初中竞赛几何必做100题 高难度版
F H O
B E C
初中竞赛几何必做 100 题
第一题：
已知：?ABC 外接于⊙ O ，∠BAC = 60?，AE ⊥BC ，CF ⊥AB ，AE 、CF 相交于点H ，点D 为弧BC 的中点，连接HD 、AD .
求证：?AHD 为等腰三角形.
A
D
第二题：
F
如图，F 为正方形 ABCD 边CD 上一点，连接 AC 、AF ，延长 AF 交 AC 的平行线 DE 于点 E ，连接CE ,且AC=AE. 求证： CE CF .
A
D
E
B
C
第三题：
已知：?ABC 中，AB =AC ，∠BAC = 20?，∠BDC = 30?. 求证：AD =BC .
A
D
B C
第四题：
已知：?ABC 中，D 为AC 边的中点，∠A = 3∠C ，∠ADB = 45?.
求证：AB ⊥BC .
B
A D C
第五题：
如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点E ，∠BAC = 50?，∠ABD = 60?，∠CBD = 20?，∠CAD = 30?，∠ADB = 40?，求∠ACD .
A
B
D
C
E
第六题：
已知，∠ABC = 30?，∠ADC = 60?，AD =DC ，求证：AB2 +BC 2 =BD2 .
A
B D
C
第七题：
如图，PC 切⊙O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为⊙O 的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D .
求证：四边形ABCD 为平行四边形.
A
B O D
P
E
F
C
第八题：
O
已知：在?ABC 中， AB = AC ， ∠A = 80? ， ∠OBC = 10? ， ∠OCA = 20?. 求证： AB = OB .
A
B
C
第九题：
已知：正方形ABCD 中，∠OAD =∠ODA = 15?，求证：?OBC 为正三角形.
A D
O
B C
第十题：
已知：正方形ABCD 中，E 、F 为AD 、DC 的中点，连接BE 、AF ，相交于点P ，连接PC .
求证：PC BC .
A E D
P
F
B C
第十一题：
如图，?ACB 与?ADE 都是等腰直角三角形，∠ADE = ∠ACB = 90? ，∠CDF = 45? ，DF 交 BE 于 F ，求证： ∠CFD = 90? .
A
E
B
D
F
C
第十二题：
D
已知：?ABC 中，∠CBA = 2∠CAB ，∠CBA 的角平分线BD 与∠CAB 的角平分线AD 相交于点D ，且BC =AD .
求证：∠ACB = 60?.
C
B A
第十三题：
已知：在?ABC 中，AC =BC ，∠C = 100?，AD 平分∠CAB .
求证：AD +CD =AB .
C
D
A B
第十四题：
E F
已知：?ABC 中，AB = BC ，D 是 AC 的中点，过 D 作 DE ⊥ BC 于 E ，连接 AE ，取 DE 中点 F ，连接 BF . 求证： AE ⊥ BF .
B
A
D
C
第十五题：
D
已知： ?ABC 中， ∠A = 24?， ∠C = 30? ， D 为 AC 上一点， AB = CD ，连接 BD . 求证： AB ? BC = BD ? AC .
B
A
C
第十六题：
已知：ABCD 与A1B1C1D1 均为正方形，A2 、B2 、C2 、D2 分别为AA1 、BB1 、CC1 、DD1 的中点.
求证：A2 B2C2 D2 为正方形.
A1 D1
B 1 C1
A2 D2
A D
B2C
2
B C
第十七题：
如图，在?ABC 三边上，向外做三角形ABR 、BCP 、CAQ ，使∠CBP =∠CAQ = 45?，∠BCP =∠ACQ = 30?，∠ABR =∠BAR = 15?.
求证：RQ 与RP 垂直且相等.
C
P
Q
B
A R
第十八题：
A
E
O
F
D
如图，已知 AD 是⊙ O 的直径，D 是 BC 中点，AB 、AC 交⊙ O 于点 E 、F ，EM 、FM 是⊙ O 的切线， EM 、 FM 相交于点M ，连接 DM . 求证： DM BC .
B
C
M
第十九题：
如图，三角形ABC 内接于⊙ O ，两条高AD 、BE 交于点H ，连接AO 、OH 。若AH = 2 ，BD = 3 ，CD = 1，求三角形AOH 面积.
A
E
O H
B
D C
第二十题：
D
如图， ∠DAC = 2x ， ∠ACB = 4x ， ∠ABC = 3x ， AD = BC ，求∠BAD .
A
B
C