高一下学期数学期末考试试题(共2套,含答案)

广东省恵州市高一（下）期末考试

数学试卷

一.选择题（每题5分）

1．一元二次不等式﹣x2+x+2＞0的解集是（）

A．{x|x＜﹣1或x＞2}B．{x|x＜﹣2或x＞1}

C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜1}

2．已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）

A．若b∥a，a?α，则b∥α

B．若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥β

C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b

D．若a∩b=A，a?α，b?α，a∥β，b∥β，则α∥β

3．在△ABC中，AB＝3，AC=1，∠A=30°，则△ABC面积为（）

A．B．C．或D．或

4．设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1∥l2，则k=（）

A．﹣1 B．1 C．±1 D．0

5．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值是（）

A．4 B．5 C．8 D．9

6．若{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+…+a9的值为（）

A．114 B．117 C．111 D．108

7．如图：正四面体S﹣ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）

A．90°B．45°C．60°D．30°

8．若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）

A．B．C．D．

9．若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为（）

A．﹣9 B．﹣3 C．﹣1 D．3

10．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A=60°，则

（）

A． B．C．D．

11．由直线y=x+2上的一点向圆（x﹣3）2+（y+1）2=2引切线，则切线长的最小值（）A．4 B．3 C．D．1

12．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我们把使乘积a1?a2?a3?…?a n为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）

A．1024 B．2003 C．2026 D．2048

二.填空题

13．cos45°sin15°﹣sin45°cos15°的值为．

14．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程是．

15．公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为．

16．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．

三.解答题解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求f（）的值．

18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=

（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；

（Ⅱ）若△ABC的面积S

=4求b，c的值．

△ABC

19．（12分）在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），

（Ⅰ）求直线BC的方程；

（Ⅱ）求点C的坐标．

20．（12分）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．

（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；

（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；

（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．

21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n+n（n∈N*）．

（1）求证数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；

（2）若b n=log2（﹣a n+1），求数列{}的前n项和T n．

22．（12分）已知圆C的方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．

（1）求m的取值范围；

（2）若圆C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2，求m的值；

（3）设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

广东省东莞市第二学期期末考试

高一数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 0

tan(390)-的值为（ ）

A ．3-

B ．3

C ．3-

D ．3 2.某高级中学共有学生1500人，各年级学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取45名学生，则在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为（ ）

高一 高二 高三 人数

600

500

400

A ．12，18，15

B ．18，12，15

C ．18，15，12

D ．15，15，15

3.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在人们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）

A ．36

B ．56

C ．91

D ．336

4.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ）

A ．只有一次投中

B ．两次都不中 C.两次都投中 D ．至少投中一次

5.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，绿灯持续时间为45秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等街15秒才出现绿灯的概率为（ ）

A ．

310 B ．710

C. 38 D ．58

6.在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，2DE EC =u u u r u u u r ，则BE u u u r

等于（ ）

A ．13b a -r r

B ．23b a -r r C. 43b a -r r D ．13

b a +r r

7.某程序框图如图，该程序运行后输出的S 值是（ ）

A ．8

B ．9 C. 10 D ．11 8.已知角α终边上一点P 的坐标为(,3)a a （0a ≠），则cos sin sin cos αα

αα

-+的值是（ ）

A ．2

B ．-2 C.

12 D ．12

- 9.直线10x ky -+=（k R ∈）与圆2

2

4220x y x y ++-+=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C. 相离 D ．与k 的值有在

10.已知函数()sin()4

f x x π

ω?=++

（

59

22ω<<，0?π<<）是偶函数，且(0)()f f π=，则（ ） A ．()f x 在3(,)88ππ上单调递减 B ．()f x 在3(,)88

ππ

上单调递增

C. ()f x 在(0,

)4π上单调递增 D ．()f x 在(0,)4

π

上单调递减 11.已知在ABC ?中，O 是ABC ?的垂心，点P 满足：113222

OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

，则ABP ?的面积与

ABC ?的面积之比是（ ）

A ．

23 B ．34 C. 35 D ．1

2

12.若关于x 的不等式2

1cos 2cos 03

x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（ ）

A ．13-

B ．13 C. 2

3

D ．1

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在空间直角坐标系中，已知(3,0,1)A ，(4,2,2)B -，则AB = ．

14.下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ．

15.已知扇形的周长为10cm ，面积为42

cm ，则扇形的中心角等于 （弧度）.

