概率分布和抽样分布
Stata软件基本操作和数据分析入门
第三讲概率分布和抽样分布
赵耐青
概率分布累积函数
1.标准正态分布累积函数norm(X)
2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度
3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度
4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度
5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母
自由度
6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为
分母自由度
累积函数的计算使用
正态分布计算
X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96)
display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则
X服从N(μ,σ2)，则~(0,1)
=，因此对其他正态分布只要在函
Y N
σ
数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。
例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下
又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下
χ2分布累积概率计算
设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下
设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下
χ2分布右侧累积概率计算
设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下
设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下
t分布右侧累积概率计算
设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下
设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下
F分布累积概率计算
设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：
设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：
F分布右侧累积概率计算
设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：
设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：
概率分布的临界值计算
正态分布的临界值计算函数invnorm(P)
例如：双侧U0.05(即：左侧累积概率为0.975)，操作如下
t分布的临界值计算函数invchi2tail(df,P)
例如计算自由度为28的右侧累积概率为0.025的临界值t28，α，操作如下
χ2分布的临界值计算函数invchi2(df,P) 或invchi2tail(df,P)
例如：计算自由度为1的χ2右侧累积概率为0.05的临界值χ20.05，操作如下：
或者操作如下：
F分布的临界值计算函数invF(df1,df2,P) 或invF(df1,df2,P)
例如计算分子自由度为3和分母自由度27的右侧累积概率为0.05的临界值，操作如下：
或者操作为：
产生随机数
计算机所产生的随机数是通过一串很长的序列数模拟随机数，故称为伪随机数，在实际应用这些随机数时，这些随机数一般都能具有真实随机数的所有概率性质和统计性质，因此可以产生许许多多的序列伪随机数，一个序列的第一个随机数对应一个数，这个数称为种子数(seed)，因此可以利用种子数，使随机数重复实现。
设置种子数的命令为set seed 数。每次设置同一种子数，则产生的随机序列是相同的。
产生(0,1)区间上的均匀分布的随机数uniform()
例如产生种子数为100的20个在(0,1)区间上的均匀分布的随机数，则操作如下：
clear 清除内存
set seed 100 设置种子数为100
set obs 20 设置样本量为20
gen r=uniform()产生20个在(0，1)区间上均匀分布的随机数。
list 显示这些随机数
结果如下
利用均匀分布随机数进行随机分组：
例：某实验要把20只大鼠随机分为2组，每组10只，请制定随机分组方案和措施。
第一步、把20只大鼠编号，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20。并且标明。
第二步、用Stata软件制定随机分组方案，操作如下：
clear 清除内存
set seed 200 设置种子数为200
set obs 20 设置样本量为20
range no 1 20 建立编号1至20
gen r=uniform() 产生在(0,1)均匀分布的随机数
gen group=1 设置分组变量group的初始值为1 sort r 对随机数从小到大排序
replace group=2 in 11/20 设置最大的10个随机数所对应的记录
为第2组，即：最小的10个随机数所
对应的记录为第1组
sort no 按照编号排序
list 显示随机分组的结果
结果如下：
随机分组整理如下
第一组
编号 3 4 7 9 11 12 15 17 18 20
第二组
编号 1 2 5 6 8 10 13 14 16 19
产生服从正态分布N(μ，σ2)的随机数invnorm(uniform())*σ+μ。例如产生10个服从正态分布N(100，62)的随机数，操作如下: clear 清除内存
set seed 200 设置种子数为200
set obs 10 设置样本量为10
gen x=invnorm(uniform())*6+100 产生服从N(100，62)的随机数list 显示随机数
结果如下：
教学应用：考察样本均数的分布。
由于个体变异的原因，样本均数X的抽样误差(其定义为样本均数
与总体均数的差值)是不可避免的，并且样本均数的抽样误差是呈随机变化的。对于一次抽样而言，无法考察样本均数的抽样误差的规律性，但当大量地重复抽样，计算每次抽样的样本均数X，考察样本均数X的随机分布规律性和统计特征。举例如下：
