写出下列各试验的样本空间及指定事件的样本点

练习一

1. 写出下列各试验的样本空间及指定事件的样本点：

（1） 掷一枚骰子两次，观察出现的点数。

A =“其中恰有一次是1点”；

B =“点数之和为7”；

C =“点数相同”。

Ω=________________;A =______________;B =_____________;C =___________；

(2)10个产品中有3个次品，每次任取一个直到取出3个次品为止（不放回），记录

抽取的次数。

A =“前两次没有取到次品”；

B =“不超过6次取到所有次品”；

C =“直到第8

次仍未取到次品”。

Ω=________________;A =______________;B =_____________;C =______________;

（3）将一尺之棰折成3段，观察各段的长度。

A =“能组成三角形”；

B =“三段长度都不超过a(3/1≥a ) ”。

Ω=________________; A =______________; B =_____________。

2.一射手连续向目标射击三次，i A =“第i 次击中目标”（i =1，2，3）。用文字叙述下列事件：

（1）321A A A ++ (2)321A A A (3)________321A A A (4)21A A (5)32A A - (6)_________21A A +

3.在管理系学生中任选一名，令A =“选出的学生是男生”，B =“选出的是二年级学生”，C =“该生是运动员”。

(1)叙述事件C AB 的意义；（2）在什么条件下C ABC =成立？（3）在什么条件下B C ?成立？（4）在什么条件下B A =成立？

4.房间里有10人，分别佩带着从1号到10号的纪念章。任选3人，记录其纪念章的号码。求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。

5.两封信随机地投入标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。

练习二

1.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头，设它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船停泊的时间是1小时，乙船停泊的时间是2小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。

2. 在1到2000中随机地取整数，问取到的整数不能被6或8整除的概率是多少？

3. 设对于事件A ，B ，C 有：)()()(C P B P A P == =1/4，)(AC P =1/8，

)()(BC P AB P = =0，求A ，B ，C 三个事件至少出现一个的概率。

4. 向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余的两个军火库的概率各为0.1。只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率。

5. 设A 、B 为任意两个随机事件，证明：)()()(1)(B A P B P A P AB P +--=

练习三

1. 某动物从出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4。如果一动物已经活到

20岁，问它活到25岁的概率为多少？

2. 已知5.0)(,4.0)(=+=B A P B P ，求)(B A P 。

3. 5道考题中有一道难题，5个考生先后随机抽取考题测试，每人一题（不放回）。试说明

无论先后每人抽取难题的概率都是1/5。

4. 发报台以0.6和0.4的概率分别发出信号“.”和“-”，由于电波受到干扰，发出“.”

时收报台分别以0.8和0.2的概率收到“.”和“-”，而发出“-”时分别以0.9和0.1的概率收到“-”和“.”。求当收报台收到信号“.”时发报台确实发出信号“.”的概率。

5. 有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只

一等品。今从两箱中任取一箱，然后从该箱中任取零件2次作不放回抽样，每次一只。试求：（1）第一次取得的零件是一等品的概率；（2）第一次取得一等品的条件下第二次取得的也是一等品的概率。

练习四

1. 事件A 与B 相互独立，已知7.0)(,4.0)(=+=B A P A P ，求)|(A B P 。

2. 证明：如果)|()|(B A P B A P =则两事件A 与B 相互独立。

3. 一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要人照看的概率：第一台为0.9，第二台

为0.8，第三台为0.7。求在一小时内三台机床中最多有一台需要人照看的概率。

4. 设每次射击的命中率为0.2，问至少要进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概

率不少于0.9？

5. 甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和0.5，现同时独立对目标射击一次。若目标被击

中了，则它是甲击中的概率为多少？

练习五

1.若离散型随机变量X 只取-1，0，1，2四个值，相应的概率依次为

C

C C C 167,85,43,21。求：（1）常数C ；（2）)0|1(≠

1. 散型随机变量X 的分布为：

????????≥<≤<≤--<=1,110,8.001,2.01,

0)(x x x x x F

求：（1）利用分布函数计算)10(≤≤X P ；（2）X 的分布律。

2. 口袋里装有5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果是黑球则不放回，而另外放入一个白球，这样继续下去直到取出的是白球为止。求取球次数X 的分布律。

3. 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半。从这批产品中随机地抽取一件检验，用随机变量描述检验的可能结果。求其分布律及分布函数并作出图形。

练习六

1. 填空题：

（1）某射手进行射击每次击中目标的概率为0.8，现连续向目标射击直到击中为止。则射击次数X 服从__________分布，其分布律为___________；

（2）某射手进行射击每次击中目标的概率为0.8，现连续向目标射击200次。则击中目标的次数X 服从_____________分布，其分布律为_____________；

（3）设X ~B （20，1/3），则k=_______时P （X =k ）最大；

（4）设X ~P （λ），且P （X =1）=P （X =2），则P （X =4）__________。

2. 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑选4杯能将甲种酒全部挑选出来，算是成功一次。（1）某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次成功了3次，试问他是否确有区分能力（假设各次试验是相互独立的）？

3. 电话交换台每小时接到的呼叫次数X 服从参数为λ=3的泊松分布，试求：（1）每小时恰有5次呼叫的概率；（2）每小时呼叫次数不超过5次的概率。

4. 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人。现有同类型设备400台，各台工作相互独立，每台故障率为0.01，在通常的情况下，一台设备的故障只需一人处理，问至少需配备多少工人，才能保证发生故障时不能及时维修的概率小于0.01？

练习七

1. 填空：

（1）设随机变量X 的分布函数为)(,1)(+∞<<-∞+=

-x e

A x F x ，则A =_________,X 的密度函数)(x f =__________________;

(2)设X 是连续型随机变量，其分布函数定义如下：

??????≥<≤++<=e x d e x d cx x bx x a x F ,

1,ln 1,)(

则a =________,b =______,c =_______,d =_________;

(3)设连续型随机变量X ~)4,1(N ，且)()(C X P C X P >=<,则常数C=___________;

(4)设连续型随机变量X ~)2,3(2N ，那么)104(≤<-X P =____,)2(>X P =________。

2.已知X 的密度函数：

2,12(),230,Ax x f x Ax x ?≤

其它

求：（1）确定A 的值；（2）X 的分布函数)(x F ;（3））（2≤X P 。

2. 设K ~U （0，5），求二次方程02442

=++Kx x 有实根的概率。

3. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为： 51,0()50,0x X e x f x x ?>?=??≤?　

