人教版初中数学三角形易错题汇编

人教版初中数学三角形易错题汇编

一、选择题

1．如图，在ABC V 中，90C ∠=?，60CAB ∠=?，按以下步骤作图：

①分别以A ，B 为圆心，以大于12

AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．6B ．2

C ．43

D ．8 【答案】D

【解析】

【分析】

根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长．

【详解】

由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线，

∴AE ＝BE ，

∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°，

∴∠CBA ＝30°，

∴∠EAB ＝∠CAE ＝30°， ∴CE ＝

12

AE ＝4， ∴AE ＝8．

故选D ．

【点睛】 此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°是解题关键．

2．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（ ）

A．6

5

B．

8

5

C．

12

5

D．

24

5

【答案】D

【解析】

【分析】

连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．

【详解】

解：连接AD

∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，

∴AD⊥BC，BD=DC=6，

在Rt△ADB中，由勾股定理得：2222

1068

AB BD=+=，

∵S△ADB=1

2

×AD×BD＝

1

2

×AB×DE，

∴DE=

8624

105 AD BD

AB

??

==，

故选D．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．

3．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（）

A．16cm B．21cm 或 27cm C．21cm D．27cm

【答案】D

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【详解】

解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；

当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm ．

故选D ．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键．

4．如图，点O 是ABC ?的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM CB =，AN AB =，若100ABC ∠=?，则MON ∠=（ ）

A ．60?

B ．70?

C ．80?

D ．100?

【答案】C

【解析】

【分析】 根据题意，连接OA ，OB ，OC ，进而求得BOC MOC ???，AOB AON ???，即∠CBO =∠CMO ，∠OBA =∠ONA ，根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数.

【详解】

如图，连接OA ，OB ，OC ，

∵点O 是ABC ?的内心，

∴BCO MCO ∠=∠，

∵CM =CB ，OC =OC ，

∴()BOC MOC SAS ???，

∴CBO CMO ∠=∠，

同理可得：AOB AON ???，

∴ABO ANO ∠=∠，

∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=?，

∴100CMO ANO ∠+∠=?，

∴180()80MON CMO ANO ∠=?-∠+∠=?，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握

相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键.

5．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）

A．65°B．70°C．75°D．80°

【答案】D

【解析】

【分析】

由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠C＝∠1＝45°，

∵∠3是△CDE的一个外角，

∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b ∥c?a∥c．

6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【详解】

A 、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A 不正确；

B 、72+242=252，152+202≠242，故B 不正确；

C 、72+242=252，152+202=252，故C 正确；

D 、72+202≠252，242+152≠252，故D 不正确，

故选C ．

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．

7．（11·十堰）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．

解：根据图示可以得出：

①根据图示出水口之间存在不同，故此选项错误；

②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；

根据第二个出水口的出水量为：[（21+21）÷2+41]÷2+81=2

1，

第4个出水口的出水量为：[（

21+21）÷2+41]÷2+81=2

1， 故此选项正确； ③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；

根据第一个出水口的出水量为：

81，第二个出水口的出水量为：[（21+21）÷2+41]÷2+81=2

1， 第三个出水口的出水量为：

83+83=43， ∴1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；故此选项正确；

④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．

∵1号与5号出水量为

8

1，此处三角形材料损耗速度最慢，第一次分流后的水量为1（即净化塔最上面一个等腰直角三角形两直角边的水量为1），

∴净化塔最上面的三角形材料损耗最快， 故更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．

故此选项正确；

故正确的有3个．

故选：C ．

此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键．

8．如图，已知ABC ?，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】C

【解析】

【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．

【详解】

∵∠1=∠2，

∴AC ∥DE ，故①正确；

∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，

∴∠A=∠3，故②正确；

∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，

∴DE ⊥BC ，

∴∠DEC=∠CDB=90°，

∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，

∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；

∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，

∴∠ACB=∠CDA=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，

∴∠1=∠B ，故⑤正确；

即正确的个数是4个，

故选：C ．

【点睛】

此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．

9．如图，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝50°，∠D ＝35°，则∠OAC 等于( )

A ．65°

B ．95°

C ．45°

D ．85°

【答案】B

【解析】

【分析】 根据OA ＝OB ，OC ＝OD 证明△ODB ≌△OCA ，得到∠OAC=∠OBD ，再根据∠O ＝50°，∠D ＝35°即可得答案.

【详解】

解：OA ＝OB ，OC ＝OD ，

在△ODB 和△OCA 中，

OB OA BOD AOC OD OC =??∠=∠??=?

∴△ODB ≌△OCA （SAS ）,

∠OAC=∠OBD=180°-50°-35°=95°，

故B为答案.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

10．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）

A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm

【答案】C

【解析】

【分析】

筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.

【详解】

当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm

AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长

由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形

∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm

∴8cm≤h≤17cm

故选：C

【点睛】

本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.

