偏微分方程的读书报告

读书报告

——————读王明新《非线性椭圆型方程》

此书系统地介绍了二阶线性椭圆算子的特征值理论，半线性椭圆型方程和方程组的上下解方法及其应用，拓扑度理论和分支理论及其应用，方程组的解耦方法，Nehari 流形方法及其应用，p -Laplace 算子的特征值理论和p -Laplace 方程（组）的上下解方法及其应用。本书选题先讲，内容新颖丰富，大部分内容取自同行近几年发表的论文（最新的内容是2009年发表的）。由于我是入学后才读此书，我只读了其中的部分内容，这里我只对前六章的内容写个读书笔记。书中罗列了同行近几年发表的论文，对读者来说，有难度，同样也是训练读者查参考文献的能力。

此书的第一章内容是介绍后面要用到的相关的预备知识。第一节，书上对于Banach 空间，引入了Fr ′echet 导数和G ?ateaux 导数（以下简称为F 导数和G 导数）。

定义（F 导数） 称f 在点Ω∈0x 处是F 可微的，如果存在有界线性算子()Y X L A ,∈，使得

()()r Au x f u x f 0)(

00=--+当0→=r u 时.

算子A 成为f 在0x 处的F 导数.

定义（G 导数） 设.,:0Ω∈→?Ωx Y X f .对任意的,X h ∈当t 适当小时都有

Ω∈+th x 0，并且极限

()()

t

x f th x f t 000

lim

-+→

存在，则称f 在0x 处G 导，称其极限是f 在0x 处沿方向h 的G 微分，记为()h x f G 0. 并且给出了两者之间的联系：

.导导导连续

G F G ???→← 由定义我们可以看出，F 导比G 导难求。利用这个关系，在求算子的F 导数的时候，我们可

以转化为求G 导，然后只需证明求得的G 导是连续的，利用上面的关系，就知道，我们所求得的G 导就是F 导，这样，我们就把复杂的难于求的F 导转化为易求的G 导。而本书中后面多次提到了求F 导数。第二节介绍了无条件局部极值的定义、存在性和必要性。这一节的内容类似与微积分中学过的一元或是二元函数的局部极值的定义和费马定理，学习的时候结合 内容记忆起来方便。第三节介绍了在拟线性方程的边值的非负非平凡解的存在性方面的一个

应用，前面讲到的知识在例子中多次被用到。

第二章主要介绍二阶线性椭圆算子的特征值问题。我以前读过叶其孝编写的《反应扩散方程》中有介绍二阶线性椭圆的特征值问题，内容较少，篇幅不多，而这本书中较大篇幅的介绍了二阶线性椭圆的特征值问题，并且内容也比较丰富，可以说是这方面内容的经典汇总。然而，对于二阶线性椭圆的特征值问题，到目前为止，只是第一特征值的研究比较全面，至于第二特征值以及再高的特征值的研究很贫乏，这方面可作的东西非常多，也可以说是对我们读者来说的一个指引作用。书中先介绍了一般形式的二阶线性椭圆算子的特征值问题：

()()()??

??

?

Ω?∈=Ω

∈=++-=∑∑==x Bu x u u x c u D x b u D x a Lu i n

i i ij n j i ij ,0,11,λ 这里的0=Bu 指的是Dirichlet 边值条件、Neumann 边值条件和Robin 边值条件。

假设（A ）L 是一致椭圆的；

（B ）()()()()

Ω∈C x c x b x a i ij ,,.

由于此类算子的特征值结构非常复杂，书中介绍的主要是主特征值的内容，相关的结论是：上述的特征值问题有唯一的主特征值，与它对应的特征函数在Ω内是正的或者负的；其余的非主特征值对应的特征函数如果是实函数，那么它一定在Ω内改变符号；并且特征值的个数是可数个： ,..,21n λλλ。

还有几个重要的结论： 1. 假设()0≥x c ，1λ是特征值问题

()()()??

