数学建模竞赛队员的选拔和组队问题

2011级信计《数学模型》课程论文

题目：出版社的资源配置问题

姓名：学号：

摘要

数学建模竞赛队员的选拔和组队问题

该模型解决了选拔数学建模参赛队员及确定最佳组队的问题。本文主要采用了层次分析法，并用计算机编程计算，在综合考虑15名队员个人的各项指标后，从中选出了9名优秀队员，又考虑到整队的技术水平，最终将挑出的9名队员分成三队，并建立了最佳组队的方案。具体在针对问题二选拔队员时，要全面考察了队员的六项指标，并用层次分析法计算出权重得到15名队员的综合排名，最后淘汰掉排名靠后的6 名队员。为了组成3个队，使得这三个队整体技术水平最高,我加入了权重，并依次选出了数学成绩较好、计算机成绩较好及综合成绩较好的三名同学，而且在考虑组队的过程中，尽量让问题简化，按成绩优劣均分队员，使三组的总体技术水平相当。针对问题二，只要考虑计算机能力而不再考察其它情况，设置添加了一名队员S16。比较分析综合排名，S13的综合能力排第九，而S16的综合能力排在S13之后。如果直接选拔S16，队伍的总体水平下降。可见这种选拔方式，有可能影响队伍的总体水平，所以不可取。针对问题三，提出了建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。

一、问题重述

一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。参加数学建模需要的学生应具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。

目前大多数高校选拔队员主要考虑以下几个环节：

校内竞赛获奖情况，数学建模暑假培训班考勤记录，培训课程的考试成绩，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。各组

通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。附件列出了15个学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况。

要解决的问题如下：

1．根据附件中信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。

2．有的指导老师在暑假培训时发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。

3．为数学建模教练组写1份1000字左右的报告，提出数学建模竞赛队员选拔机制的建议，帮助教练组提高队员选拔的效率和质量。

二、问题分析

问题一分析

问题一：在15名学生中剔除6名实力最弱的。由题意可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名，最后剔除排名落后的六名学生。

问题二分析

问题二：在前一问的基础上进行假设，假设计算机是队员选拔的关键因素，设置添加了一名计算机高手S16。与其他队员综合排名作比较。通过结果确定直接录取而不考虑其他方面的做法是否可取。

问题三分析

写出1份1000－1500字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。

三、模型假设

1、假设参赛队员的外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素。在正式比赛对过程中队员都能正常的发挥自己的水平。

2、假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件,且认为表中测量的数据都是客观公正的。

3、假设培训课程的考试成绩，数学建模暑假培训班考勤记录，其它情况，思维敏捷度，校内竞赛获奖情况以及知识面宽广，这6项对学生数学建模综合能力的影响占主要地位，且影响程度是依次递减的。

4、假设在组队后各队的发挥是相互独立对，不受其他组的影响。

5、假设组队后的整体水平由该队每项的最佳队员的指标表征。

四、符号说明

CI

一致性指标 RI

随机一致性指标 CR

一致性检验指标 1

ω

准则层对目标层的特征向量 2

ω

方案层对准则层的特征向量 ω

方案层对目标层的特征向量 max

最大特征值 1215,,...S S S

15名队员的编号

五、模型的建立与求解

问题一模型的建立及求解 参赛队员的选取：

由每个学生的基本条件表可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题。为了从15名队员中选出9名参赛者，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名。

根据题目给出的八项指标，首先将各指标量化，为了区分各项条件中的档次差异，确定量化原则如下：

培训课程的考试成绩按照满分10分计；思维敏捷、机试和知识面的A 、B 、C 、D 等级分别按4分、3分、2分、1分计算；数学建模暑假培训班考勤次数按一次1分计；其他情况如考过程序员，学过MATLAB 的各加1分，过计算机三级的加2分；班级排名情况由于统计的不是很全，所以不好进行量化，因此这项指标可以不用考虑。