11．一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a的范围是（）

A．0°

【答案】C

【解析】：∵等腰三角形顶角为钝角

∴顶角大于90°小于180°

∴两个底角之和大于0°小于90°

∴每个底角大于0°小于45°

故选：C

12．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在AD

CD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )

A ．6

B ．8

C ．9

D ．12

【答案】B

【解析】

【分析】 根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE 2EH 2EF ，EF 2AE ，即可得到结论． 【详解】

解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ，

∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，

∵四边形EFGH 为正方形，

∴EH ＝EF ，∠AFE ＝∠FEH ＝90°，

∴∠AEF ＝∠DEH ＝45°，

∴AF ＝EF ，DE ＝DH ，

∵在Rt △AEF 中，AF 2＋EF 2＝AE 2，

∴AF ＝EF ＝22

AE ， 同理可得：DH ＝DE ＝

22EH 又∵EH ＝EF ，

∴DE ＝22EF ＝22×22

AE ＝12AE ，

∵AD ＝AB ＝6，

∴DE ＝2，AE ＝4，

∴EH ＝2DE ＝22，

∴EFGH 的面积为EH 2＝（22）2＝8，

故选：B ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．

13．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1， 则菱形ABCD 的周长等于（ ）

A ．5

B ．43

C ．45

D ．20

【答案】C

【解析】

【分析】 如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.

【详解】

如下图，连接AC 、BD ，交于点E

∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB

又∵B ()4,1，D ()0,1

∴E(2，1)

∴A(2，0)

∴AD=()()2220015-+-=

∴菱形ABCD 的周长为：45

故选：C

【点睛】

本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.

14．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12

AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD 的度数是( )

A ．20°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

【答案】B

【解析】

【分析】 根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB ，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．

【详解】

在△ABC 中，∵∠B=30°，∠C=90°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，

由作图可知MN 为AB 的中垂线，

∴DA=DB ，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，

故选B ．

【点睛】

本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．

15．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（ ）

A ．△ABD ≌△ECD

B ．连接BE ，四边形ABE

C 为平行四边形 C ．DA ＝DE

D ．C

E ＝CD

【答案】D

【解析】

【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．

【详解】

∵CE ∥AB ，

∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，

在△ABD 和△ECD 中，

===B DCE BAD E BD CD ∠∠??∠∠???

∴△ABD ≌△ECD （AAS ），

∴DA=DE ，AB=CE ，

∵AD=DE ，BD=CD ，

∴四边形ABEC 为平行四边形，

故选：D ．

【点睛】

此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．

16．满足下列条件的是直角三角形的是（ ）

A ．4BC =，5AC =，6A

B =

B ．13B

C =，14AC =，15AB = C ．::3:4:5BC AC AB =

D ．::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C

【解析】

【分析】

要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

【详解】

A ．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC 2+AC 2≠A

B 2，故△AB

C 不是直角三角形；

B.若13BC =

，14AC =，15AB =，则AC 2+AB 2≠CB 2，故△ABC 不是直角三角形； C ．若BC ：AC ：AB=3：4：5，则BC 2+AC 2=AB 2，故△ABC 是直角三角形；

D ．若∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，则∠C ＜90°，故△ABC 不是直角三角形；

故答案为：C ．

【点睛】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．

17．如图，90ACB ∠=?，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ）

A ．45°

B ．30°

C ．22.5°

D ．15°

【答案】C

【解析】

【分析】 连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．

【详解】

解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，

∵∠ACB=90°，AC=CD ，

∴∠DAC=∠ADC=45°，

∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，

∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，

∵∠ABC=∠DBE ，

∴∠CAB=∠CDM ，

在△ACB 和△DCM 中

CAB CDM AC CD

ACB DCM ∠=∠??=??∠=∠?

∴△ACB ≌△DCM （ASA ），

∴AB=DM ，

∵AB=2DE ，

∴DM=2DE ，

∴DE=EM ，

∵DE ⊥AB ，

∴AD=AM ， 11

4522.522

BAC DAE DAC ??∴∠=∠=

∠=?= 故选：C ．

【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．

18．如图，经过直线AB 外一点C 作这条直线的垂线，作法如下：

（1）任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁．

（2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．

（3）分别以点D 和点E 为圆心，大于

12

DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ． （4）作直线CF ．

则直线CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（ ）

A ．△CDF

B ．△CDK

C ．△CDE

D ．△DEF

【答案】A

【解析】

【分析】 根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.

【详解】

由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK

所以，是等腰三角形的有△CDK，△CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.

故选：A

【点睛】

考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.

19．如图，已知AE=AD，AB=AC，EC=DB，下列结论：

①∠C=∠B；②∠D=∠E；③∠EAD=∠BAC；④∠B=∠E；其中错误的是()

A．①②B．②③C．③④D．只有④

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：因为AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB；

所以△ABD≌△ACE(SSS)；

所以∠C＝∠B，∠D＝∠E，∠EAC=∠DAB；

所以∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC；

得∠EAD=∠CAB．

所以错误的结论是④，

故选D．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定方法，根据已知条件利用SSS证明两个三角形全等，还考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边相等．

20．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）

A．23B．13C．4 D．32

【答案】B

【解析】

【分析】

如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.

【详解】

如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；

∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，

∴BD=CD=AD=3；

∴OD=AD-OA=2；

Rt△OBD中，根据勾股定理，得：

22

+

BD OD13

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.