?

?

?Ω?∈=+??Ω

∈=+?-x u x b u x a x u u x c u ,0,νλ 的主特征值，并且还是实的和简单的，其中

（Ⅰ）()(),0,0≡≡x b x a 或者（Ⅱ）()().0,1≥≡x b x a

如果()0≠x c 或者()0≠x b ，则01>λ.如果()()0≡≡x b x c ，则.01=λ 2.设()

Ω∈C q ，k 是一个常数。如果存在正函数?，使得

()()??

?Ω

?∈=Ω

∈≤≥+?-x x ku x q ,0,???

则()().1k q ≤≥λ进一步，如果上式不是恒等式，则()().1k q <>λ

其次是考虑的散度型的二阶线性椭圆算子的特征值问题：

()()??

??

?

Ω?∈=Ω

∈=+-=∑=x Bu x u u x q u D x a D Lu i n

j i ij j ,0,)(1,λ 假设

（A ）L 是一致椭圆的；

（B ）()()()()

()().,,1Ω?∈Ω∈Ω∈C x b C x q C x a ij

由于此算子是对称算子，故它的特征值的具有非常清晰的结构。 相关的结论有： （1）特征值全是实数；

（2）不同的特征值所对应的特征函数是正交的； （3）特征值的极小原理和极大-极小原理； （4）特征值是无界的，即∞=∞

→k k λlim ；

（5）特征函数系是()Ω2L 中的一个完备正交系；

（6）特征值的变化（特征值关于)(x q 是单调增加的，Dirichlet 边值问题的特征值关于区域是单调减少的）；

（7）特征值连续依赖于系数()()()x b x q x a ij ,,； （8）若()

Ω∈C x q )(，k 为常数，()q m λ是问题

()?

?

?Ω?∈=Ω

∈=+?-x u x u u x q u ,0,λ 的第m 个特征值，则()()k q k q m m +=+λλ；

（9）非完全耦合的二阶线性椭圆方程组的特征值问题： 设()Ω∈α

C

c ，算子()(),)(1

,x a D x a

D M i n

j i ij

j

+-=∑=()()x b D x a D N i n

j i ij j +-=∑=)(1

,都是

区域Ω上的一致椭圆算子，特征值分别记为{}∞

=1i i ξ和{}∞

=1i i η，系数()

Ω∈α

C b a b a ij ij ,,,.定

义???

?

??+=????

??Nv v x c Mu v u L )(，则算子L 的谱仅由特征值构成，并且()=L σ{}∞=1i i ξ?{}∞

=1i i η； （10）Poincare 不等式：（与Sobolev 空间的Poincare 不等式对比记忆）

（ⅰ）记01>λ是算子?-在Ω上带有齐次Dirichlet 边界条件的第一特征值，则

(),,1

1

2

21

22

Ω∈?≤

H u Du u

λ 并且

1

1

λ是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。

（ⅱ）记02>λ是算子?-在Ω上带有齐次Neumann 边界条件的第二个特征值，则

(),0,

,1

12

22

22

=??Ω∈??≤

-Ω

?Ω

ν

λu H u u u u

并且

2

1

λ是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。

补充：(Bessel 不等式)

设X 是一个内积空间，如果{}

Λ∈=ααe S 是X 中的正交规范基，那么X x ∈?,有

()

2

2

,x e x ≤∑Λ

∈αα.

