2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案)
第一章综合检测
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y =f (x )的图象过原点且它的导函数y =f ′(x )的图象是如图所示的一条直线,y =f (x )的图象的顶点在( )
A .第Ⅰ象限
B .第Ⅱ象限
C .第Ⅲ象限
D .第Ⅳ象限
[答案] A
[解析] 设f (x )=ax 2+bx +c ,∵二次函数y =f (x )的图象过原点,∴c =0,∴f ′(x )=2ax +b ,由y =f ′(x )的图象可知,2a <0,b >0,∴a <0,b >0,∴-b 2a >0,4ac -b 24a =-b 2
4a >0,故
选A.
2.(2013·华池一中高二期中)曲线y =-1x 在点(1
2,-2)处的切线方程为( )
A .y =4x
B .y =4x -4
C .y =4(x +1)
D .y =2x -4
[答案] B
[解析] ∵y ′=1x 2,∴y ′|x =1
2=4,∴k =4,
∴切线方程为y +2=4(x -1
2
),即y =4x -4.
3.(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中,x =0是其极值点的函数是( ) A .f (x )=-x 3 B .f (x )=-cos x C .f (x )=sin x -x D .f (x )=1
x
[答案] B
[解析] 对于A ,f ′(x )=-3x 2≤0恒成立,在R 上单调递减,没有极值点;对于B ,f ′(x )=sin x ,当x ∈(-π,0)时,f ′(x )<0,当x ∈(0,π)时,f ′(x )>0,故f (x )=-cos x 在x =0的
左侧区间(-π,0)内单调递减,在其右侧区间(0,π)内单调递增,所以x =0是f (x )的一个极小值点;对于C ,f ′(x )=cos x -1≤0恒成立,在R 上单调递减,没有极值点;对于D ,f (x )=1
x
在x =0没有定义,所以x =0不可能成为极值点,综上可知,答案选B. 4.(2013·北师大附中高二期中)已知函数f (x )=-x 3+ax 2-x -1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )
A .(-∞,-3),∪(3,+∞)
B .(-3,3)
C .(-∞,-3]∪[3,+∞)
D .[-3,3]
[答案] D
[解析] f ′(x )=-3x 2+2ax -1,∵f (x )在(-∞,+∞)上是单调函数,且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线,∴f ′(x )≤0恒成立,∴Δ=4a 2-12≤0,∴-3≤a ≤3,故选D.
5.(2013·武汉实验中学高二期末)设函数f (x )在定义域内可导,y =f (x )的图象如下图所示,则导函数y =f ′(x )的图象可能是( )
[答案] A
[解析] f (x )在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上变化规律是减→增→减,因此f ′(x )的图象在(-∞,0)上,f ′(x )>0,在(0,+∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负,故选A.
6.(2012·陕西文,9)设函数f (x )=2x +ln x ,则( )
A .x =1
2为f (x )的极大值点
B .x =1
2为f (x )的极小值点
C .x =2为f (x )的极大值点
D .x =2为f (x )的极小值点
[答案] D
[解析] 由f ′(x )=-2x 2+1x =1x (1-2
x )=0可得x =2.
当0
7.(2014·天门市调研)已知函数f (x )=a sin x -b cos x 在x =π4时取得极值,则函数y =f (3π
4-
x )是( )
A .偶函数且图象关于点(π,0)对称
B .偶函数且图象关于点(3π
2,0)对称
C .奇函数且图象关于点(3π
2,0)对称
D .奇函数且图象关于点(π,0)对称 [答案] D
[解析] ∵f (x )的图象关于x =π
4对称,
∴f (0)=f (π
2
),∴-b =a ,
∴f (x )=a sin x -b cos x =a sin x +a cos x =2a sin(x +π
4),
∴f (3π4-x )=2a sin(3π4-x +π
4)=2a sin(π-x )=2a sin x .
显然f (3π
4
-x )是奇函数且关于点(π,0)对称,故选D.
