些电小尺寸的局部(如小孔、窄缝、细线等)，经典的FDTD法很难处理。一种改进的方法就是网格剖分技术[4]。这些技术能在整个计算区域网格保持较大尺寸的同时，通过修正局部网格的差分格式来减小误差。这些网格剖分技术包括:

(l)亚网格技术:Kasher和Yee提出亚网格技术。亚网格技术涉及细导线和窄缝的模拟，在不同的计算区域使用非均匀网格等。Holand和Simpson提出的细导线的模拟方法;Gillert和Hofand提出的窄缝的模拟技术;王秉中提出的增强细槽缝公式以及他对小孔祸合问题的数值模拟:Monorehio和Mittra提出的基于FDTD法和TDFEM相结合的亚网格技术非常引人注目。

(2)共形网格技术:Mei等提出共形网格技术。共形网格技术是在一些与被模拟物体表面共形的网格中使用环路积分来得到场分量方程的差分形式。Taflove从积分形式的Maxwell方程出发，提出了环路积分(CP)法，为任意形状的散射体、辐射体的模拟带来方便。

(3)在计算区域使用非均匀网格算法:Kunz和Simpson首先提出了局部网格细化技术，采用这种方法只需在需要细致模拟的部分使用细分网格，而其余部分则可用粗网格。Gao.B.Q等人发展了扩展网格技术。王加莹等人提出了处理复合导体边界的规则连接面的子域连接法，以时间的增加来换取计算空间。另外，还出现了三角形网格、六边形网格以及平面型广义网格。

(4)在提高计算效率方面还有PSTD方法，MRTD方法。

2 FDTD法在实际应用上的发展状况

2.1曲线坐标系中的FDTD

经典的时域有限差分法都是采用矩形网格，在直角坐标系中把麦克斯韦旋度方程转化为差分形式。在矩形网格构成的网格空间中模拟任何弯曲的边界，只能采用阶梯形近似的方法或环路积分法。若采用阶梯近似来拟合表面，则会产生两个问题:

(l)阶梯表面可能激励表面波传播，引起附加数值色散。

(2)为了拟合曲率半径小的表面，则要减小网格尺寸，这就会增加计算内存和时间。使用环路积分法时，可能会因为在一些地方破坏了计算稳定性条件而导致计算失败。这两种方法都存在误差和稳定性方面的缺陷。一般来讲，只有在所选坐标系的坐标面与所模拟的电磁系统的表面相一致时，所选择的网格空间才能简便而精确的模拟其几何形体。由于麦克斯韦方程是矢量方程，它在任意坐标系中均成立，因此在任意坐标系中均可建立FDTD算法。圆柱坐标系、球坐标系、抛物线坐标系以及椭圆坐标系都属于正交坐标系，FDTD法在其中都有应用。为此，Holland(1983年)，Madsen(1988年)，Fuseo(1990年)等人对非正交曲线坐标系中的FDTD法进行了讨论。柱坐标系属于正交曲线坐标系，FDTD法在其中的应用较为常见。随着曲线坐标系中FDTD法应用的增多，人们提出了各种相应的吸收边界条件。

2.2表面阻抗边界条件(SIBC)

在FDTD法中，为了保证一定的计算精度和必要的相位信息，所有网格空间的步长与波长之比有一定的限度。在一般情况下要求空间步长不大于波长的十分之一。如果计算空间中包含高介电常数的媒质，由于波长比自由空间中短，使得网格空间步长也要相应变小，如果采用均匀网格空间，则计算时对内存的需求大大提高。如果介质所占空间内的场不必知道，则可用SIBC避免介质区域内场分布的计算。从而仍可采用自由空间的网格空间步长，这样可以大大节省存储空间和计算时间。自Maloney和Smith(1992年)以及Beggs等人在FDTD法中引入时域SIBC以来，SIBC在FDTD法分析实际电磁问题时得到了很多应用。