研究特征值问题的意义目前主要在于研究主特征值，因为主特征值所对应的特征函数在整个定义域内不改变符号，即恒正或是恒负，这对于后面要讲的生态模型的正共存解的存在性起到关键的作用，这也是本书中在讲共存解时多次采用的方法，这也给读者在研究问题的时候提供了一种很有用的方法。

第三章介绍了椭圆型方程的上下解方法（利用上下解得到解的存在性的方法称为上下解方法），此法是研究非线性偏微分方程的一种重要方法。对于一个非线性偏微分方程的定解问题，只要比较原理成立，都可以利用上下解方法来处理。上下解方法非常简单初等，结构又非常深刻。这种方法即给出了解的存在性，又给出了解的估计。但此法也有困难的地方，那就是构造合适的上下解。下面先给出一个一般形式的比较原理，然后依次给出方程式和方程组的上下解方法，最后结合叶其孝编写的《反应扩散方程》总结一下构造上下解的方法。

（比较原理）假设Ω是n

?中的一个有界区域，()Ω∈∞

L x )(η，函数()x q 在Ω内非负连续，

常数]1,0(∈α，非负函数()].0()(∞∈C s g .又设函数()Ω∈1

21,C u u 并且在Ω内是正的，

在分布意义下满足

()()()()222111)(0)(u g x q u x u u g x q u x u +-?-≥≥+-?-α

αηη，

在边界附件满足

()

0sup lim 1112

),(≤-++→Ω?α

αu u x d . 如果（1）当10<<α时，函数

()

α

s

s g 关于{}{}??

? ??

∈Ω

Ω

2121,sup ,,inf u u u u s 单调不减；

（2）当1=α时，()x q 是非负非平凡的连续函数，

()

α

s

s g 关于{}{}??

? ??∈Ω

Ω

2121,sup ,,inf u u u u s 严格单增，

则21u u ≥在Ω内恒成立。

注：由上面的比较原理，得边值问题

()()()?

?

?Ω?∈=Ω

∈=+-?-x x u x u g x q u x u ,,0)(?ηα 有唯一的正解。

下面具体来总结一下方程式的上下解方法。先对拟线性方程，利用不动点定理证明：如果所讨论的问题具有有序的上下解，那么它在上下解之间一定有解；其次对半线性方程，借助有序上下解构造单调迭代序列，进而得到位于上下解之间的最大解和最小解的存在性。

设Ω是n

?中的一个有界区域，边界α

+∈Ω?2C

，算子c D b D a

L i n

i i ij n

j i ij

++-

=∑∑==1

1

,

在Ω上是一致椭圆算子，系数属于()

Ωα

C .边界算子,ν

??+=u

b

au Bu 其中()Ω?∈+α1,C b a 都是非负函数，并且0)()(>+x b x a .考虑下面的边值问题

()??

??

?

Ω?∈=Ω

∈=++-=∑∑==x Bu x Du u x f cu u D b u D a Lu i n

i i ij n j i ij ,,,,11,φ 定义（上下解）函数()

()ΩΩ∈2

1,C C u u 分别称为上述问题的上下解，如果

()

????

?Ω?∈≥Ω

∈≥x u B x u D u x f u L ,

,,,φ

()??

?Ω?∈≤Ω

∈≥x u B x u D u x f u L ,

,,,φ 若边界条件是u Bu =，那么上下解的光滑性条件可以减弱为()

()ΩΩ∈2

,C C u u .

定理：假设在Ω?上()0>x a ，函数u u ,为上述边值问题的上下解，并且满足u u ≥。记

u c Ω

=min ，u c Ω

=max 。又设()η,,u x f 关于Ω∈x ，[]

u u u ,∈以及n ?∈η满足Nagumo

条件，即存在连续函数+

+→R R :ψ,使得

()()()

[]

n u u u x u u x f ?∈∈Ω∈?+≤ηηψη,,,,1,,2

.

那么上述边值问题存在解u ，并且满足

,,N Du

u u u ≤≤≤∞

其中N 是依赖于L u u ,,,ψ的系数的Nagumo 常数.

此定理的意义在于判断椭圆型方程解的存在性。同样，对于椭圆型方程组也有类似的结果，这与抛物型方程的上下解方法是不一样的，抛物型方程的上下解方法在判断解的存在性的同时，还给出了解的唯一性。要注意椭圆型和抛物型方程的比较。

上下解的方法虽然简单初等，但是困难的是合理构造出上下解。结合叶其孝编写的《反应扩散方程》，现总结构造上下解的方法：常数上下解；常微分方程法；转化为偏微分方程法；利用第一特征值和特征函数等等。 课后习题中的重要结论：

研究边值问题

()()??