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟就离开。假设他每月去银行5次，用Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求Y 的分布律及)1(≥Y P 。

4.某电池的寿命),(~2

σa N X ，其中a =300小时，σ=35小时。求：（1）电池寿命在250小时以上的概率；（2）求x ，使寿命在x a -与x a +之间的概率不小于0.9。

练习八

1. 将一枚硬币抛掷三次，用X 表示三次中正面出现的次数，用Y 表示三次中正面与反面出现的次数差的绝对值。试求（X ，Y ）的联合分布律及X 与Y 的边缘分布律。

2. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为：

???>>=+-其它

;00,0;),()32(y x Ae y x f y x

试求：（1）系数A ；（2）联合分布函数；（3）边缘密度函数；（4）（X ，Y ）落在632,0,0:<+>>y x y x R 内的概率。

3. 甲、乙两人独立地进行射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数。试求：X 和Y 的联合分布律。

4. 设X 和Y 是两个独立的随机变量，X ~U （0，1），Y 的概率密度为：

??

???≤>=-0,00,21)(2y y e y f y Y

求：（1）X 与Y 的联合概率密度；（2）条件密度；（3）二次方程022

=++Y Xa a 有实根的概率。 练习九

1. 一口袋中有4个球，上面分别标有数字1，2，2，3，从这口袋中任取球两次（不放回），

用X ，Y 分别表示第一次，第二次取得的球上标明的数字。求：2X

、、Y X + 、max(X,Y)

的分布律。

2. 设随机变量X ~U （0，1），求X Y 2ln -=的密度函数。

3. 设随机变量X 的密度函数为： ??

???<<=其它,00,2)(2

ππx x x f X 求X Y sin =的概率密度。

4. 设X 和Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为：

???≤≤=其它,010,1)(x x f X , ???>=-其它

,00,)(y e y f y Y 求：随机变量Y X Z +=的概率密度。

5. 某电子元件的寿命（以小时计）近似服从)20,160(2

N 分布，随机地选取4件，求其中

没有一件寿命小于180小时的概率。

6. 设随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布： 22221),(y x e y x f +-=π

求：随机变量Y X Z /=的密度函数

练习十

1. 填空题：

(1)一口袋中有红球、白球各3只，现从袋中一次取出3只，以X 表示取出的红球的个数，则)(X E =_________，)(X D =__________；

（2）已知X 服从N （0，1），Y 服从U （0，1），X 与Y 相互独立，则)4(Y X E +=___________，

)4(Y X D -=__________；

（3）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，)(2X e X E -+=___________；

（4）已知X 服从N(0,1)，X

e Y =，则)(Y D =___________。

2. 某类电话的呼唤时间长短T 满足关系：)0(,)1()(≥-+=>--t e a ae t T P t t μλ其中10≤≤a ，λ>0，μ>0是常数，求T 的平均值。

3. 设X ，Y 是两个独立的

随机变量，证

明:DX EY DY EX Y D X D XY D 22)()()()()(++= 4. 设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从Y X Z Y X Z N βαβασμ-=+=212,),,(（β

α,不为零），求：21Z Z ρ

5.

试求：XY Y X Cov XY E EY EX ρ),,(),(,,

6. 设（X ，Y ）的密度为：

??

???≤≤≤=其它

,010,12),(2x y y y x f 求：),(,Y X Cov EX 。 练习十一 极限定理

1．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。

2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。设所有舍人误差是独立的且在[-0.5,0.5]上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有多少个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？

3．设某车间有200台车床，每台车床由于种种原因出现停车，且每台车床开车的概率为0.69，假定每台车床停车或开车是相互独立的。若每台车床开车时需要消耗一千瓦电能，问要以99.9%以上的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产，需供应多少电能？

4．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，问应检查多

少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9？

练习十二 数理统计的基本概念

1. 设n X X X ,,21是来自总体分布为),1(p B 的简单随机样本，其中)10(<

的。（1）指出以下的随机变量中哪些是统计量哪些不是统计量。（a ）31X X + （b ）min ｛n X X X ,,21｝ (c))(2155X X p X -+ (d)EX X +2

（2）计算)(X E 和)(2S E

2. 设总体X ~)4,30(N ，从中抽取容量为4的样本，问X 小于29的概率是多少？若抽取

容量为9和16的两相互独立的样本，问这两样本的均值之差的绝对值大于0.2的概率是多少？

3. 设1021,,X X X 为来自于X ~)3.0,0(2

N 的一个样本，求??????>∑=101244.1i i X P 。 4. 查表求下列各式中的λ值

（1）{}2.0)5(=>λt P （2）{}25.0)5(=>λt P （3）{}975.0)8(2=>λχP

（4）{}01.0)5(2=<λχP

（5）{}05.0)6,3(=>λF P （6）{}05.0)6,3(=<λF P