高中数学重点突破专项训练——立体几何
高中数学重点突破专项训练——立体几何
1. 将两块三角板按图甲方式拼好，其中90B D ∠=∠=?，30ACD ∠=?，45ACB ∠=?，2AC =，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影恰好在AB 上，如图乙．
(1)求证：AD ⊥平面BDC ； (2)求二面角D AC B --的大小；
(3)求异面直线AC 与BD 所成角的大小．
2. 如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，
D 、
E 分不是1AC 、1BB 的中点，
〔1〕求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；
〔2〕求二面角C AC E --1的大小； 〔3〕求点1C 到平面AEC 的距离．
3. 如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分不为棱AB 和BC 的中点，EF 交BD 于H ．
〔1〕求二面角B EF --1β的正切值；
〔2〕试在棱B B 1上找一点M ，使⊥M D 1平面1EFB ，并证
明你的结论；
〔3〕求点1D 到平面1EFB 的距离．
4. 如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，AC ⊥CB ，∠ABC=45°，
侧面
A 1AB
B 1是边长为a 的菱形，且垂直于底面AB
C ，∠A 1AB=60°，E 、F 分不是AB 1、 BC 的中点.
〔1〕求证EF//平面A 1ACC 1；
〔2〕求EF 与侧面A 1ABB 1所成的角； 〔3〕求三棱锥A —BCE 的体积.
5. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分不为B 1A 、C 1C 、BC 的中点。
〔I 〕求证：DE ∥平面ABC ； 〔II 〕求证：B 1F ⊥平面AEF ；
〔III 〕求二面角B 1—AE —F 的大小〔用反三角函数表示〕。
6. 在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD=a ，
S D=a 2，在线段SA 上取一点E 〔不含端点〕使EC=AC ，截面CDE 与SB 交于点F 。
〔Ⅰ〕求证：四边形EFCD 为直角梯形； 〔Ⅱ〕求二面角B-EF-C 的平面角的正切值；
〔Ⅲ〕设SB 的中点为M ，当AB
CD
的值是多少时，能使△DMC 为直角三角形？
请给出证明。
7. 如图，正四棱柱的底面边长为3，侧棱长为4，连结，过A 作，垂足为F ，且AF 的延长线交于E 。
〔I 〕求证：平面AEC 〔II 〕求三棱锥的体积
〔III 〕求二面角的正切值。
8. 如图．斜三棱柱ABC -111C B A 的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π
，
且侧面11A ABB 垂直于底面AB C ．
〔1〕求证：点1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点； 〔2〕求二面角C -1AB -B 的大小；
〔3〕判定C B 1与A C 1是否垂直，并证明你的结论．
A B
C D
S E
F M
9. 如图，以正四棱锥V -ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O -xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．
〔1〕求cos 〔BE ，DE 〕；
〔2〕记面BCV 为 ，面DCV 为，假设∠BED 是二面角VC -的平面角，求∠BE D ．
10. 长方体ABCD -1111D C B A 中，棱AB ＝BC ＝3，1BB ＝4，连结C B 1，过B 点作C B 1的垂线交1CC 于E ，交C B 1于F ．
〔1〕求证：C A 1⊥平面EBD ；
〔2〕求ED 与平面C B A 11所成角的大小； 〔3〕求二面角E -BD -C 的大小．
11. 如图，在正方体ABCD -1111D C B A 中，E 、F 分不是1BB ，CD 的中点．
〔1〕证明：AD ⊥F D 1； 〔2〕求AE 与F D 1所成的角； 〔3〕证明：面AED ⊥面11FD A ；
〔4〕设1AA ＝2，求三棱锥F -11ED A 的体积11ED A F V ．
12. 长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为AA
1
上一点，平面B
1
CE⊥平面BCE，AB=BC=1，
AA
1
=2。
〔1〕求平面B
1
CE与平面B
1
BE所成二面角α的大小；〔文科只要求求tanα〕
〔2〕求点A到平面B
1
CE的距离。
13. 正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底边长为1，高为h(h>3)，点M在侧棱BB
1
上移动，
到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC
1
所成的角为α；
〔Ⅰ〕〔本咨询6分〕假设α在区间]
4
,
6
[
π
π
上变化，求x的变化范畴；
〔Ⅱ〕〔本咨询6分〕假设BC
AM与
求
为,
6
π
α所成的角.