2.3适用于色散媒质和各向异性媒质的FDTD法

FDTD法最初主要应用于各向同性的非色散媒质。但在实际应用中，经常遇到色散媒质和各向异性媒质，因而研究适用于色散媒质和各向异性媒质的FDTD 法具有极大的实用价值。要得到媒质色散特性的时域算法，关键是如何将媒质的频域参量连同相应的频域场分量变换为时域参量和场分量，以建立起FDTD迭代方程式。Luebbers等(l990年)提出一种卷积的递归算法，导出了适用于Debye 色散模型的时域有限差分格式，在1992年又把这一方法发展为适用于N阶色散媒质的形式。由于媒质色散模型的建立与使用较为困难，所以适用于色散媒质的FDTD法还有待进一步发展。肖飞等从频率空间或者波数空间中实现对理想偏微分算子的逼近，构造一种新的具有低数值色散关系的最优时域有限差分方法。各向异性媒质在微波原件、微波电路及电磁波吸收材料等方面有广泛应用，因而较好的推动了各向异性媒质中FDTD法的研究。随着FOTD法研究的深入，适合各向异性媒质的吸收边界条件也在不断发展，如陈彬等人(l996年)将PML和MPML概念推广到各向异性媒质，杨利霞，葛德彪导出磁化色散介质中的磁感应强度B 和磁场强度H在离散时域的色散关系，并将其具体应用于旋磁介质，得到了这种磁化色散介质的Pade时域有限差分方法的递推表达幻间，大大提高了FDTD法分析时吸收边界条件的性能[5]。

2.4交替隐式差分格式算法(ADI)

Peaceman和Rachford提出了著名的交变隐式差分方向方法(简称ADI法)，这种方法的特点是所求得的解是无条件稳定的。为了摆脱FDTD法计算过程中Courant稳定性条件的限制，节约计算时间，日本的NAMIKI(1999年)将此方法应用于FDTD，提出了交替方向隐式FDTD(ADI-FDTD)。该方法采用求解微分方程的交替方向隐格式对FDTD法进行改造，使其能无条件稳定，从而极大地节约计算时间。ADI-FDTD提出后，F.zheng针对三维问题报道了一些数值结果，并研究了解的稳定性和数值色散。Liu和Gedney(2000年)很快提出了适合ADI-FDTD的完全匹配层吸收边界条件[6]。C.P.chen报道了ADI-FDTD法在VLSI互联线电磁特性模拟方面的应用。

2.5并行计算技术

由前面的分析可知，FDTD法对计算条件的要求较高，因而在处理电大尺寸空间中的电磁场问题时常常受到限制。采用并行FDTD算法是解决这一问题的有效途径之一。由于目前大规模并行计算机价格昂贵，用FDTD法计算时希望利用较为经济的高性能PC机，但PC机在CPU计算能力及内存容量方面有很大局限。利用网络并行计算技术将多台PC机联网工作，可实现使用现有的高性能PC机解决大内存的要求，且可大大缩短计算时间。目前，并行FDTD计算涉及MPP、阵列机、工作站集群系统。并行计算技术在网络并行计算及区域分割并行FDTD算法等方面己取得不少进展[7]。在目前高性能计算机系统中，最广泛使用的一种标准是MPI，它己成为一种并行程序的标准。MPI的理念是需要将问题的并行求解算法转化为特定的适合并行计算模型的并行算法。

2.6减少场量存储的FDTD算法(R-FDTD)

FDTD法对计算机内存的要求较高，因而在处理大尺寸空间中的电磁场问题时常常受限。采用并行FDTD算法是解决这一问题的有效途径之一，但由于目前大规模并行计算机价格昂贵。为尽量减少FDTD法计算过程中对电磁场量的存储，从而降低对计算机内存的要求，Kondylis等人于2001年发表的文章中提出了

R-FDTD算法[8]。这种算法只需在每个时间部计算磁场(或电场)分量的过程中，某个电场(或磁场)分量只要在很小的局部区域进行计算并存储，而该分量在其他区域的值是通过分量间的空间关系式导出的，无需存储，该算法可将计算区域内电磁场量的存储减少约三分之一。但其应用仅限于在无耗媒质中和直角坐标系的情形。余同彬等人于2003年从FDTD形式的麦克斯韦旋度方程出发，得出了适用于直角坐标系中有耗媒质中的R-FDTD算法，并提出了柱坐标系中的R-FDTD算法，拓展了R-FDTD算法的使用范围。

2.7旋转对称时域有限差分法(BOR-FDTD)

旋转对称时域有限差分法(BOR-FDTD)是专门用于分析旋转对称结构问题的时域有限差分法。该方法将电磁场展开成方位角的傅立叶级数(角谱)，然后对级数中的每一项采用时域有限差分法进行计算，从而将三维问题转换成二维问题进行处理。与传统的频域方法相比BOR-FDTD具有的优势主要表现在以下几个方面:

(l)提高运算速度。将三维问题转换成二维问题进行，大大减小了对计算机

内存的要求，使原本无法在PC机上计算的问题转化为可在PC机上计算的问题。若用于计算封闭的导体问题，由于导体内部电磁场为零，可采用分区算法，进一步减小内存和计算量。