利用计算机模拟产生100000个服从正态分布N(100,62)的样本，样本量分别为n=4，n=9，n=16，n=36，每个样本计算样本均数。这里关键处是要清楚什么是样本量(每次抽样所观察的对象个数，也就是每个样本的个体数n)、什么是样本个数(指抽样的次数)，现以n=4为例，一条记录存放一个样本，样本量n=4，也就是每个样本的第1个数据放在第1列，第2个数据放在第2列，第3个数据放在第3列，第4个数据放在第4列，因此第1行是第一个样本，第2行是第2个样本，第100000行是第100000个样本，计算样本均数放在第5列，因此共有100000个样本均数。具体操作如下：
结果
现共有100000个样本，每个样本计算一个样本均数，因此有100000个样本均数，现在把一个样本均数X视为一个数据，把100000个样本均数视为一个样本量为100000的新样本(这个样本里有100000个X)，计算这100000个X的平均值和标准差：得到：
这100000个X的平均值＝99.98388非常接近总体均数μ=100
这100000个X的标准差＝3.0022253
≈==(理论上可以证明样
本均数的总体均数与样本所在的总体的总体均数相同，样本均数的标样本所在总体的总体标准差)
准差
再考察这100000个X的频数图
graph mean,bin(50) xlabel ylabel norm
可以发现正态分布的样本均数仍呈正态分布，峰的位置在 ＝100。再考察这100000个X的百分位数
比较理论上的百分位数
百分位数Stata操作理论百分位数模拟百分位数
P2.5 di 100+invnorm(0.025)*3 94.120108 94.11224
P5 di 100+invnorm(0.05)*3 95.065439 95.04831
P50 di 100+invnorm(0.5)*3 100 99.97672
P95 di 100+invnorm(0.95)*3 104.93456 104.9248
P97.5 di 100+invnorm(0.975)*3 105.87989 105.8656
可以发现理论上的百分位数与模拟数据的百分位数非常接近。可以证明：样本量越大，这种X的误差小的可能性越大。
由于在实际研究中，只有一个样本，因此只有一个样本均数，无法如
模拟数据一样计算样本均数的标准差，但是一个样本的数据可以计算样本的标准差S近似σ，利用样本均数的标准差
σ=关系，间接
估计得到样本均数的标准差估计为
S=，为了区分样本的标准差
和样本均数的标准差，故称
S=为标准误。
为了帮助大家方便地进行模拟实习，特地编制的相应的stata模拟程序:模拟正态分布的样本均数分布的模拟程序simumean.ado复制到stata软件安装的目录下的子目录ado\base。例如：stata软件安装在D:\stata，则simumean.ado 复制到d:\stata\ado\base
然后启动stata软件后，输入连接命令:net set ado d:\stata\ado\base 若stata安装在其他目录下，则相应改变上述路径便是(这是一次性操作，以后无需再重复进行)。这是模拟抽10000个正态分布的样本，具体说明如下：
举例说明
simumean 样本量均数标准差
例如模拟抽10000个正态分布的样本，样本量为4、总体均数是20、标准差为6，则操作如下：
simumean 4 20 6
得到下列结果(随机的)
Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max
-------------+-----------------------------------------------------
mean | 10000 19.99352 2.990616 8.344506 31.40937
ssd | 10000 5.511469 2.346368 .258496 15.51934
即10000个样本均数(视为一个新的样本数据)的平均值为19.99352≈总
体均数20，10000个样本均数的标准差＝2.9906163
≈
==总体标准差。 变量 样本量 ％ 百分位数
-- Binom. Interp. -- Variable | Obs Percentile Centile [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------------------------------- mean | 10000 2.5 14.19629 14.01392 14.31436 | 5 15.08899 14.96281 15.2017 | 50 19.96537 19.88963 20.03251 | 95 24.91111 24.78268 25.05202 | 97.5 25.92742 25.75092 26.05995
理论上，样本均数X 的95%范围是μ±1.96
20±1.96×3=(14.12,25.88)
比较10000个样本均数的95％百分位数=(14.196,25.927) 模拟习题
1)运行正态分布的样本均数模拟程序simumean.ado ，考察不同样本量情况下，X
95％范围的比较。
考察频数图的变化
graph 变量名,xlabel bin(40)
考察原始资料：graph x1,xlabel bin(40)
考察样本均数(变量名为mean) graph mean,xlabel bin(40) 考察：原始资料和样本均数的峰的位置，离散程度。 考察非正态分布情况下，样本均数 可以运行下列程序
双峰分布的样本均数分布程序：simubpeak.ado
自由度为1的χ2分布的样本均数模拟程序simuchi.ado
把上述程序复制到路径:\stata\ado\base
连接：net set ado 路径:\stata\ado\base
操作：simubpeak.ado 样本量
simuchi.ado 样本量
考察原始资料的分布和样本均数的分布变化，
原始资料所在总体分布的频数图：graph x1,bin(40) xlabel
样本均数的抽样分布的频数图：graph meanx ,bin(40) xlabel
考察原始资料x1,x2的标准差和样本均数meanx的标准差
考察不同样本量对样本均数分布的影响。
可以证明：样本量较大时，样本均数的分布趋向于正态分布(称为中心极限定理)，并且样本均数的总体均数(理论均数)仍与样本所在总体相同，样本均数的总体标准差(标准误)
概率分布和抽样分布