?Ω?∈=Ω

∈-=+?-x w x w x f kw w x q w ,

0,2 假定()

Ω∈C f q ,且在Ω上0>f ，k 是一个常数，则

（1） 如果上述问题有一个正的严格下解w ，则上述问题有唯一的正解w ，并且

().,1w w k q <<λ

（2） 如果()k q <1λ，则上述问题有唯一的正解.

书的第四章内容主要介绍了非线性泛函分析中的拓扑度理论和分支（也称为分歧，或分叉）理论，因为此理论也是研究椭圆型方程和方程组的边值问题的解的存在性的重要工具。

在书中，主要是介绍那些在椭圆型方程的应用中经常出现的有关拓扑度和分支理论的主要结果，可以看成是拓扑度和分支理论的速成。

先介绍了有限维空间的拓扑度（Brower 度）：

定义：（1）如果0y 是φ的一个正则值，定义φ在0y 处的拓扑度为

()()∑==Ωn

j j x J y d 1

0sgn ,,φφ，

其中φJ 为φJ 的行列式，j x 满足()

0y x j =φ.

（2）如果0y 是φ的一个临界值，存在正则值*

y ，满足ε<-*y y 。定义φ在0y 处的拓扑度为

()

**Ω=Ω=Ωy d y y ,,),,deg(),,deg(0φφφ.

基本性质：

（1） 同伦不变性； （2） 可加性； （3） 切除性； （4） 乘积性质； （5） 连续映射的度； （6） 边界性质；

（7） 复合映射的Leray 乘积；

再介绍Banach 空间上的拓扑度（Leray-Schauder 度）

定义：设X 是一个Banach 空间，X ?Ω是有界开集，X K →Ω:是紧的，K I -=φ，

()Ω??φ0y .εK 是K 的有限维逼近，εK 的像集属于有限维空间εN ()εN y ∈0，

εεφK I -= ，则

),,deg(),,deg(00y N y εεφφ Ω=Ω

性质与有限维空间的Brower 性质类似。特别地 （Leray-Schauder 定理）

()βεφφ)1()0,,deg(),(00-==-x B x I index ，

其中β是()0x K I T '-=的大于1的所有特征值的重数之和.

分支理论：考虑方程

其中1,≥∈p C f p

，()λ,x f 把点()R X ?∈0,0λ的某个邻域映入一个Banach 空间Y ，并且满足

()0,00=λf .

定义：点()0,0λ称为一个分支点，如果()0,0λ的任意邻域都包含方程()0,=λx f 的一个解

()λ,x 并且.0≠x

定理：2,≥∈p C f p

，()0,00=λf .又假设

（1）()0,00=λλf ；

（2）()0,0λx Nf 是一维的，由0x 生成； （3）()01,0λx Rf Y =的余维数是1； （4）()()10010,0,,0Y x f Y f x ?∈λλλλλ.

那么点()0,0λ是一个分支点，并且()0,=λx f 的解的集合在点()0,0λ的邻域内由两条只在

()0,0λ相交的2-p C 类曲线21,ΓΓ构成。

下面介绍一下椭圆型方程组解的稳定性与不动点指数的关系:

定义：记),,,(21m u u u u =，),,,(21m f f f f =.假设?

u 是边值问题

的解，其中

()m L L diag L ,,1 =，()m B B diag B ,,1 =.

i L 是散度型的二阶一致椭圆算子，系数有界，i Bu 为三种边界算子.

如果上述问题在?

u 的线性化特征值问题

?

?