(2)通过一次时域计算，就可以获得目标的宽频带信息。

(3)可以方便的处理复杂边界和电磁介质。由于在达到同样的计算精度的情况下，该方法的计算量较少，因此同样的计算量，可以处理更复杂、更精细的问题。而且该方法，可以处理大尺寸问题和薄介质涂层问题;如果将时域有限差分法中减少计算成本，提高计算效率的诸多方法应用其中，则可进一步提高计算效率，便于处理更加复杂的实际问题。如:T.G.Jurgens把BOR-FDTD方法应用到粒子加速器的设计中;D.W.Prather等人对平面波以对称轴方向入射情况下，采用二维PML吸收边界条件，应用BOR-FDTD分析光学器件的衍射问题BOR-FDTD

在辐射天线、微带天线和导波、谐振腔、电缆、电线的分析计算中均得到应用[9]。

3 FDTD法和其他算法的混合运用

为了提高FDTD解决复杂问题的能力，充分利用其他数值算法的长处，发展了多种混合算法。解决电磁场问题有许多种方法，如:经典的解析法、有限元法、FDTD法、矩量法等。每一种算法均有自己的优点，因此，我们可以充分利用其他算法的优点，克服本身算法的不足。如:将频域的矩量法和FDTD法结合构成的一种算法，这种算法的优点是:计算内部场时不需引入Green函数，并且该方法可以处理结构尺寸比波长大而耦合口径可与波长比拟的问题.近几年发展迅速的半解析数值方法也是一个典型[10]，它研究解析与数值结合方法的数学基础和基本原理，研究所应用的解析解与解析函数如何与离散化过程相结合，建立适合上机计算的运算格式，它可达到分析简便、节约资源、计算迅速、结果准确的效果。

4 FDTD法的进一步发展

总之，时域有限差分法经过了四十年的发展，现在己日趋成熟并被广泛应用。目前FDTD法的主要发展方向是提高计算精度，增加模拟复杂结构的能力，减少计算机内存和计算时间，并不断扩大其应用范围。

参考文献

[1] J.P Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic wave [J].Comput.Phys.1994,114:185-200

[2] 邵振海，洪伟.几种新的吸收边界条件在电磁散射中的应用[J].电波科学学报.1994.14(3):287-294

[3]李蓉，张林昌.FDTD法建模中激励源的选择与设置[J].铁道学报。

2001.23(4):44-47

[4]Aramais R. Zakharian,Jerome V. Moloney,Colm Dineen. Application so the finite-difference time-domain(FDTD)method with local grid refinement to

nanostructure design. Integrated Optics:Materials,and Technologies IX,2005,378

[5]肖飞，唐小宏，马海虹. 三维最优时域有限差分方法[J].微波学报,2006,5

[6]Gang Liu and Stephen D. Gedney. Perfectly matched layer media for an unconditionally stable three-dimensional ADI-FDTD method. IEEE Microwave and Guided Wave Lett.2000,10(7):261-263

[7]Hanawa-T Kurosawa-M Ikuno-S. Investigation on 3-d implicit FDTD method for parallel-processing. IEEE transactions on magnetic

2005,41(5):1696-1699

[8]G D.kondylis,F.D. Flaviis,G,J.Pottie,T.Itoh.A memory-dfficient formulation of the Finite-Difference Time-domain method for the solution of Maxwell equations. IEEE Trans,MTT,2001,49(7):1310-1320

[9]Dennis W.Prather, Shouyuan Shi. Formulation and application of the Finite-Difference Time-domain method for the analysis of axially symmetric diffractice optical elements.1999,16(5):1131-1142

[10]Baixin Zhou, Sicong Wang, Wenhua Yu. An efficient approach to predict far field pattern in FDTD simulation. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters,2004,3:51-148

时域有限差分法的Matlab仿真

时域有限差分法的Matlab仿真关键词: Matlab 矩形波导时域有限差分法摘要：介绍了时域有限差分法的基本原理，并利用Matlab仿真，对矩形波导谐振腔中的电磁场作了模拟和分析。关键词：时域有限差分法；Matlab；矩形波导；谐振腔目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。时域有限差分（Finite Difference Time Domain，FDTD）法［1］作为一种主要的电磁场时域计算方法，最早是在1966年由K. S. Yee提出的。这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解，通过建立时间离散的递进序列，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。经过三十多年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。 Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用［2］。用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者的研究重心放在FDTD法本身上，而不必在编程上花费过多的时间。下面将采用FDTD法，利用Matlab仿真来分析矩形波导谐振腔的电磁场，说明了将二者结合起来的优越性。 1FDTD法基本原理时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解差分方程组，从而得出各网格单元的场值。FDTD 空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。电场和磁场被交叉放置，电场分量位于网格单元每条棱的中心，磁场分量位于网格单元每个面的中心，每个磁场（电场）分量都有4个电场（磁场）分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足，而且

