北京市东城区高三一模数学(理)试题及答案

东城区2010-2011学年度综合练习（一）

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）“2x >”是“2

4x >”的

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于

（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45

（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，

则函数()f x 的大致图像为

（A ）

（B ）

（C ） （D ） （4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r ，且AB AC mAP +=u u u r u u u r u u u r

，

那么实数m 的值为

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤

（6）已知(,)2απ∈π,1

tan()47

απ+

=,那么ααcos sin +的值为 （A ）51- （B ）57

（C ）57

-

（D ）4

3 （7）已知函数31

)2

1()(x x f x

-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是

（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)3

2,21( （D ）)1,3

2(

（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫

做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，

γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则

点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是

（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）3

40 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率

A

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）如果2(i)(1i)m m ++是实数,那么实数m = ． （10）已知曲线C 的参数方程为2cos ,

sin x y θθ

=+??

=?（θ为参数），则曲线上C 的点到直线

3440x y -+=的距离的最大值为 ．

（11）从某地高中男生中随机抽取100名同学，

将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为 kg ；若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 ．

（12）如图，已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线的长为 ．

（13）过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60o 的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点

（点A 在x 轴上方），

AF BF

= ．

（14）已知数列{}n a 满足：11a =，22a =，33a =，44a =，55a =，且当n ≥5时，

1121n n a a a a +=-L ，若数列{}

n b 满足对任意

*

N n ∈，有

222

1212n n n b a a a a a a =----L L ，则b 5= ；当n ≥5时，

=n b ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B

a A

-=

． （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若25a =，求△ABC 面积的最大值．

（16）（本小题共14分）

已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=o

，2AB PB PD ===，3PC =，

AC 与BD 交于O 点，E ，H 分别为PA ，OC 的中点．

（Ⅰ）求证：EC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD ；

（Ⅲ）求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．

（17）（本小题共13分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为

，乙、丙面试合格的概率都是

，且面试是否合格互不影响．

（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．

O

E

C

A

B

D

P

H

（18）（本小题共13分）

已知函数2

()ln ,()x

x f x x x g x e e

==

-． （Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；

（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．

(19) （本小题共13分）

已知椭圆22221(0)y x a b a b

+=>>的离心率为2

2，且两个焦点和短轴的一个端点是一

个等腰三角形的顶点．斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）试用

表示△MPQ 的面积，并求面积的最大值．

(20) （本小题共14分）

对于)2(≥∈n n *

N ，定义一个如下数阵：

????

??

?

??=nn n n n n nn a a a a a a a a a A Λ

ΛΛΛΛΛΛ

21

22221

112

11 其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，

0=ij a ．设nj j j n

i ij a a a a j t +++==∑=Λ211

)(．

（Ⅰ）当6=n 时，试写出数阵66A 并计算

∑=6

1

)(j j t ；

（Ⅱ）若][x 表示不超过x 的最大整数，求证：

∑=n j j t 1

)(∑==n

i i

n

1

][

；

（Ⅲ）若∑==n

j j t n n f 1

)(1)(，dx x n g n ?=11)(，求证：()1()()1g n f n g n -<<+．

东城区2010-2011学年度综合练习（一） 高三数学参考答案 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）B （3）A （4）C （5）C （6）B （7）B （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9） 1- （10）3 （11）5.64

3

2

（12）15 （13）3

（14）65 n -70

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为

2cos cos c b B

a A

-=

， 所以(2)cos cos c b A a B -?=?

由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -?=?． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ?-?=?． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ?=+=． 在△ABC 中，sin 0C ≠． 所以1cos 2A =

，3

A π

∠=．

（Ⅱ）由余弦定理2221

cos 22

b c a A bc +-=

=，a = 所以2

2

20220b c bc bc +-=≥-

所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ．

所以三角形的面积1

sin 2

S bc A =

≤．

所以三角形面积的最大值为．

（16）（共14分）

（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点， 所以EO ∥PC ．

又EO ?平面BDE ,PC ?平面BDE ． 所以PC ∥平面BDE ． （Ⅱ）证明：连结OP ， 因为PB PD =，

所以OP BD ⊥．

在菱形ABCD 中，BD AC ⊥， 又因为OP AC O =I ， 所以BD ⊥平面PAC ． 又PH ?平面PAC ， 所以BD ⊥PH ．

在直角三角形POB 中，1OB =，2PB =， 所以3OP =

又3PC =，H 为OC 的中点， 所以PH OC ⊥． 又因为BD OC O =I 所以PH ⊥平面ABCD ．

（Ⅲ）解：过点O 作OZ ∥PH ，所以OZ ⊥平面ABCD ．

如图，以O 为原点，OA ，OB ，OZ 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系． 可得，3,0,0)A ，(0,1,0)B ，(3,0,0)C ，

