2020年中国矿业大学(徐州)信息与电气工程学院594专业综合考研复试核心题库之通信原理证明题精编
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一、2020年中国矿业大学（徐州）信息与电气工程学院594专业综合考研复试核心题库之通信原理证明题精编
1．试证明：为（15，5）循环码的生成多项式。并求出此循环码的生成矩阵和信息位为10011时的码多项式。
【答案】因为
即可以被整除，则可以证明该多项式为（15，5）循环码的生成多项式。
由生成多项式，可得
当信息位为“10011”时，码多项式为：。
2．在2ASK系统中，已知发送数据“1”的概率为P（1），发送“0”的概率为P（0），且。采用相干检测，并已知发送“1”时，输入接收端解调器的信号振幅为a，输入的窄带高斯噪声方差为。试证明此时的最佳门限为
【答案】2ASK数字调制系统的抗噪声性能分析模型如图所示。
图
由于输入解调器的噪声为高斯白噪声，发送信号为
带通滤波器的作用是使信号完全通过而使噪声限制到最小，通过带通滤波器后，高斯白噪声变为窄带高斯白噪声，因此y（t）是信号与窄带高斯白噪声的叠加，该窄带高斯白噪声的均值为0，方差为。
n（t）为窄带高斯白噪声。
低通滤波器的作用是把中的髙频分量滤掉，因此，
由于这里没有考虑低通滤波器的增益，假设其增益为2，则
我们可由随机过程的理论知道，窄带高斯白噪声的同相分量和正交分量仍为窄带髙斯白噪声，它们仍然服从均值为0，方差为的正态分布，因此发“0”发“1”时的概率密度函数分别为
如图所示。
图
假设判决门限为，则把“1”码错判为“0”码的概率为
把“0”码错判为“1”码的概率为
最佳判决门限即为使最小的X值，因此
令
即
可得
两边同时取对数
即
3．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为T b，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有广义平稳性，试证：（1）自相关函数
（2）功率谱密度
【答案】（1）设随机二进制矩形脉冲波形
其中为脉冲幅度，取的概率相等。则该波形的自相关函数
①若和出现时间间隔大于，且统计独立，则有
②若和出现时间间隔小于，可能出现以下3种情况：
a.和属于同一个脉冲（取值同为1或-1），这种概率为；
b.和分属不同脉冲，但取值相同（1或-1），这种概率为；
c.和分属不同脉冲，取值不同，这种概率为。
所以有
综上所述，可得自相关函数
（2）根据随机过程的广义平稳性，有，并利用三角函数的傅氏变换公式可得功率谱密度
4．随机信号，已知随机变量A统计特性为是内均匀分布的随机变量，且A与统计独立。
（1）判断X（t）广义平稳性并给出证明；
【答案】（1）因为随机变量A的统计特性为N（1，1），所以：
又因为：
所以：
由于均值为：
自相关函数为
由于，所以
所以x（t）的均值为0,自相关函数仅与时间差有关，即：x（t）为平稳随机过程。
5．证明为（15，5）循环码的生成多项式。求出该码的生成矩阵，并写出消息码为时的码多项式，并画出编码器电路。
【答案】（1）证明：设
①
故g（x）可以被整除，它是的一个因式。
②g（x）的最高次幂为10，而n-k=15-5=10，两者相等。
③g（x）的常数项不为0。
可以得证，g（x）为（15，5）循环码的生成多项式。
（2）其生成矩阵为
所以生成矩阵可表示为
（3）已知信息码，求它所对应的码多项式为
式中，r（x）是的余式。
因为