还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算，同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律，也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。 1.1Maxwell方程的差分形式旋度方程为：将其标量化，并将问题空间沿3个轴向分成若干网格单元，用Δx，Δy和Δz 分别表示每个网格单元沿3个轴向的长度，用Δt表示时间步长。网格单元顶点的坐标（x，y，z）可记为：其中：i，j，k和n为整数。同时利用二阶精度的中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，即可得到如下FDTD基本差分式：由于方程式里出现了半个网格和半个时间步，为了便于编程，将上面的差分式改写成如下形式：

有限差分法

利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。差分运算的基本概念：有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程[5]。对单元函数 ()x f而言，取变量x的一个增量x?=h，则函数()x f的增量可以表示为 ()x f? = ()h x f+-()x f 称为函数()x f 的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为 ()x f? = ? ? ? ? ? + 2 h x f - ? ? ? ? ? - 2 h x f

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时域有限差分法发展综述潘忠摘要:时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一，目前FDTD 法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD法的应用范围越来越广，而FDTD法本身在应用中又有新的发展.本文介绍并分析了时域有限差分法，对各种条件的应用进行了比较和分析，给出了具有一定参考价值的结论。关键词:时域有限差分法;研究与发展;比较;分析 A Summary of FDTD and Development at Home and Abroad Zhong Pan Abstract: The finite difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists’ effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDTD method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally, some valuable conclusions are drawn. Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis 1966年，K.S.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。

LED-FDTD LED时域有限差分方法

Efficiency enhancement of homoepitaxial InGaN/GaN light-emitting diodes on free-standing GaN substrate with double embedded SiO2 photonic crystals Tongbo Wei,* Ziqiang Huo, Yonghui Zhang, Haiyang Zheng, Yu Chen, Jiankun Yang, Qiang Hu, Ruifei Duan, Junxi Wang, Yiping Zeng, and Jinmin Li Semiconductor Lighting Technology Research and Development Center, Institute of Semiconductors, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100083, China *tbwei@https://www.360docs.net/doc/25598006.html, Abstract: Homoepitaxially grown InGaN/GaN light emitting diodes (LEDs) with SiO2 nanodisks embedded in n-GaN and p-GaN as photonic crystal (PhC) structures by nanospherical-lens photolithography are presented and investigated. The introduction of SiO2 nanodisks doesn’t produce the new dislocations and doesn’t also result in the electrical deterioration of PhC LEDs. The light output power of homoepitaxial LEDs with embedded PhC and double PhC at 350 mA current is increased by 29.9% and 47.2%, respectively, compared to that without PhC. The corresponding light radiation patterns in PhC LEDs on GaN substrate show a narrow beam shape due to strong guided light extraction, with a view angle reduction of about 30°. The PhC LEDs are also analyzed in detail by finite-difference time-domain simulation (FDTD) to further reveal the emission characteristics. ?2014 Optical Society of America OCIS codes: (230.0230) Optical devices; (230.3670) Light-emitting diodes; (160.5298) Photonic crystals; (220.4241) Nanostructure fabrication. References and links 1. B. Monemar and B. E. Sernelius, “Defect related issues in the “current roll-off” in InGaN based light emitting diodes,” Appl. Phys. Lett. 91(18), 181103 (2007). 2. G. Verzellesi, D. Saguatti, M. Meneghini, F. Bertazzi, M. Goano, G. Meneghesso, and E. Zanoni, “Efficiency droop in InGaN/GaN blue light-emitting diodes: Physical mechanisms and remedies,” J. Appl. Phys. 114(7), 071101 (2013). 3. K. Akita, T. Kyono, Y. Yoshizumi, H. Kitabayashi, and K. Katayama, “Improvements of external quantum efficiency of InGaN-based blue light-emitting diodes at high current density using GaN substrates,” J. Appl. Phys. 101(3), 033104 (2007). 4. Y. Yang, X. A. Cao, and C. H. Yan, “Rapid efficiency roll-off in high-quality green light-emitting diodes on freestanding GaN substrates,” Appl. Phys. Lett. 94(4), 041117 (2009). 5. C.-L. Chao, R. Xuan, H.-H. Yen, C.-H. Chiu, Y.-H. Fang, Z.-Y. Li, B.-C. Chen, C.-C. Lin, C.-H. Chiu, Y.-D. Guo, J.-F. Chen, and S.-J. Cheng, “Reduction of Efficiency Droop in InGaN Light-Emitting Diode Grown on Self-Separated Freestanding GaN Substrates,” IEEE Photon. Technol. Lett. 23(12), 798–800 (2011). 6. M. J. Cich, R. I. Aldaz, A. Chakraborty, A. David, M. J. Grundmann, A. Tyagi, M. Zhang, F. M. Steranka, and M. R. Krames, “Bulk GaN based violet light-emitting diodes with high efficiency at very high current density,” Appl. Phys. Lett. 101(22), 223509 (2012). 7. X. A. Cao, S. F. LeBoeuf, M. P. D’Evelyn, S. D. Arthur, J. Kretchmer, C. H. Yan, and Z. H. Yang, “Blue and near-ultraviolet light-emitting diodes on free-standing GaN substrates,” Appl. Phys. Lett. 84(21), 4313 (2004). 8. Y. J. Zhao, J. Sonoda, C.-C. Pan, S. Brinkley, I. Koslow, K. Fujito, H. Ohta, S. P. DenBaars, and S. Nakamura, “30-mW-class high-power and high-efficiency blue (1011) semipolar InGaN/GaN light-emitting diodes obtained by backside roughening technique,” Appl. Phys. Express 3, 102101 (2010). 9. Y.-K. Fu, B.-C. Chen, Y.-H. Fang, R.-H. Jiang, Y.-H. Lu, R. Xuan, K.-F. Huang, C.-F. Lin, Y.-K. Su, J.-F. Chen, and C.-Y. Chang, “Study of InGaN-based light-emitting diodes on a roughened backside GaN substrate by a chemical wet-etching process,” IEEE Photon. Technol. Lett. 23(19), 1373–1375 (2011). #209568 - $15.00 USD Received 4 Apr 2014; revised 23 May 2014; accepted 26 May 2014; published 2 Jun 2014 (C) 2014 OSA30 June 2014 | Vol. 22, No. S4 | DOI:10.1364/OE.22.0A1093 | OPTICS EXPRESS A1093