16.如图，等腰梯形ABCD 的底边长分别为8和6，高为7，圆E 为等腰梯形ABCD 的外接圆，对于平面

内两点(,0)P a -，(,0)Q a （0a >），若圆E 上存在点M ，使得0MP MQ ?=u u u r u u u u r

，则正实数a 的取值范围

是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知i r ，j r 是互相垂直的两个单位向量，3a i j =r r ，3b i j =-r r r

.

（1）求a r 和b r

的夹角；

（2）若()a a b λ⊥+r r r

，求λ的值.

18. 东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x （单位：年，*

x N ∈）和所支出的维护费用y （单位：万元）厂家提供的统计资料如下：

（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y 关于x 的线性回归方程$$y bx

a =+$； （2）若规定当维护费用y 超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值.

参考公式：最小二乘估计线性回归方程$$y bx

a =+$中系数计算公式： ^

1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=

-∑∑，$a

y bx =-$

19. 某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50个身高介于155 cm 到195cm 之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180,185)和第七组[185,190)还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：2. （1）补全频率分布直方图；

（2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；

（3）用分层抽样的方法在身高为[170,180]内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在[175,180]内的概率.

20. 函数2

33

()3cos

sin (0)2

2

x

f x x ωωω=+

->的部分图象如图所示，,A B 为图象的最高点，C 为图象的最低点，且ABC ?为正三角形.

（1）求()f x 的值域及ω的值；

（2）若033()f x =，且021(,)33x ∈-，求01

()2

f x +的值.

21. 已知圆22

:4480C x y x y +---=，直线l 过定点(0,1)P ，O 为坐标原点.

（1）若圆C 截直线l 的弦长为l 的方程；

（2）若直线l 的斜率为k ，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，且8OA OB ?>-u u u r u u u r

，求斜率k 的取值范围.

22.已知(0,

)2π

α∈，(0,)2

π

β∈，1sin tan cos βαβ-=

（1）用α表示β；

（2）若关于α的方程为sin sin 0m αβ++=，试讨论该方程根的个数及相应实数m 的取值范围.

高一数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 答案

A

C

B

C

D

C

B

D

A [来源:学科网

ZXXK]

D

A

B

二、填空题(每小题5分,满分20分) 13. 14 14. 58

15. 12 16. [2,8]

三、解答题：

17. 【解析】（1）因为i r ，j r

是互相垂直的单位向量，所以0,1,122=?==j i j i ρρρρ

2332)3(2222

=+?+=+==j j i i j i a a ρρ?ρρρρρ

2323)3(2222=+?+=--==j j i i j i b b ρ

ρ?ρρρρρ

(3)(3)23a b i j i j ?=+?--=-r r

r r r r

设a r

与b r 的夹角为θ，故232232cos -=?-=?=b

a b a ρρρρθ 又),0(πθ∈

故65π

θ=

（2）由()a a b λ⊥+r r r

得

0)(=?+a b a ρρρ

λ

02

=?+a b a ρρρλ，又32)2

3(22,42-=-??=?=a b a ρρρ 故33

22=?-=b

a a ρρρλ

【解法二】

设a r 与b r

的夹角为θ，则由i r ，j r 是互相垂直的单位向量，

不妨设i r ，j r

分别为平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，则

)3,1(=a ρ

，)1,3(--=b ρ

132a =+=r

312b =+=r

1(3)3(1)23a b ?=?-+?-=-r

r

故23

2232cos -=?-=?=b

a b a ρρρρθ 又),0(πθ∈

故6

5π

θ=

（2）由a r 与a b λ+r r

垂直得

0)(=?+a b a ρρρ

λ 02=?+a b a ρρρλ，又24,23a b a =?=-r r

r

故33

22=?-=b

a a ρρρλ

18. 【解析】（1）35

5

4321=++++=

x ，

5

.759

85.776=++++=

y

10

)35()34()33()32()31()