8.(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)=1,且f (x )的导函数f ′(x )>1
2
,则满足2f (x ) A .{x |-1 B .{x |x <1} C .{x |x <-1或x >1} D .{x |x >1} [答案] B [解析] 令g (x )=2f (x )-x -1,∵f ′(x )>1 2, ∴g ′(x )=2f ′(x )-1>0,∴g (x )为单调增函数, ∵f (1)=1,∴g (1)=2f (1)-1-1=0, ∴当x <1时,g (x )<0,即2f (x ) 9.(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3-3x +m =0在[0,2]上有根,则实数m 的取值范围是( ) A .[-2,2] B .[0,2] C .[-2,0] D .(-∞,-2)∪(2,+∞) [答案] A [解析] 令f (x )=x 3-3x +m ,则f ′(x )=3x 2-3=3(x +1)(x -1),显然当x <-1或x >1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,当-1 ∵f (x )=0在[0,2]上有解,∴????? f (1)<0, f (2)>0, ∴? ???? m -2≤0, 2+m ≥0,∴-2≤m ≤2. 10.(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意正数a 、b ,若a A .af (b )≤bf (a ) B .bf (a )≤af (b ) C .af (a )≤f (b ) D .bf (b )≤f (a ) [答案] A [解析] 令F (x )=xf (x ),(x >0),则F ′(x )=xf ′(x )+f (x )≤0,∴F (x )在(0,+∞)上为减函数, ∵0f (b ),即af (a )>bf (b ),与选项不符; 由于xf ′(x )+f (x )≤0且x >0,f (x )≥0,∴f ′(x )≤-f (x ) x ≤0,∴f (x )在(0,+∞)上为减函数, ∵0f (b ), ∴bf (a )>af (b ),结合选项知选A. 11.(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )=a (x -b )2+c 的图象如图所示,则函数f (x )的图象可能是( ) [答案] D [解析] 由导函数图象可知,当x <0时,函数f (x )递减,排除A ,B ;当0 12.(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示,若△ABC 为锐角三角形,则一定成立的是 ( ) A .f (sin A )>f (cos B ) B .f (sin A ) C .f (sin A )>f (sin B ) D .f (cos A ) [答案] A [解析] 由导函数图象可知,x >0时,f ′(x )>0,即f (x )单调递增,又△ABC 为锐角三角形,则A +B >π2,即π2>A >π2-B >0,故sin A >sin(π 2-B )>0,即sin A >cos B >0,故f (sin A )> f (cos B ), 选A. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2013·华池一中高二期中)已知f (x )=x 3+3x 2+a (a 为常数),在[-3,3]上有最小值3,那么在[-3,3]上f (x )的最大值是________. [答案] 57 [解析] f ′(x )=3x 2+6x =3x (x +2),当x ∈[-3,-2)和x ∈(0,3]时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(-2,0)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,∴极大值为f (-2)=a +4,极小值为f (0)=a ,又f (-3)=a ,f (3)=54+a ,由条件知a =3,∴最大值为f (3)=54+3=57. 14.(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )=13ax 3+1 2ax 2-2ax +2a +1的图象 经过四个象限,则实数a 的取值范围是________. [答案] (-65,-3 16 ) [解析] f ′(x )=ax 2+ax -2a =a (x -1)(x +2), 由f (x )的图象经过四个象限知,若a >0,则 ????? f (-2)>0,f (1)<0,此时无解;若a <0,则? ???? f (-2)<0, f (1)>0, ∴-65 . 15.(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )=x 3-3x ,若过点A (1,m )(m ≠-2)可作曲线y =f (x )的三条切线,则实数m 的取值范围为________. [答案] (-3,-2) [解析] f ′(x )=3x 2-3,设切点为P (x 0,y 0),则切线方程为y -(x 3 0-3x 0)=(3x 20-3)(x -x 0),∵切线经过点A (1,m ),∴m -(x 30-3x 0)=(3x 20-3)(1-x 0),∴m =-2x 3 0+3x 20-3, m ′=-6x 20+6x 0,∴当0 16.如图阴影部分是由曲线y =1 x 、y 2=x 与直线x =2、y =0围成,则其面积为______. [答案] 2 3 +ln2 [解析] 由???? ? y 2 =x ,y =1x ,得交点A (1,1) 由????? x =2y =1x 得交点B ??? ?2,1 2. 故所求面积S =??0 1x d x +??1 21x d x =23x 32| 10+ln x | 2 1=23 +ln2. 三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)设函数f (x )=ln x +ln(2-x )+ax (a >0). (1)当a =1时,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为1 2,求a 的值. [解析] 函数f (x )的定义域为(0,2), f ′(x )=1x -1 2-x +a , (1)当a =1时,f ′(x )=-x 2+2 x (2-x ) ,∴当x ∈(0,2)时,f ′(x )>0,当x ∈(2,2)时,f ′(x )<0, 所以f (x )的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,2); (2)当x ∈(0,1]时,f ′(x )=2-2x x (2-x ) +a >0, 即f (x )在(0,1]上单调递增,故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)=a ,因此a =1 2 . 