Stata软件基本操作和数据分析入门 第三讲概率分布和抽样分布 赵耐青 概率分布累积函数 1.标准正态分布累积函数norm(X) 2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度 3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度 4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度 5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母 自由度 6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为 分母自由度 累积函数的计算使用 正态分布计算 X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96) display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则 X服从N(μ,σ2)，则~(0,1) =，因此对其他正态分布只要在函 Y N σ
数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。 例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下 又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下 χ2分布累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下 χ2分布右侧累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下
t分布右侧累积概率计算 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下 F分布累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下： F分布右侧累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：
大学概率论与数理统计复习资料
第一章 随机事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0 )()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))0(,,()()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=) /()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==
应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。 4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ）。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B - 与A 的关系是（ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率； （2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P （2）由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛 后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。 看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16
样本及抽样分布知识讲解
第六章 样本及抽样分布 【内容提要】 一、简单随机样本与统计量 1. 总体 用来表征某一随机试验的数量指标X ，其概率分布称为总体的分布。 2. 简单随机样本 在相同条件下，对总体X 进行n 次独立的重复观察，将所得结果12,,...,n X X X 称为从总体X 中抽取的容量为n 的简单随机样本，试验结束后，可得一组数值12,,...,n x x x ，称其为 12,,...,n X X X 的观察值。 注:若12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，则12,,...,n X X X 相互独立，且与总体X 同分布。 3. 统计量 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12(,,...,)n T g X X X =为样本12,,...,n X X X 的实值函数，且不含任何未知参数，则称12(,,...,)n T g X X X =为一个统计量，将样本值12,,...,n x x x 代入后算出的函数值12(,,...,)n t g x x x =称为该统计量的值。 注:设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，则常用的统计量有: 4. 经验分布函数 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，将样本值 按由小到大的顺序重新编号12,1r x x x r n ***<
样本及抽样分布
第六章样本及抽样分布 【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布， F分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】4学时 【授课内容】 §6.0 前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 §6.1 随机样本 1
一、总体与样本 1.总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。 定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。 我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。 例1：考察一块试验田中小麦穗的重量： X=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 2
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
习题六 样本及抽样分布.