表（１）15名学生量化分数表

学生 模拟成绩 获奖情况 思维敏捷 知识面

出勤次数 其他情

况

1S 9.6 3 4 4 10 1 2S 9.3 3 4 3 15 3

3S 9.2 1 2 2 12 1 4S 8.2 3 3 4 12 1 5S

8.2

2

3

3

8

1

6S 8.2 3 4 1 15 1 7S 8.0 3 2 3 14 1 8S 7.9 3 4 4 12 2 9S 7.8 2 4 2 12 2 10S 7.7 3 4 3 14 2 11S

7.6 4 2 3 15 1 12S 7.4 2 4 4 10 1 13S

7.8 4 3 1 10 1 14S 7.6 3 4 4 14 1 15S

6.6

3

2

3

15

1

运

用层次分析法：

将从15名学生中选拔9名优秀队员看作一个目标，作为目标层。将刻画队员的6个指标作为标准层。将15名学生作为方案层。如图（1）

图（1）：层次结构图

由题目已知及假设可得，准则层的六项指标依次递减，并认为相邻两项的差距不大，且都假设是相等的，这里都认为相差为1，于是两两对比得如下比较矩阵：

1 2 3 4 5 6 1/2 1 2 3 4 51/3 1/2 1 2 3 41/4 1/3 1/2 1 2 31/5 1/4 1/3 1/2 1 21/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1??????????????????

A =

这里用和法来计算，以下为步骤：

选拔优秀队员

模拟成绩 获奖情况 思维敏捷 知识面 出勤次数 其他情况

1S 2S 3

S 4

S 12S 15

S 14S 13S . . . . . . . .

目标层O ：

准则层C ：

方案层P ：

①将A 的每一列向量归一化得1

/(1,2,...,);n

ij ij ij

i a a

j n ω===∑

②将ij ω按行求和得1

(1,2,...,);n

i

ij j i n ωω===∑

③将i ω归一化得1

/,n

i i i i ωωω==∑ 112(,,...,)T

n

ωωω=ω为近似特征向量； ④计算最大特征值1max

1()1n i

i i

n λω==∑A ω；

由以上公式计算可得最大特征值max

6.1232λ≈。

特征向量

[]10.37940.24880.1604 0.1024 0.,,,,,0655 0.0434T

=ω

根据一致性指标公式max (1)1

n

CI n λ-=- 可得：一致性指标 021)46(.0CI =

随机一致性指标可根据表（2）查得：14(1).200RI =。

表（2） 随机一致性指标RI 的值

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI

0.58

0.9

1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

根据公式得到随机一致性比率：(1)

(1)0.1(0.011)

99CI CR RI =

=<，我们认为成对比较矩阵A 具有满意的一致性，所以通过一致性检验。 可以用MATLAB 编程计算得到（见附录程序1）。

根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力。

由此可以分别构造P 层对准则层K C 的比较矩阵： ()

,()k i j N N b ?=K B 其中，

()

(),()(,1,2,...,6)k k i i j

k j

T b

i j T == 。 显然，所有的 (1,2,...,6)k =k B 均为一致阵。 由一致阵的性质可知：k B 的最大特征值()

max

k N λ=，2

0k CR =，

其任一列向量都是()max k λ的特征向量。将其归一化可得P 对k C 的权重向量。

记作()()()12(,,...,)k k k T

N ωωω=k

ω (1,2,k =， 记

2(1)(2)(7)6(,,...,)N ωωω?=ω 为P 层对C 层的权重，

且一致性比率指标为6

()21

(2)0k k CR CR

==

=∑，表（3）为P C -层的特征向量：

表（3）：P C -层的特征向量

C-P

1C 2C 3C 4C 5C 6C 1S P 0.0793 0.0714 0.0816 0.0909 0.0313 0.0500 2S P 0.0768 0.0714 0.0816 0.0682 0.0938 0.1500 3S P 0.0760 0.0238 0.0408 0.0455 0.0625 0.0500 4S P 0.0677 0.0714 0.0612 0.0909 0.0625 0.0500 5S P 0.0677 0.0476 0.0612 0.0682 0.0469 0.0500 6S P 0.0677 0.0714 0.0816 0.0227 0.0938 0.0500 7S P 0.0661 0.0714 0.0408 0.0682 0.0781 0.0500 8S P 0.0652 0.0714 0.0816 0.0909 0.0625 0.1000 9S P