18.(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )=ax 3+cx +d (a ≠0)是R 上的奇函数,当x =1时,f (x )取得极值-2. (1)求函数f (x )的解析式; (2)求函数f (x )的单调区间和极大值; (3)证明:对任意x 1、x 2∈(-1,1),不等式|f (x 1)-f (x 2)|<4恒成立. [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数, ∴f (-x )=-f (x ), 即-ax 3-cx +d =-ax 3-cx -d ,∴d =-d , ∴d =0(或由f (0)=0得d =0). ∴f (x )=ax 3+cx ,f ′(x )=3ax 2+c , 又当x =1时,f (x )取得极值-2, ∴????? f (1)=-2,f ′(1)=0,即????? a +c =-2,3a +c =0,解得? ???? a =1,c =-3. ∴f (x )=x 3-3x . (2)f ′(x )=3x 2-3=3(x +1)(x -1),令f ′(x )=0,得x =±1, 当-1 ∴函数f (x )的递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞);递减区间为(-1,1). 因此,f (x )在x =-1处取得极大值,且极大值为f (-1)=2. (3)由(2)知,函数f (x )在区间[-1,1]上单调递减,且f (x )在区间[-1,1]上的最大值为M =f (-1)=2.最小值为m =f (1)=-2.∴对任意x 1、x 2∈(-1,1), |f (x 1)-f (x 2)| 即对任意x 1、x 2∈(-1,1),不等式|f (x 1)-f (x 2)|<4恒成立. 19.(本题满分12分)(2014·北京海淀期中)已知函数f (x )=x 2-2(a +1)x +2a ln x (a >0). (1)当a =1时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求f (x )的单调区间; (3)若f (x )≤0在区间[1,e]上恒成立,求实数a 的取值范围. [解析] (1)∵a =1,∴f (x )=x 2-4x +2ln x , ∴f ′(x )=2x 2-4x +2x (x >0), f (1)=-3,f ′(1)=0, 所以切线方程为y =-3. (2)f ′(x )=2x 2-2(a +1)x +2a x =2(x -1)(x -a ) x (x >0), 令f ′(x )=0得x 1=a ,x 2=1, 当00,在x ∈(a,1)时,f ′(x )<0,∴f (x )的单调递增区间为(0,a )和(1,+∞),单调递减区间为(a,1);当a =1时,f ′(x )= 2(x -1)2 x ≥0,∴f (x )的单调增区间为(0,+∞);当a >1时,在x ∈(0,1)或x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,在x ∈(1,a )时,f ′(x )<0,∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ,+∞),单调递减区间为(1,a ). (3)由(2)可知,f (x )在区间[1,e]上只可能有极小值点,∴f (x )在区间[1,e]上的最大值必在区间端点取到, ∴f (1)=1-2(a +1)≤0且f (e)=e 2 -2(a +1)e +2a ≤0,解得a ≥e 2-2e 2e -2 . 20.设函数f (x )=x 3-9 2 x 2+6x -a . (1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立,求m 的最大值; (2)若方程f (x )=0有且仅有一个实根,求a 的取值范围. [解析] (1)f ′(x )=3x 2-9x +6=3(x -1)(x -2). 因为x ∈(-∞,+∞).f ′(x )≥m ,即3x 2-9x +(6-m )≥0恒成立. 所以Δ=81-12(6-m )≤0,得m ≤-34,即m 的最大值为-3 4 . (2)因为当x <1时,f ′(x )>0;当1 2-a , 当x =2时,f (x )取极小值f (2)=2-a . 故当f (2)>0或f (1)<0时,方程f (x )=0仅有一个实根,解得a <2或a >5 2 . 21.(本题满分12分)(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知函数f (x )=ln x +a x +1 ,a 为常数. (1)若a =9 2,求函数f (x )在[1,e ]上的值域;(e 为自然对数的底数,e ≈2.72) (2)若函数g (x )=f (x )+x 在[1,2]上为单调减函数,求实数a 的取值范围. [解析] (1)由题意f ′(x )=1x -a (x +1)2 , 当a =92时,f ′(x )=1 x -92(x +1)2=(x -2)(2x -1)2x (x +1)2 . ∵x ∈[1,e ],∴f (x )在[1,2)上为减函数,[2,e ]上为增函数, 又f (2)=ln2+32,f (1)=94,f (e )=1+9 2e +2,比较可得f (1)>f (e ), ∴f (x )的值域为[ln2+32,9 4 ]. (2)由题意得g ′(x )=1x -a (x +1)2+1≤0在x ∈[1,2]上恒成立, ∴a ≥(x +1)2x +(x +1)2=x 2+3x +1x +3恒成立, 设h (x )=x 2+3x +1 x +3(1≤x ≤2), ∴当1≤x ≤2时,h ′(x )=2x +3-1 x 2>0恒成立, ∴h (x )max =h (2)= 272,∴a ≥272 , 即实数a 的取值范围是[27 2 ,+∞). 22.(本题满分14分)(2014·北京海淀期中)如图,已知点A (11,0),直线x =t (-1 (1)求函数f (t )的解析式; (2)求函数f (t )的最大值. [解析] (1)由已知AH =11-t ,PH =t +1, 所以△APH 的面积为f (t )=1 2(11-t )t +1,(-1 (2)解法1:f ′(t )=3(3-t ) 4t +1, 由f ′(t )=0得t =3, 函数f (t )与f ′(t )在定义域上的情况如下表: 所以当t =解法2.