习题六样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =； 2．在总体中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 3．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时，抽取一容量为9的样本，得到 ，则； 4．设为总体的一个样本，则 0.025 ； 5．设为总体的一个样本，且服从分布，这里， ，则1/3 ； 6．设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为 9 的 t 分布。 7．设是取自正态总体的简单随机样本且 ，则 0.05 ， 0.01 时，统计量服从分布，其自由度为 2 ；
8．设总体 X 服从正态分布,而是来自总体的简单随机样 本，则随机变量 服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量则 F(n,1 ； 10．设随机变量且，A为常数，则 0.7 二、选择题 1．设是来自总体的简单随机样本，是样本均值， 记 则服从自由度的分布的随机变量是（ A ）； A． B． C． D． 2．设是经验分布函数，基于来自总体的样本，而是总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的（ B ） A．是分布函数 B．依概率收敛于 C．是一个统计量 D．其数学期望是
3．设总体服从0－1分布，是来自总体的样本，是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A． B． C． D． 4．设是正态总体的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。 A． B． C． D． 5．设和分别来自两个正态总体和的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从的统计量是（ B ） A． B． C． D． 6．设是正态总体的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ） A．相互独立； B．与相互独立； C．与相互独立D．与相互独立。
第三-四章 概率分布练习题
第三-四章 概率与离散变量的概率分布练习题 一、填空 1．用古典法计算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或?)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(x F 累计的是（ ）。 3．如果A 和B （ ），总有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ ）事件。 4．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。A 基本事件； B 样本；C 全部事件；D 样本空间。 2.在次数分布中，频率是指（ ） A.各组的频率相互之比 B.各组的分布次数相互之比 C.各组分布次数与频率之比 D.各组分布次数与总次数之比 3．以等可能性为基础的概率是（A ）。A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。 4．古典概率的特点应为（ A ）。 A 基本事件是有限个，并且是等可能的； B 基本事件是无限个，并且是等可能的； C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 5．任一随机事件出现的概率为（ D ）。A 在–1与1之间；B 小于0；C 不小于1；D 在0与1之间。 6．若P （A ）＝0.2，Ｐ（B ）＝0.6，P （A/B ）＝0.4，则)(B A P ＝（ D ）。A 0.8 B 0.08 C 0.12 D 0.24。 7．若A 与B 是任意的两个事件，且P （AB ）＝P （A ）·P （B ），则可称事件A 与B （C ）。 A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。 8．若相互独立的随机变量X 和Y 的标准差分别为6与8，则（X ＋Y ）的标准差为（B ）。A 7 B 10 C 14 D 无法计算。 9．如果在事件A 和B 存在包含关系A ?B 的同时，又存在两事件的反向包含关系A ?B ，则称事件A 与事件B （A ）A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立 10．二项分布的数学期望为（C ）。A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 11．关于二项分布，下面不正确的描述是（A ）。 A 它为连续型随机变量的分布； B 二项分布的数学期望)(X E ＝μ＝np ，变异数)(X D ＝2 σ＝npq ； C 它的图形当p ＝0．5时是对称的，当p ≠ 0．5时是非对称的，而当n 愈大时非对称性愈不明显； D 二项分布只受成功事件概率p 和试验次数n 两个参数变化的影响。 12．事件A 在一次试验中发生的概率为 4 1 ,则在3次独立重复试验中，事件A 恰好发生2次的概率为(C )。 A 21 B 161 C 64 3 D 649 13．设随机变量ξ～B ????6，12，则P (ξ＝3)的值为( A ) A.516 B.316 C.58 D.716 14．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13 B.59 C.827 D.19 27 解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13 ，∴P (η≥1) ＝C 13????13????232＋C 23????132????23＋C 33????133＝1927，故选D. 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( A ) A ．[0.4,1) B ．(0,0.6] C ．(0,0.4] D ．[0.6,1)
大学概率论与数理统计必过复习资料试题解析(绝对好用)
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或
(完整版)样本及抽样分布.doc
第六章样本及抽样分布 【基本要求】 1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布—— 2 分布，t分布， F分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】 4 学时 【授课内容】 §6.0前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一 门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性； 而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的 一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来 选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理 统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 § 6.1随机样本 1
一、总体与样本 1.总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是 个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每 个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几 项数量指标 X ( 可以是向量 ) 和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中 X 是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X 的这样或那样的数值，因而这个数量指标X 是一个随机变量（或向量），而 X 的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标 X 可能取值的全体组成的集合等同起来。 定义 1：把研究对象的全体（通常为数量指标X 可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。 我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X 的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指 标 X 的分布，因此， X 的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体 X 。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体 和无限总体。 例 1：考察一块试验田中小麦穗的重量： X =所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 2