0.0644 0.0476 0.0816 0.0455 0.0625 0.1000 10S P 0.0636 0.0714 0.0816 0.0682 0.0781 0.1000 11S P

0.0628 0.0952 0.0408 0.0682 0.0938 0.0500 12S P 0.0611 0.0476 0.0816 0.0909 0.0313 0.0500 13S P

0.0644 0.0952 0.0612 0.0227 0.0313 0.0500 14S P

0.0628 0.0714 0.0816 0.0909 0.0781 0.0500 15S P

0.0545 0.0714 0.0408 0.0682 0.0938 0.0500

由于标准层C 对目标层O 的权重为1

ω，方案层P 对标准层C 权重为2

ω， 则P 对O 的权重为：

(1)(2)(7)()()()12(,,...,)(,,...,)k k k T

N ωωωωωω===211ωωωω

其组合一致性比率指标为：

(2)(1)00.01980.01980.1CR CR CR =+=+=<

因此，组合权重ω可作为目标决策的依据。根据权重，得到15人的排序结果见表（4）。

表（4）：15人的最终排序结果

特征向量

0.0745 0.0796 0.0522 0.0688

0.0596 0.0672 0.0637 0.0733

队 员 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 特征向量 0.0625 0.0714 0.0694 0.0616 0.0645 0.0713 0.0603 队 员

S9

S10

S11

S12

S13

S14

S15

由表可以作队员的权重图 见图(2)：

15名队员权重

0.01

0.020.030.040.050.060.070.080.09S2

S1

S8

S10S14S11

S4

S6

S13

S7

S9

S12S15

S5

S3

权重

图（2）15名队员权重图

根据题目要求，在15名学生中选取9名参赛队员，即选取权重排前9名的学生。由图表可知，依次为：S2, S1, S8, S10, S14,S11，S4，S6，S13。

最佳组队方案的确定：

按照每个组含有一个数学成绩好的和一个计算机编程能力强的队员，和方案层对目标层的特征向量制作下表：

学生 专业 模拟 获奖 C1 C2 特征向量

S1 信计 9.6 3 0.0793 0.0714 0.0745 S2 计科 9.3 3 0.0768 0.0714 0.0796 S4

机制

8.2

3

0.0677 0.0714 0.0688

S6 信工 8.2 3 0.0677 0.0714 0.0672 S8 软件 7.9 3 0.0652 0.0714 0.0694 S10 国经 7.7 3 0.0636 0.0714 0.0675 S11 生计 7.6 4 0.0628 0.0952 0.0694 S13 土木 7.8 4 0.0644 0.0952 0.0645 S14

机电

7.6

3

0.0628 0.0714 0.0713

先按笔试的加权成绩:

()()*1()i i i QBS S BS S C S =

其中()i BS S 为学生i S 的模拟成绩；1()i C S 为学生i S 的模拟权重 由学生的加权模拟成绩()i BS S 选出前三名分别为:S1，S2，S6 在从剩下的六名学生按加权机试成绩：

()()*2()i i i QJS S JS S C S =

其中()i JS S 为学生i S 的获奖情况；2()i C S 为学生i S 的获奖权重

从这六名学生中选出加权获奖情况()i QJS S 选出前三名分别为：S13，S11，S4 则剩下的三名学生按特征向量大小排序为：S14，S8，S10 将这三组组合成矩阵：

S1 S2 S6 S1 S2 S6 S13 S11 S4 S13 S11 S4 S14 S8 S10 S14 S8 S10

取斜对角三人为一组：

第一组：S1，S11，S4 第二组：S2，S4，S14 第三组：S6，S13，S8

问题二解答：将机试成绩视为计算机能力的唯一指标，则只考虑计算机能力这一点。对其进行分析如下：

假设另有一位计算机高手S16与综合成绩排名第9名S13各项指标如下： 学生

专业

模拟成绩

出勤 其他情况

思维敏捷

获奖情况

知识面

S16 数学60 10 C A D

S13 土木78 10 B A D

从表中可以看出S16与S13的各项指标，只有“机试”和“知识面”指标相同，而其他各项指标S16均低于S13，所以S16的综合排名在第9名之后，在选拔中不会被选上。如果老师直接录取S16，有可能影响队伍的总体水平。