(222224

1

2

=-+-+-+-+-=-∑=i i

x x

7

)5.79)(35()5.78)(34()5.75.7)(33()5.77)(32()5.76)(31())((5

1

=--+--+--+--+--=--∑=y y x x i

i i

7.010

7

)

()

)((?1

2

1

==

---=∑∑==n

i i

n

i i

i

x x y y

x x b

4.537.0

5.7??=?-=-=x b y a

故线性回归方程为4.57.0?+=x y

. （2）当维护费用y 超过13.1万元时，即

0.7 5.413.1x +> 11x ∴>

∴从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年.

答：该批空调使用年限的最大值为11年. 19. 【解析】（1）第六组与第七组频率的和为：

14.0)5008.0506.0504.0504.05016.05008.0(1=?+?+?+?+?+?-

∵第六组和第七组人数的比为5：2.

∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008.

（2）设身高的中位数为x ，则

5.0)170(04.0504.0501

6.05008.0=-+?+?+?x

5.174=x

∴估计这50位男生身高的中位数为174.5

（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2， 第5组应抽取3人记为3，4，5

则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， {3，4}，{3，5}，{4，5}共10种

满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种 因此所求事件的概率为

10

3

． 20. 【解析】(1) 1cos 33

()3

sin 222

x f x x ωω+=+-Q 133(sin )3)223

x x x π

ωωω=+=+

()f x ∴的最大值为3，最小值为3- ()f x ∴的值域为[3,3]-

ABC ∴?的高为23ABC ?Q 为正三角形

ABC ∴?的边长为4 ()f x ∴的周期为4

24T π

ω

=

=Q 2

π

ω∴=

(2)0033()3sin(

)23f x x π

π=+=

Q 03

sin()235

x ππ∴+= 021(,)33x ∈-Q 0(0,)232x πππ∴+∈ 04

cos()235x ππ∴+=

00001()3)3[sin()cos cos()sin ]2234234234

f x x x x πππππππππ

∴+=++=+++

3

242763(55==21. 【解析】(1) Q 圆C 的标准方程为2

2

(2)(2)16x y -+-=

∴圆心为(2,2)C ,半径4r =

由弦长为3224(23)2d =-=

1o 当斜率不存在时，直线为0,x =符合题意； 2o 当斜率存在时，设直线为1(0)y k x -=-即10kx y -+=

则221

d k =

=+ 化简得3

4k =-

∴直线方程为3440x y +-=

故直线l 方程为0x =或3440x y +-= (2) 设直线为1(0)y k x -=-即1y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则

联立方程2244801

x x y y y kx ?-+--=?=+?得22

(1)(24)110k x k x +-+-=

121222

2411,11k x x x x k k

+-∴+=

=++，且22

4(2)44(1)0k k ?=+++>恒成立

12121212(1)(1)OA OB x x y y x x kx kx ∴?=+=+++u u u r u u u r

212122222

(1)()1

248410

111811k x x k x x k k k k k k

=+++++-+-=-++=>-++ 22841088k k k ∴-+->-- 即42k >

1

2

k ∴>

22. 【解析】(1)切化弦得

sin 1sin cos cos αβ

αβ

-= sin cos cos cos sin αβααβ∴=-

sin cos cos sin cos αβαβα∴+=即sin()cos αβα+=

(0,),(0,)22ππαβ∈∈Q 2παβα∴+=-或2π

αβα+=+

22

π

βα∴=

-或2

π

β=

(舍)

(2) 由(1)得sin(

2)sin 02

m π

αα-++=即cos2sin 0m αα++=

212sin sin 0m αα∴-++=

22sin sin 1m αα∴=--

,(0,)4

22π

β

παβ=

-

∈Q (0,)4

π

α∴∈ 令2sin (0,

2t α=∈，则22

21,(0,2

m t t t =--∈ ∴直线y m =与函数22

21,y t t t =--∈公共点的个数即方程根的个数 由图像得

22m ≥-

或9

8

m <-时方程有0个根； 212m -≤<-

或9

8

m =-时方程有1个根； 9

18

m -<<-时方程有2个根.