样本与抽样分布
第六章样本与抽样分布 §6.1 数理统计的基本概念 一．数理统计研究的对象 例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。 (1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。此问题是求P(X 1000)=F(10000),求F(x)? (2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E(x)?、D(x)?。 要解决二个问题
1．试验设计抽样方法。 2．数据处理或统计推断。 方法具有“从局部推断总体”的特点。 二.总体（母体）和个体 1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。 说明： (1)对总体我们关心的是研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体中的分布。所以总体是个体的数量指标的全体。 (2)为研究方便将总体与一个R.V X
对应(等同)。 a.总体中不同的数量指标的全体， 即是R.V.X的全部取值。 b.R.V X的分布即是总体的分布 情况。 例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是： 1000小时1100小时 1200小时 20个30个50个 X 1000 1100 1200 P 20/100 30/100
50/100 (设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的分布律， 就是总体寿命的分布，反之亦然。 常称总体X，若R.VX～F(x)，有时也用F(x)表示一个总体。 (3)我们对每一个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（X,Y,Z, …）去描述总体。 2.总体的分类 有限总体 无限总体
三．简单随机样本. 1.定义6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。每个样品的测试值叫观察值。 取得子样的过程叫抽样。 样本的双重含义： (1)随机性： 用(X 1，X 2, ……X n) n维随机向量表 示。 X i表示第i个被抽到的个体，是随机变量。（i=1,2,…n）
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布 摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。 关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质 一、二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生 这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 （一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = () q p A P =-=1。 2．泊努利分布 定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数， 则??? ? ??ξp q 10 ~，称ξ服从参数为)10(<
(完整word版)习题六样本及抽样分布
习题六 样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =22.716； 2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 3． 设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N σ (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则(940)P X <= ； 4．设127,,...,X X X 为总体2 ~(0,0.5)X N 的一个样本，则7 21 (4)i i P X =>=∑ 0.025 ； 5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里， 22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ； 6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分 别是来自总体,X Y 的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9 的 t 分布。 7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且 22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从 2χ分布，其自由度为 2 ； 8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机 样本，则随机变量 22 110 22 1115...2(...) X X Y X X ++=++ 服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量21 ~()(1),,X t n n Y X >=则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1 ()P X A > = 0.7 二、选择题 1．设12,,...,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值， 记22222 21 23111 111(),(),(),11n n n i i i i i i S X X S X X S X n n n μ====-=-=---∑∑∑ 2 241 1(),n i i S X n μ==-∑则服从自由度1n -的t 分布的随机变量是T =（ A ）； A ． B C D 2．设()n F x 是经验分布函数，基于来自总体X 的样本，而()F x 是X 总体的 分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的,()n x F x （ B ） A ．是分布函数 B ．依概率收敛于()F x C ．是一个统计量 D ．其数学期望是()F x
概率论与数理统计复习(填空选择题)
一、填空题 1、关于事件的关系运算 （1）已知()0.4P A =，()0.4P B =，5.0)(=B A P ，则()P A B ?= （2）已知()0.6,()0.8,()0.2,P A P B P B A P A B ===（）= (3)已知P(A) = ，P(A - B) = ，则P (B|A) = （4）设A 与B 是独立，已知：(),()1P A B c P A a ?==≠，则P B （）= (c-a)/(1-a) （5）已知B A ,为随机事件，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，则 ______)(=B A P 2、关于6个常用分布 （1）若269 4 ()2x x X f x ++-= ，则X 服从的分布是 N(-3,2) （2）X ()Y ()2e EX πλλ=若随机变量～；～，且，则DY =__1/4___ （3）的联合密度函数为 ，则独立， 与，且，～；均匀分布，～若随机变量)()10(Y )()11-(X Y X Y X N U （4）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则()21E X += 2λ+1 （5）在3重贝努里实验中，已知4次实验至少成功一次的概率为：175/256，则一次成功的概率p= （6）地铁列车的运行间隔时间为2分钟，某旅客可能在任意时刻进 （7）设随机变量)1,04.1(~N X ，已知975.0)3(=≤X P ，则=-≤)92.0(X P （8）设)2,3(~2N X ，若)()(C X P C X P ≤=>, 则______________=C 3