对于指导老师发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况的情况，从建模的需求的素质的理性上考虑是不可取的，只片面的从编程一方面考虑，而不考察其他素质这是一种误区，建模所具备的编程是从数学方面进行考虑的，而不只是单纯的编程。另一方面数学建模需要的是团队合作，对于一个只懂编程，数学基础和必要的数学建模知识、较强的语言表达能力和写作能力却未知的学生是不应不考察其他方面的，倘若具备一些这些方面的能力，可以被选拔，如果这些方面能力很差的话，是不利于建模的与团队的理解。

综上所述，得出以下结论：指导老师在对学生机试的时候发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法不可取。

问题三解答：

1.学校可以参考本题，尽可能地将报名参赛的同学信息统计完整以便于更好地选取队员。

2.对本题题目所统计的信息，我们认为应该稍加改进，有些指标相对于其他指标对队员的影响较弱的我们可以不进行统计，比如说听课的次数以及在班级里的排名情况，这对数学建模的影响不是很大。这样做，可以有效提高统计的效率

3.对于其他几项我们要进行着重的调查，比如说数学的功底，计算机的实际操作能力（包括编程、计算机的工作软件的应用和与数学建模相关的数学软件的应用），这两项是数学建模的基础能力，也是主要的能力。我们建议在这两方面我们可以进行一个全方位的调查，可以根据平时的总体表现来定位，而不是只依照一次或者几次的考试成绩来判断，我想这可以用数学建模中统计的方法来进行定量的运算

4．要加强培训，在培训方面，光有兴趣是不够的，这就涉及到一个能力的问题，就像有些人对文章很有兴趣，但他也不一定能写好文章，虽然来加培训的同学都对数学建模有兴趣，但由于每个学校人数限定的原因，不可能每个报名的人都能参加竞赛，这必然要经历一个选着的问题，所以我们用培训来选人，在培训这一关刷下一些人，每次培训都要签到，当没签到达到一定的次数，我们就应该淘汰这些人，也许他是对这个数学建模没兴趣了，也许他太忙了，没空没办发。设想我们培训之后，我们的同学对数学建模都有了一定的了解，表现也不错，而且兴趣不减，那我们培训结束后所留下的人都是些对数学建模有兴趣、了解表现很好的人。那我数学建模的同学的素质就相当可靠了。

5.再次就是考试，考察同学的数学基础、编程能力和论文编写能力，尽管现在的留下来的同学都很优秀了，但我们要优中选优，让能力最好的同学去参加数学建模竞赛，因为参加数学建模不仅仅让个人或团队获得荣誉，更重要的是为学校获得荣誉，所以我们不能凭这些就确定谁参加竞赛，谁不参加，不管怎么样，实力最重要，所以考试是必须的，设想一下经过我们重重筛选，重重考核，现在我们选出的同学不仅对数学建模感兴趣，而且对数学建模有一定的了解，更重要的是实力是非常强，是这批同学中的佼佼者，让他们组队参加竞赛无疑是最明智的选着。

6.最后我们再选出的几位同学中按照上述模型的方法进行分组，各个同学能力超群

不一定能获得最终的胜利，只有每个人能力好，而且团队配合好才是最重要的。最后我们考察的是团队协作能力，设想经过这样的选拔，一定能取得好成绩。

六、模型的优缺点分析

模型的优点：运用了层次分析法，对各队员的选拔具有了较高的公平性。在组队的模型上还加入了权重，并依次选出了数学成绩较好、计算机成绩较好及综合成绩较好的三名同学，而且在考虑组队的过程中，尽量让问题简化，按成绩优劣均分队员，分队公平平均，让问题很明了，思路很清晰。也达到了问题的求解