由f (t )=1 2(11-t )t +1 = 1 2 (11-t )2(t +1),-1 设g (t )=(11-t )2(t +1),-1 则g ′(t )=-2(11-t )(t +1)+(11-t )2=(t -11)(t -11+2t +2)=3(t -3)(t -11). g (t )与g ′(t )在定义域上的情况见下表: 所以当t =3所以当t =3时,函数f (t )取得最大值1 2g (3)=8. 一、选择题 1.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b =1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =-1 D .a =-1,b =-1 [答案] A [解析] y ′=2x +a ,∴y ′|x =0=(2x +a )|x =0=a =1, 将(0,b )代入切线方程得b =1. 2.(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9在x =-3时取得极值,则a =( ) A .2 B .3 C .4 D .5 [答案] D [解析] f ′(x )=3x 2+2ax +3,由条件知,x =-3是方程f ′(x )=0的实数根,∴a =5. 3.函数y =2x 3-3x 2-12x +5在[0,3]上的最大值,最小值分别是( ) A .5,-15 B .5,-4 C .-4,-15 D .5,-16 [答案] A [解析] ∵y ′=6x 2-6x -12=0,得x =-1(舍去)或x =2,故函数y =f (x )=2x 3-3x 2-12x +5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值,而f (0)=5,f (2)=-15,f (3)=-4,故最大值为5,最小值为-15,故选A. 4.??2 41 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 [答案] D [解析] 因为(ln x )′=1 x , 所以 ??2 41 x d x =ln x |42=ln4-ln2=ln2. 5.(2013·吉林白山一中高二期末)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示,则下列结论一定正确的是( ) A .f (b )>f (c )>f (d ) B .f (b )>f (a )>f (e) C .f (c )>f (b )>f (a ) D .f (c )>f (e)>f (d ) [答案] C [解析] 由图可知f ′(x )在(-∞,c )和(e ,+∞)上取正值,在(c ,e)上取负值,故f (x )在(-∞,c )和(e ,+∞)上单调递增,在(c ,e)上单调递减, ∵a 6.已知函数f (x )=4x +3sin x ,x ∈(-1,1),如果f (1-a )+f (1-a 2)<0成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(-2,-2) D .(-∞,-2)∪(1,+∞) [答案] B [解析] ∵f (x )=4x +3sin x ,x ∈(-1,1), ∴f ′(x )=4+3cos x >0在x ∈(-1,1)上恒成立, ∴f (x )在(-1,1)上是增函数,又f (x )=4x +3sin x ,x ∈(-1,1)是奇函数,∴不等式f (1-a )+f (1-a 2)<0可化为f (1-a ) 从而可知,a 须满足????? -1<1-a <1,-1 -1<1, 1-a 解得1 7.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y =f (x )和y =f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( ) [答案] D [解析] A 中,当f (x )为二次函数时,f ′(x )为一次函数,由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的,同理B 、C 都可以是正确的,但D 中f (x )的单调性为增、减、增,故f ′(x )的值应为正负正,因此D 一定是错误的. 8.函数y =f (x )的图象如图所示,则y =f ′(x )的图象可能是( ) [答案] D [解析] 由f (x )的图象知,f (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0,+∞)上f ′(x )≤0,在(-∞,0)上f ′(x )≥0,故选D. 9.如果1N 能拉长弹簧1cm ,为了将弹簧拉长6cm ,所耗费的功为( ) A .0.18J B .0.26J C .0.12J D .0.28J [答案] A [解析] 设F (x )=kx ,当F (x )=1时,x =0.01m ,则k =100,∴W =∫0.060100x d x =50x 2|0.06 =0.18. 10.(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )=ln x ,则函数g (x )=f (x )-f ′(x )的零点所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) [答案] B [解析] 由题可知g (x )=ln x -1x ,∵g (1)=-1<0,g (2)=ln2-1 2=ln2-ln e>0,∴选B. 11.已知三次函数f (x )=1 3x 3-(4m -1)x 2+(15m 2-2m -7)x +2在R 上是增函数,则m 的取值范围是( ) A .m <2或m >4 B .-4 C .2 D .以上皆不正确 [答案] D [解析] f ′(x )=x 2-2(4m -1)x +15m 2-2m -7, 由题意得x 2-2(4m -1)x +15m 2-2m -7≥0恒成立,∴Δ=4(4m -1)2-4(15m 2-2m -7) =64m 2-32m +4-60m 2+8m +28 =4(m 2-6m +8)≤0, ∴2≤m ≤4,故选D. 12.(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )=13x 3+1 2mx 2+m +n 2x 的两个极值点分别为x 1、