（9）已知离散型随机变量X 服从二项分布，且44.1,4.2==DX EX ，则 二项分布的参数p n ,的值为 6, （10）设随机变量X 的分布为P{X=k}= )0,,2,1,0(,! >=-λλλ k e k k ,则 =)(2X E λ2+λ 3、关于独立性 （1）在贝努利试验中，每次试验成功的概率为p ，则第3次成功发 生在第6次的概率是 （2）四人独立答题,每人答对的概率为1/4 ,则至少一人答对的概率 为 ；甲、乙、丙三人独立地破译某密码，他们能单独译出的概率分别为51，31，4 1，求此密码被译出的概率 （3）设()()~2,9,~1,16X N Y N ，且,X Y 相互独立，则~X Y +(3,25) （4）若n X X X ,,,21 是取自总体),(~2 σμN X 的一个样本，则∑==n i i X n X 1 1服从___________ （5）某电路由元件A 、B 、C 串联而成，三个元件相互独立，已知各 元件不正常的概率分别为：P （A ）=0。1，P （B ）=0。2，P （C ）=0。3，求电路不正常的概率 （6）某人打靶的命中率为，现独立地射击5次，则5次中2次命中的概率为 4．关于期望方差性质 （1）随机变量()0,2X U ，则()3D X --=___1/3______ （2）已知E(X)=-1,D(X)=3, 则E[2(X 2-1)]= 6
概率与概率分布习题及答案
第三章概率、概率分布与抽样分布 计算题： 1.某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为，，，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。试求这种零件的次品率。 2. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。 3. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？ 4. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。 5. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于。 6. 某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少？（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？ 7. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。假设这个花费的标准差是15美元，并且AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49个4口之家，并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。⑴ 描述x（样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费）的抽样分布。特别说明x服从怎样 的分布以及x的均值和方差是什么？证明你的回答；⑵对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率呢？在209美元和217美元之间的概率呢？ 解： a. 正态分布, 213, b. , ,
概率论与数理统计期末复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布： （1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为 12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<<， 则称X 服从 12 ,x x 处参数为p 的两点分布。 两点分布的概率分布：12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<< 两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式 {}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =- （3）泊松分布： 若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>=，则称X 服从参 数为λ的泊松分布，记为X~P (λ) 泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>= 泊松分布的期望： ()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ= 4.连续型随机变量： 如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，有 (){}()x F x P X x f t dt -∞ =≤=? ，则称X 为连续型随机变量，称 ()f x 为X 的概率密度函数， 简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：
样本及抽样分布讲解学习
样本及抽样分布
第六章样本及抽样分布 【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布， F分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】4学时 【授课内容】 §6.0 前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§6.1 随机样本 一、总体与样本 1.总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。 定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。 我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。 例1：考察一块试验田中小麦穗的重量：
习题六样本及抽样分布解答
习题六样本及抽样分布 解答 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体X 的一个样本观察值为：，，，，，则样本均值 = ，样本方差 =22.716； 2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = ； 3． 设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N σ (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则 (940)P X <= ； 4．设127,,...,X X X 为总体2 ~(0,0.5)X N 的一个样本，则7 21 (4)i i P X =>=∑ ； 5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里， 22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ； 6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与 129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y 的简单随机样本，则统计量 U = 服从参数为 9 的 t 分布。 7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且 22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量Y 服从2 χ分布，其自由度为 2 ；
8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单 随机样本，则随机变量 22 110 22 1115...2(...) X X Y X X ++=++服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量2 1 ~()(1),,X t n n Y X >= 则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1()P X A >= 11若n ξξ,,1 是取自正态总体),(2 σμN 的一个样本，则∑==n i i n 1 1ξξ服 从 。 12样本),,(1n X X 的函数),,(1n X X f 称为 ，其中 ),,(1n X X f 不含未知参数。 13设总体X 服从),(2σμN ，X 和2S 分别为来自总体X 的样本容量为n 的 样本均值和方差，则 2 1 2 )(σ ∑=-n i i X X ～ ， 2 2 )1(σ S n -～ 。 14 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和 91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量2 92191Y Y X X U ++++= 服从 分布。t (9) 15 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和 91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量 2 9 2 12 921Y Y X X V ++++= 服从 分布。F(9,9) 二、选择题