模型的缺点：对问题三，我们的算法还不够精确，没有提出一个更好的思想来解决问题。应该在问题二模型的基础上找到一定的算法，让问题更具有说服力。

七、对建模选拔机制的建议

1、学校可以参考本题，尽可能地将报名参赛的同学信息统计完整以便于更好地选取

队员。

2、对本题题目所统计的信息，应该稍加改进，有些指标相对于其他指标对队员的影

响较弱的我们可以不进行统计，比如说听课的次数以及在班级里的排名情况，这对数学建模的影响不是很大。这样做，可以有效提高统计的效率。

3、对于其他几项要进行着重的调查，比如说数学的功底，计算机的实际操作能力（包

括编程、计算机的工作软件的应用和与数学建模相关的数学软件的应用），这两项是数学建模的基础能力，也是主要的能力。我们建议在这两方面我们可以进行一个全方位的调查，可以根据平时的总体表现来定位，而不是只依照一次或者几次的考试成绩来判断，我想这可以用数学建模中统计的方法来进行定量的运算。

4、当确定每项指标的定量数据之后，就可以用到上述的层次分析方法对每一个学

生进行定量的计算和分析，以此来选拔数学建模的优秀人才。

5、最后在选出的几位同学中进行组队，学校可以组织一个实力最强的队伍。其余的

同学可以用动态规划的方法，分决策过程为n个阶段（n为所要组成的队伍数），按组队原则完成，每一阶段确定一个决策变量，然后建出模型进行最优化组合。

参考文献

1、陈东彦，李冬梅，《数学建模》,北京：科学出版社，2007。

2、姜启源，《数学模型》（第三版），北京：高等教育出版社，2003。

3、韩中庚，最佳组队方案及模型，数学的实践与认识，1997，27（2）：133-144。

4、童其慧.《主成分分析方法在指标综合评价中的应用》，北京理工大学学报(社会科学版)2002年2月第4卷第1 期:P60-6 1 .

5、邹琴,方云.《AHP 法在数学建模参赛队选拔中的应用》[J].韶关学院学报,2008.

15个学生的信息：

学生 专业 校内竞 赛获奖 考勤 记录 模拟

成绩

知识面 思维敏捷 其它情况

S1 信计 二等奖 10 96 A A S2 计科 二等奖 15 93 B A 过计算机三级 S3 机制 成功参赛奖 12 92 C C S4 机制 二等奖 12 82 A B 上过建模选修课 S5 信计 三等奖 8 82 B B S6 信工 二等奖 15 82 D A S7 土木 二等奖 14 80 B C S8 软件 二等奖 12 79 A A 考过程序员 S9 信计 三等奖 12 78 C A 学过MATLAB S10 国经 二等奖 14 77 B A 学过MATLAB S11 生计 一等奖 15 76 B C S12 生计 三等奖 10 74 A A S13 土木 一等奖 10 78 D B S14 机电 二等奖 14 76 A A S15 机电 二等奖 15 66 B C

程序：

clear all close all clc

1 2 3 4 5 6 1/2 1 2 3 4 51/3 1/2 1 2 3 41/4 1/3 1/2 1 2 31/5 1/4 1/3 1/2 1 21/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1a ??????????????????=

n=6;

%第一步：每一列向量标准化

for i=1:n for j=1:n x=0; for k=1:n x=x+(a(k,j)); end

b(i,j)=a(i,j)/x; end

b;

%第二步：按行相加

for i=1:n

y=0;

for j=1:n

y=y+b(i,j);

end

c(i,1)=y;

end

c;

%第三步：得到特征向量

for i=1:n

w(i,1)=c(i)/sum(c);

end

w

%第四步：求AW

AW=a*w;

%第五步：计算最大特征值r=0;

for i=1:n

r=r+1/n*AW(i)/w(i);

end

r

%计算一致性指标CI

CI=(r-n)/(n-1)

%计算随机性指标RI

if (n==6)

RI=1.24;

end

RI

%计算一致性检验CR

CR=CI/RI