高考考点平面向量的数量积

考点16 平面向量的数量积

【高考再现】

热点一平面向量的数量积

1.(2012年高考天津卷理科7)已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，

设点P ，Q 满足=AP AB λu u u r u u u r

，=(1)AQ AC λ-u u u r u u u r ，R λ∈，若3

BQ CP ?-u u u r u u u r ，则=λ( )

（A ）

（Ｂ）122± （Ｃ）1102± （Ｄ）3222-±

2. (2012年高考湖南卷理科7)在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC u u u r u u u r

g = 1则BC=( )

A.3

B.7

C.22

D.23

3.(2012年高考陕西卷文科7)设向量a r =（1.cos θ）与b r

=（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ

等于（） 2 B 1

C .0 D.-1 【答案】C

【解析】22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴?=∴-+=∴=-=r r r r

Q 正确的是C.

4．(2012年高考北京卷理科13)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，

则CB DE ?的值为________， DC DE ?的最大值为______.

5. (2012年高考浙江卷文科15)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则

AB AC ?u u u r u u u r

=________.

6.（2012年高考江苏卷9）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，点E 为BC 的中点，

点F 在边CD 上，若2AB AF =u u u r u u u r g AE BF u u u r u u u r

g 的值是．

7.(2012年高考浙江卷理科15)在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ?u u u r u u u r

＝______________．

8．(2012年高考上海卷理科12)在平行四边形ABCD 中，3

∠A ，边AB 、AD 的长分

别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD |

|CD BC =

AM ?的取值范围是 . 【答案】[]5,2

【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如

图所示，因为1,2==AD AB ，所以 5

1(0,0),(2,0),(,1)(,1).2

A B C D

设

1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).

22224284423

N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)8

3235,4821(

),1,(x x AM x AN --==→

→

. 所以83235)4821(x x x AN AM -+-=?→

→

???

??≤≤252

1x ，所以2 5.AM AN →→≤?≤

9. (2012年高考湖南卷文科15)如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC u u u v u u u v

g = .

【方法总结】

1.当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．

2.求向量的数量积的公式有两个：一是定义式a ?b ＝cos a b θr r

；二是坐标式

a b ?=r r

1212x x y y +.定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，

夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.

热点二平面向量的模

1.(2012年高考重庆卷理科6)设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ，且

c b c a //,⊥，则||a b +=r r

( )

（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）10

2.(2012年高考安徽卷理科14)若平面向量,a b r r

满足：23a b -≤r r ；则a b r r g

的最小值_____

3.(2012年高考新课标全国卷理科13)已知向量,a b r r 夹角为45?

，且1,210a a b =-=r r r ；则_____b =r

【答案】32【解析】22210(2)1044cos 451032a b a b b b b ?

-=?-=?+-=?=r r r r r r r

【方法总结】

高考对平面向量的模的考查，常以小题形式出现，属中档题，常考查类型：①把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解．②不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.

热点三平面向量的夹角

1.(2012年高考广东卷文科10) 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=

??o αβ

αβββ

. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ??

∈

?，且o a b 和o b a 都在集合2

n n ??

∈????Z 中，则=o a b

52 B. 32 C. 1 D. 12

2. (2012年高考湖北卷文科13)已知向量a r =（1,0），b r =（1,1），则（Ⅰ）与2a b +r r

同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量3b a -r r 与向量a r

夹角的余弦值为____________。

【方法总结】

高考对平面向量夹角的考查，常以小题形式出现，属中档题．有时也在大题中出现，属中档题．两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查，

常见类型：①依条件等式，运算求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围；②依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解．【考点剖析】

一．明确要求

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，

二．命题方向

三．规律总结

一个条件

两个向量垂直的充要条件：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

两个探究

(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？

(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？

三个防范

【基础练习】

1．(人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π4

解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π

答案 C

3. (经典习题)已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )．

A ．9

B ．4

C ．0

D ．－4

4. (经典习题)在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)

＝________.

[审题视点] 由M 是BC 的中点，得PB

→＋PC →＝2PM →. 解析如图，因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，

所以P A →·(PB

→＋PC →)

＝P A →·2PM →＝－4|PM →

|2＝－49|AM →|2＝－49，故填－49. 答案－49

5.已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．

【名校模拟】

一．基础扎实

1.(北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）理)若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )

（A ）

2π （B ）23π （C ）34π （D ）56

2.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理)O 的半径为3，直径AB 上一点D 使

3AB AD =u u u r u u u r ，E F 、为另一直径的两个端点，则DE DF ?=u u u r u u u r

A.3-

B.4-

C.6-

D.8-

【答案】D

【解析】 ()()DE DF DO OE DO OF ?=+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

()()198DO OE DO OE =+?-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r

.故选D.