?Ω?∈=Ω

∈+=?x Bv x v v u f D Lv u ,0,)(λ 的所有特征值λ的实部都大于零，则称?

u 是线性稳定的，否则，就称为不是线性稳定的。

(),0

f x λ=(),(1)

0,Lu f u x Bu x =∈Ω??

=∈?Ω

?

如果0=λ是线性化特征值问题的特征值，则称?

u 是退化的，否则就称为非退化的。 利用拓扑度方法研究（1）的解，通常是把它等价地转化为算子F 的不动点问题，其中

()()

()()Mu u f L M u F ++=-1

，

0>M 适当大，使得算子()1

-+L M 是紧的.

定理：如果?

u 是线性稳定的，那么

()

1,=?u F index .

最后一节内容是锥上的拓扑度理论。因为在椭圆型方程和方程组的齐次Dirichlet 边值问题的正解研究中，通常需要限制在正锥上来讨论，故引进锥上的拓扑度。 几个重要的定义:

定义：设E 是一个Banach 空间，E W ?称为一个楔，如果W 是一个非空闭凸集，并且对任意的0≥β，有W W ?β. 定义：对于W y ∈,

(){}

(){}

r t W tx y t s x r r E x W Rx y t s x r r E x W y ≤≤?∈+>=?∈=∈+>=?∈=0,..,0:..,0:

{}

y y y W x W x S ∈-∈=:.

定义：设y y W W T →:是紧线性算子，称T 具有α性质，如果存在()1,0∈t ，y y S W w \∈，使得y S tTw w ∈-.

定理：如果()y F I '-在y W 上可逆，那么

（1）若()y F '具有α性质，则()0,=y F index W ；

（2）若()y F '不具有α性质，则(),)1(,β

-=y F index W 其中β是()y F '的所有大于1的特

征值的重数之和。当()y F '不具有α性质，则()()y F index y F index W ,,=.

第五章是利用前面建立的分支理论和锥上的拓扑度理论，研究两个椭圆型方程组的齐次Dirichlet 边值问题正解的存在性、多解性、分支与稳定性。这两个例子分别是作者的发表的两篇文章。一个是带有修正的Holling Ⅱ型响应函数的捕食模型：

()()()()??

?

??Ω?∈==Ω∈+-=?-Ω∈--=?-x v u x v u duf v c v v x v u bvf u a u u ,0,,,, 其中v u ,分别表示食物和猎物的分布函数，函数

()()()

v u v u f βα++=

111

,，

并且所有的参数都是正常数。另一个是带有Holling Ⅱ型响应函数的捕食模型：

???

?

?????Ω?∈==Ω∈??? ??

+-

=?-Ω∈??? ??+--=?-x v u x u m mv b v v x mu v u a u u ,0,,1 其中m b a ,,都是正常数。

文中主要是讨论了上面两种捕食模型的共存解()v u ,()0,0>>v u 的存在性、多解性、分支与稳定性。两种模型采用的都是正锥上的拓扑度理论和分支理论。现在我自己对书中采用的方法做一下归纳：

要采用正锥拓扑度理论，必须要对所要讨论的问题做先验估计，估计出上下界，这是此法的前提条件，这个决定想采用锥上拓扑度理论研究问题时，在构造模型时必须注意，要使得所构造的模型有解的先验估计。比方说是上述问题讨论的正解，总是要先对正解做先验估计，估计出它的上下界，采用的方法是最大值原理、上下解方法和正解的唯一性等等。做出先验估计之后，然后做正锥，在正锥上讨论问题，找出问题的平凡正解和半平凡正解。将所要研究的问题转化为紧算子的不动点问题，利用锥上的拓扑度理论，求出每个平凡正解和半平凡正解的不动点指数（方法就是看看紧算子的导算子有没有α性质，利用前面的定理即可），然后利用拓扑度与不动点指数之间的关系（拓扑度等于不动点指数之和），来探讨共存解的存在性以及多解性。分支理论是严格按照分支定理来处理的，严格验证分支定理中的几条性质即可。正解的线性稳定性也是严格按照定义来处理，就是要证明所研究问题的线性化特征值问题的所有特征值的实部都是大于零即可。这里文章大部分采用的方法都是反证法，因为直接证不好证，所以采用反证法会使得问题好处理，并且中间的证明也多次用到第二章的特征值和特征函数的问题，这都是我从这本书中学到的思想，受益匪浅！