33()22P -

，33

)44

E ． 所以(3,1,0)AB =u u u r ，333

(,0,)22AP =-u u u r ， 533

()4

CE =u u u r ．

设(,,)x y z =n 是平面PAB 的一个法向量，则

00

AB AP ??=?

??=??u u u r u u u r n n ，即30

333

022

x y x z ?+=??-+=??， O

E

C

D

B A P

H

令1x =，则(1,3,3)=n ． 设直线CE 与平面PAB 所成的角为θ，

可得4

sin cos ,7

n CE ==u u u r θ〈〉．

所以直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值为

4

7

． （17）（共13分）

解：（Ⅰ）用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，

且

.

至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝

=

=

∴的分布列是

1

2

3

的期望

（18）（共13分）

（Ⅰ）解：由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+．

当1

(0,),()0,()x f x f x e

'∈<单调递减， 当1(,),()0,()x f x f x e

'∈+∞>单调递增. 所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增， 又(1)0f =，

所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞在1

x e

=

时取得最小值， 又11()f e

e =-

， 可知1

()f m e ≥-．

由2()x x g x e e =-，可得1'()x x

g x e

-=．

所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增， 当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减. 所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，

又1(1)g e

=-

， 可知1()g n e

≤-

， 所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）依题意可得，

2

2

=a c ，c b =， 又2

2

2

c b a +=，

可得1,b a ==

所以椭圆方程为2

212

y x +=． （Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，

由221,1,2

y kx y x =+???+=??可得22(2)210k x kx ++-=．

设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12222k x x k -+=

+，122

1

2

x x k =-+． 可得12122

4

()22

y y k x x k +=++=

+． 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为22

2

(,)22

k k k -++， 由题意有1-=?k k MN ，

可得

222

212m k k k k -

+?=-+． 可得21

2

m k =

+， 又0k ≠， 所以102

m <<

． （Ⅲ）设椭圆上焦点为F ，

则121

2

MPQ S FM x x ?=

??-

. 12x x -==

由212m k =

+，可得2

12k m

+=．

所以12x x -=

= 又1FM m =-，

所以MPQ S ?=

所以△MPQ 的面积为3)1(2m m -（2

10<

)1()(m m m f -=， 则)41()1()('2m m m f --=．

可知)(m f 在区间)41,0(单调递增，在区间)2

1,41(单调递减． 所以，当41=

m 时，)(m f 有最大值64

27)41(=f ． 所以，当4

1

=

m 时，△MPQ 的面积有最大值863．

（20）（共1４分）

（Ⅰ）解：依题意可得，

??????

??

?

?

?

?=100000010000001000100100

101010111111

66A ．

14423221)(6

1

=+++++=∑=j j t ．

（Ⅱ）解：由题意可知，)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和， 因此

∑=n

j j t 1

)(是数阵nn

A

所有数的和．

而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加．

对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i i

n ][．

因此数阵nn A 的第i 行中有][i n 个１，其余是0，即第i 行的和为][i

n ． 所以

∑=n j j t 1

)(∑==n

i i

n 1

][

． （Ⅲ）证明：由][x 的定义可知，

i

n i n i n ≤<-][1， 所以∑∑∑===≤<-n

i n i n

i i n

i n n i n 111][．

所以∑∑==≤<-n

i n

i i

n f i 111

)(11．

考查定积分

dx x

n

?

1

1

， 将区间],1[n 分成1-n 等分，则

dx x n

?

1

1

的不足近似值为∑=n

i i

21，

dx x n

?

1

1

的过剩近似值为∑-=1

11n i i ． 所以∑=n

i i 21dx x n ?<11∑-=<111

n i i ．

所以111-∑=n

i i

)(n g <∑=

i i 11

．

所以<-1)(n g ∑=<-n

i n f i 1)(11<≤∑=n

i i

11

1)(+n g ．

所以()1()()1g n f n g n -<<+．