时域有限差分法(姚伟)介绍

伊犁师范学院硕士研究生 ————期末考核科目：电磁波有限时域差分方法姓名：姚伟学号：1076411203009 学院：电子与信息工程学院专业：无线电物理

时域有限差分法 1 选题背景在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。 2 原理分析 2.1 FDTD 的Yee 元胞 E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理 t t ??=??=??E D H ε t t ??-=??-=??H B E μ 图1 Yee 模型如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]： 1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。 2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。 3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的

FDTD(时域有限差分法)算法

% Program author: Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % 608-265-5739 % hagness@https://www.360docs.net/doc/25598006.html, % % Date of this version: February 2000 % % This MATLAB M-file implements the finite-difference time-domain % solution of Maxwell's curl equations over a three-dimensional % Cartesian space lattice comprised of uniform cubic grid cells. % % To illustrate the algorithm, an air-filled rectangular cavity % resonator is modeled. The length, width, and height of the % cavity are 10.0 cm (x-direction), 4.8 cm (y-direction), and % 2.0 cm (z-direction), respectively. % conditions: % ex(i,j,k)=0 on the j=1, j=jb, k=1, and k=kb planes % ey(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, k=1, and k=kb planes % ez(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, j=1, and j=jb planes % These PEC boundaries form the outer lossless walls of the cavity. % % The cavity is excited by an additive current source oriented % along the z-direction. The source waveform is a differentiated % Gaussian pulse given by % J(t)=-J0*(t-t0)*exp(-(t-t0)^2/tau^2), % where tau=50 ps. The FWHM spectral bandwidth of this zero-dc- % content pulse is approximately 7 GHz. The grid resolution % (dx = 2 mm) was chosen to provide at least 10 samples per % wavelength up through 15 GHz. % % To execute this M-file, type "fdtd3D" at the MATLAB prompt. % This M-file displays the FDTD-computed Ez fields at every other % time step, and records those frames in a movie matrix, M, which % is played at the end of the simulation using the "movie" command. % %*********************************************************************** clear %*********************************************************************** % Fundamental constants

有限元法与有限差分法的主要区别

有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有La grange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插