第六章讲的是图灵（Turing ）模式，结合两个具有代表性的例子，利用抽象的拓扑度理

论和先验估计，介绍Turing 模式的研究内容和方法。

我们知道，在采用拓扑度理论研究问题时，需要计算不动点指数，利用前面的结论，不动点指数的运算很麻烦，书中先给出一个简化不动点指数的定理： （定理）假设对所有的1≥i ，()0≠i H μ.那么

()(),1,~

r u F I index -=??

?

???-

其中()

∑<≥=

,1i

H

i i

m r μ, ~

u 是 ()()???

??Ω?∈=??Ω∈=?-x u

x u G u ,0,ν

? 的正常数解，u 是上述问题的正解当且仅当u 是紧算子

()()()()()[]

{}01

1

=+??+?--=--u u u u u G u I u u F T uu u

?? 的正解，()????

????? ??-??? ??????????? ??=-~~~1det det u G u u H u u u μ??μ,i μ是 ???

??Ω?∈=??Ω∈=?-x u

x u u ,0,ν

λ 的全部特征值，i m 是i μ的重数。

该定理把指数()???

???-~

,u F I index 的计算转化为判断多项式()μH 在i μμ=处的符号，

通过()μH 的表达式可以看出，为了计算()??

?

???-~

,u F I index ，只需要研究

???

?

????? ??-??? ??~~det u G u u u μ?的符号。

第二节介绍了一个具有约定机制的三种群模型：

()????

?

???

??????

?

??

++--=???? ??++-=????

??++-=212

1333213122

21321111u u u u u u dt du u u u u u dt du u u u u u dt du βγβα

判断出此方程存在正平衡态解当且仅当

βαγβ+>，

且正平衡态解??

?

??=~3~2~1~

,,u u u u 唯一存在，且

()

()()

()()().,1,11

221ββ

αβαββαγββαβββαγββα+=++-+=++-+=u u u 接着判断~

u 的全局渐进稳定性，采用的方法就是常微分方程中的Lyapunov-Laselle 不变原理,内容如下：

对于系统

构造()x V 满足以下条件： （1）()()()

x x x V x V ≠>=0,0； （2）()0

x V ；

则解x 是全局渐进稳定的。

后对方程进行改造，变成反应扩散方程：

()

(),0

x f x f x ?

==

()()()???????

?

??

????

???>≥=>Ω?∈=??=??=??>Ω∈???? ??++--=?->Ω∈???

?

??++-=?->Ω∈????

??++-=?-0,00,0,,

00,,10

,,0,,1032121213333

21312222132111t x u x u t x u u

u t x u u u u u u u dt du t x u u u u u u dt du t x u u u u u u dt du i i ννν

βγβα 进而判断~

u 也是它的正平衡态解，并且来判断它的全局渐进稳定性（先是局部渐进稳定，然后证明任意解()t x u i ,满足()0,lim ~

=-?∞

→i m i m u t u ），采用的方法也类似于常微分方程中的定

理，但是有所不同：

对于系统

()

0),(==?

x f x f x

它的线性化系统是

,)(x x Df x =?

如果)(x Df 的特征值的实部全负，则系统在x 处是局部渐进稳定的。

此书应该说是非线性椭圆型方程的一些浓缩的结论，仔细看完此书，对于读者来说，应该是可以具备一些独立做研究的功底。此书也提供了一些相关的论文，帮助读者做深一步的研究。看完前六章，我受益匪浅，真的是学到了以前在硕士阶段没有认识到的东西，内容很丰富，很深刻，值得学习。