函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质

主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]：

【教材与学情分析】

学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。

[教学目标]：

[教学重难点]：

1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性

的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 [课的类型、教具、教法、教时]：

第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

【教学目标】

1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】

教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题

1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

○

1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○

2 能否看出函数的最大、最小值？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1．f(x) = x

○

1

从左至右图象上升还是下降 ______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．

2．f(x) = -2x+1

○

1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x 的增

大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○

1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○

2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．

二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：

○

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○

2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量的值x 1，x 2；当x 1

如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

○

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．

（二）典型例题

例1．（教材P 29例1）根据函数图象说明函数的单调性． 解：（略）

巩固练习：课本P 32练习第3题 例2．（教材P 29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性． 解：（略） 巩固练习：

○

1 课本P 32练习第4题；

○

2 证明函数1

y x

x 在（1，+∞）上为增函数． 思考：画出反比例函数1

y x

的图象．

○

1 这个函数的定义域是什么？ ○

2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论． 三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置

课本P 39 习题1．3（A 组） 第1、2

题．

五、教学反思：利用定义证明函数的单调性的变形过程是难点。

第2课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

【教学目标】

1．理解函数的最大（小）值及其几何意义； 2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

【教学重难点】

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

【教学过程】 一、引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○

1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○

2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）()23f x x

（2）()23f x x [1,2]x

（3）2

()

21f x x x

（4）2

()

21f x x x

[0,2]x

二、新课教学

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动） 注意：

○

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○

2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

（二）典型例题

例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料，

如果矩形一边长为x ，面积为y

试将y 表示成x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？ 例2．（新题讲解）

旅 馆 定 价

一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160)x 元

时，住房率为(55

10)%20

x

，于是得 y =150·(160)x ·(55

10)%20

x

． 由于(5510)%20

x

≤1，可知0≤x ≤90．

因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题． 将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．

由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是

160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）． 所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例3．（教材P 31例4）求函数21

y

x

在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：（略）

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式． 巩固练习：（教材P 32练习5） 三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

25

取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置

课本P 39 习题1．3 A 组 第5题． B 组 第1题 五、教学反思：函数单调性可以从三个方面理解：（1）图形刻画：函数图象在给定区间从左向右连续上升则函数是增函数。（2）定性刻画：函数在给定区间y 随x 的增大而增大，则是函数是增函数，y 随x 的增大而减小，则函数是减函数（3）定量刻画：利用定义证明。

第3课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（3）

【教学目标】

1．通过习题训练进一步理解函数的单调性和最大（小）值及其几何意义； 2．运用函数图象理解和研究函数的性质； 【教学重难点】

教学重点：函数的单调性和最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 【教学过程】 一、复习回顾：

1．证明函数单调性的步骤：

① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．

2．求函数单调区间的方法：根据图象判断。 3．求函数最大（小）值的方法；

① 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ② 利用图象求函数的最大（小）值 ③ 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

二、习题训练：(学生训练, 提问学生，先学生讲评，后教师点评) 1．函数2

6y

x x 的单调递减区间是___(,3]__________.

2.定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有()()0,f a f b a b

则必有( C )

A.函数f(x)先增后减

B. 函数f(x)先减后增

C.函数f(x)是R 上的增函数

D. 函数f(x)是R 上的减函数 3.下列说法中正确的有( A ) ①若121212,,()(),()x x l x x f x f x y

f x l 当时，则在上是增函数；

②函数2y

x 在R 上是增函数;

③函数1

y x

在定义域上是增函数; ④1

y

x

的单调区间是(,0)(0,

).

A.0个

B.1个

C. 2个

D.3个 4.若函数(0)k y

k x

在[2,4]上的最小值为5,则k 的值为___20___. 5.判断函数()f x x

x 在区间[1,

)上的单调性.（减函数）

6. 判断函数3

()

3f x x x 在R 上的单调性..（增函数）

7.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)

x

）

三、易错点反思：（提问学生做错的原因）

四、教学反思：利用函数的单调性求函数的最大（小）值。学生对最大（小）值概念的理解往往忽视定义域的限制。

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