4.(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)在边长为6的正ABC ?中，点M 满足,2MA BM =则CB CM ?等于（）

6.A 12.B 18.C 24.D

5.(2012云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知01a =r （，），34)b =-r

（，，则向

量a r 在向量b r

方向上的投影等于

（A ）4- （B ）45-

（C ）4

（D ）4

6.（湖北黄冈2012高三五月模拟考试文）已知向量(2,1)a =-r

,10a b ?=r r ,5a b -=r r ,则b =

r （）

A ．20 B. 40 C. 210 D. 25

【答案】D

【解析】

()25 a b a b a a b b

-=-=-?+=

r r

r r r r r r

，解得25

7.(东城区普通高中示范校高三综合练习(二) （文）)

已知向量a,b的夹角为60o,2

a,3

b,则2-=

a b .

【答案】13

【解析】

2222

244423423cos6013

a b a b a b

-=+-=?+-????=

r r r r r r

8.（北京2011—2012学年度第二学期高三综合练习（二）文）若向量(1,0)

a，向量(1,1)

b，则a-b= ，a-b与b的夹角为．

【答案】(0,1)

【解析】||1

a b

r r

，||2

，()101(1)1

a b b

-?=?+?-=-

r r r

，

()12

cos

||||12

a b b

-?-

===-

-??

r r r

二．能力拔高

9.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)在△ABC中，2

AB=

u u u r

，3

AC=

u u u r

，0

AB AC

u u u r u u u r

，且△ABC的面积为

，则BAC

∠等于

A．60o或120o B．120o C．150o D．30o或150o 10.(唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试文) 在ABC

?中，60,2,3,

BAC AB AC

∠===

，则AB BC BC CA CA AB

?+?+?=

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

(A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4

11.(中原六校联谊2012年高三第一次联考理)如图，在平面四边形ABCD 中，若AC=3，BD=2

则（)()AB DC AC BD +?+u u u r u u u r u u u r u u u r =

A ．-5

B ．0

C ．4

D ．5

12.（2012理科数学试卷）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r

，||||OA AB =u u u r u u u r

，则CA CB ?u u u r u u u r 的值是

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 【答案】A

【解析】仔细分析式子：20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r

，易得△ABC 位直角三角形，且A 为直

角，又||||OA AB =u u u r u u u r

，故C =30°．

由此3AC =，2BC =，cos303CA CB CA CB ?=??=o

u u u r u u u r ．

13． (湖北武汉2012毕业生五月供题训练（三）文)函数y=tan(

x π

的部分图象如图

所示，则（OB OA OB -?u u u r u u u r u u u r

A ．-4

B ．4

C ．-2

D ．2

14. (湖北八校文2012届高三第二次联考)已知⊙2

:4O x y +=及点A （1,3），BC 为O e 的

任意一条直径，则AB AC ?u u u r u u u r

＝（）

A.6

B.5

C.4

D.不确定

答案：A

解析：由题意得2

()()AB AC OB OA OC OA OB OC OB OA OA OC OA ?=--=?-?-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

22cos cos cos 10OB OA AOB OA OC AOC π=?-∠-∠+u u u r u u u r u u u r u u u r

又cos cos AOB AOC π∠=-∠，所以4106AB AC ?=-+=u u u r u u u r

，故选A 。三．提升自我

15.(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)在面积为2的ABC ?中，

F E ,分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2

BC PB PC +?的最小值是

A ．2

B ．22

C ．3

D ．32

16.【2011学年浙江省第二次五校联考理】设1AB =u u u r ，若2CA CB =u u u r u u u r ，则CA CB ?u u u r u u u r

的最大值为（A ）13

（B ）2 （C ）

852

+ （D ） 3

17.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）在ABC

?中, 已知向量cos18,cos 72AB =o o u u u r （）, 2cos 63,2cos 27BC =o o u u u r （）

, 则ABC ?的面积为 ( ) A 2 B 2 C 3

D 2 答案：A 解析：

cos18,cos 72=(cos18,sin18)AB =o o o o

u u u r （）,(2cos 63,2cos 27)=(2cos63,2sin63)BC =o o o o u u u r

=1AB ∴u u u r ,

2cos18cos 632sin18sin 6322,cos cos(1863)1231122

,sin 12422ABC BA BC BC B BA BC B S BA BC B π??--===

=--=??∴=∴=?=??=o o o o o o u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 18.(河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试文)在△ABC 中，

（3),AB AC CB -⊥u u u r u u u r u u u r

则角A 的最大值为。

【原创预测】

1．设,),4,2(),1,(Z k AC k AB ∈==若ABC AB ?≤,4是直角三角形，则k 可取值的个数是（）

A.1

B.2

C. 3

D.4

2.若有不同的三点C B A ,,满足()()()

()5:4:3::-=???BC AB AB CA CA BC 则这三点（）

A ．组成锐角三角形

B ．组成直角三角形

C ．组成钝角三角形

D ．在同一条直线上答案：C

解析：由题意得，cos()BC CA ab C π?=-u u u r u u u r ，cos()CA AB bc A π?=-u u u r u u u r

，

cos()AB BC ca B π?=-u u u r u u u r

，又BC CA ?u u u r u u u r ：CA AB ?u u u r u u u r ：AB BC ?u u u r u u u r =3:4:5-，

则()cos 002

B B B π

πππ->?<-

<<，所以此三角形为钝角三角形，故选C 。

高考考点 平面向量的数量积

高考考点平面向量的数量积