时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真

时域有限差分法对平面TE波的 MATLAB仿真摘要时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB 程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。得到了相应的磁场幅值效果图。关键词：时域有限差分完全匹配层MATLAB 磁场幅值效果图

目录摘要 (1) 目录 (3) 第一章绪论 (4) 1.1 课题背景与意义 (4) 1.2 时域有限差分法的发展与应用 (4) 2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 (7) 2.2 FDTD的基本差分方程 (9) 2.3 时域有限差分法相关技术 (11) 2.3.1 数值稳定性问题 (11) 2.3.2 数值色散 (12) 2.3.3 离散网格的确定 (13) 2.4 吸收边界条件 (13) 2.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件 (14) 2.4.2 二维棱边及角顶点的处理 (17) 2.4.3 完全匹配层 (19) 2.5 FDTD计算所需时间步的估计 (23) 第三章MATLAB的仿真的程序及模拟 (25) 3.1 MATLAB程序及相应说明 (25) 3.2 出图及结果 (28) 3.2.1程序部分 (28) 3.2.2 所出的效果图 (29) 第四章结论 (31) 参考文献 (32)

FDTD(时域有限差分法)算法的Matlab源程序

% 3-D FDTD code with PEC boundaries %*********************************************************************** % % Program author: Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % 608-265-5739 % hagness@https://www.360docs.net/doc/25598006.html, % % Date of this version: February 2000 % % This MATLAB M-file implements the finite-difference time-domain % solution of Maxwell's curl equations over a three-dimensional % Cartesian space lattice comprised of uniform cubic grid cells. % % To illustrate the algorithm, an air-filled rectangular cavity % resonator is modeled. The length, width, and height of the % cavity are 10.0 cm (x-direction), 4.8 cm (y-direction), and % 2.0 cm (z-direction), respectively. % % The computational domain is truncated using PEC boundary % conditions: % ex(i,j,k)=0 on the j=1, j=jb, k=1, and k=kb planes % ey(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, k=1, and k=kb planes % ez(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, j=1, and j=jb planes % These PEC boundaries form the outer lossless walls of the cavity. % % The cavity is excited by an additive current source oriented % along the z-direction. The source waveform is a differentiated % Gaussian pulse given by % J(t)=-J0*(t-t0)*exp(-(t-t0)^2/tau^2), % where tau=50 ps. The FWHM spectral bandwidth of this zero-dc- % content pulse is approximately 7 GHz. The grid resolution % (dx = 2 mm) was chosen to provide at least 10 samples per % wavelength up through 15 GHz. % % To execute this M-file, type "fdtd3D" at the MATLAB prompt. % This M-file displays the FDTD-computed Ez fields at every other % time step, and records those frames in a movie matrix, M, which % is played at the end of the simulation using the "movie" command. %

有限差分法

有限差分法有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

时域有限差分法论文

时域有限差分法

Problem 5.1 In this illustrative solution, the electric-field hard source condition of (5.1) is implemented at the far-left grid boundary. The source time function has an amplitude of 1.0 V/m and a frequency of 10 GHz. The reflecting barrier (PEC) is implemented at the far-right grid boundary. The computational domain represents a physical length of 15 cm. Matlab code: %*********************************************************************** % 1D FINITE-DIFFERENCE TIME-DOMAIN SOLUTION: PLANE WAVE PROPAGATION %*********************************************************************** % % Program author: % Prof. Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % hagness@https://www.360docs.net/doc/25598006.html, % %*********************************************************************** clear; %..........Material Parameters............ cc=2.99792458e8; %speed of light in free space muz=4.0*pi*1.0e-7; %permeability of free space epsz=1.0/(cc*cc*muz); %permittivity of free space eps=[1.0]; %relative permittivity sig=[0.0]; %electric conductivity mur=[1.0]; %relative permeability sim=[0.0]; %magnetic loss media=length(eps); %..........Space, Time, and Source Parameters... S=1.0; freq=10e9; %frequency of sinusoidal excitation = 10 GHz E0=1.0; %amplitude of sinusoidal excitation = 1.0 V/m lambda=cc/freq; length=0.15; %physical length of grid (in units of m) dx=lambda/20; %grid resolution of 20 cells per wavelength dt=S*dx/cc; ie=round(length/dx)+1; %number of Ez samples in grid ih=ie-1; %number of Hy samples in grid nmax=3*round(ie*S); source(1:nmax)=E0*sin(2*pi*freq*(1:nmax)*dt); %..........Initial Conditions........... ez(1:ie)=0.0; hy(1:ih)=0.0;