14. 如下图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，与
夹角的余弦值为
3
3
．
〔1〕建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
〔2〕在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
15.如下图，直三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-中，ACB
∠＝90o，侧面
1
AB与侧面
1
AC所成
的二面角为60°，M为
1
AA上的点，=
∠
1
1
MC
A30°，=
∠
1
CMC90°，a
AB=．
〔1〕求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；
〔2〕求顶点A 到面1BMC 的距离．
16. 如图，斜三棱柱111C B A ABC -，侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且∠BCA =90°，∠160B BC =，
1BB BC ==2，假设二面角C B B A --1为30°，
〔Ⅰ〕证明C C BB AC 11平面⊥；
〔Ⅱ〕求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值；
〔Ⅲ〕在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求P 到平面C BB 1距离
17. 平行六面体1111D C B A ABCD -的底面为正方形，o o ,1分不为上、下底面的中
心，且1A 在底面ABCD 的射影是o 。 〔I 〕求证：平面⊥DC o 1平面ABCD
〔II 〕假设点F E ,分不在棱上BC AA ,1上，且12EA AE =，咨询点F 在何处时，AD EF ⊥
〔III 〕假设 601=∠AB A ，求二面角B AA C --1的大小〔用反三角函数表示〕
A B
C
1
1
1
A C B
答案：
1. 〔1〕设D 在AB 的射影为O ，那么DO ⊥平面ABC ，
DO BC ∴⊥， 又BC BA ⊥，BC ∴⊥平面ADB BC AD ∴⊥，又AD CD ⊥，AD ∴⊥平面BDC 〔2〕由〔1〕AD BD ⊥
，又1,AD AB ==1BD ∴= O ∴为AB 中点 以OB 为x 轴，OD 为z 轴，过O 且与BC 平行的直线为y 轴建系，那么
(((2222
A B C D 设1(,,)n x y z =为平面ACD 的法向量，由110,0n AC n AD ?=?=，可得1(1,1,1)n =-- 易知2(0,0,1)n =为平面ABC
的法向量，121212
cos
,n n n n n n ?<>==-
? 因此所求二面角为cos 3
arc 〔3〕1
cos ,2
AC AD AC AD AC AD
?<>=
=
?，因此所求角为60? 2. 〔1〕取AC 中点F ，连接DF ．因为D 是1AC 的中点，因此DF ∥1CC ，且
12
1
CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点，因此DF ∥BE ，DF ＝BE ，因此四边形
BEDF 是平行四边形，因此DE ∥BF ，DE ＝BF ．因为1BB ⊥面ABC ，?BF 面ABC ，因此1BB ⊥BF ．又因为F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，因此BF ⊥AC ，
a BF 2
3
=
．因为1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，因此BF ⊥1CC ，因此BF ⊥面11A ACC ，又因为?1AC 面11A ACC ，因此BF ⊥1AC ，因为DE ∥BF ，因此DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，因此DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 2
3
=
． 〔2〕因为11//CC BB ，DE ⊥1BB ，因此DE ⊥1CC ，又因为DE ⊥1AC ，因此DE ⊥面11A ACC ．又?DE 面
1AEC ，因此面1AEC ⊥面1ACC ，因此二面角C AC E --1的大小为90°． 〔3〕
连接CE ，那么三棱锥1CEC A -的底面面积为2
21
a S CEC =?，高a h 23
=．因此3
212
3232311
a a a V CEC A ==??-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，那么其高为a ，因此2
2
a S AEC =?．设点1C 到平面AEC 的距离为
d ，由AEC C CEC
A V V --=11
得32123231a a d =?，因此a d 2
3
=，即点1C 到平面AEC 的距
离为
a 2
3 3. 〔1〕连AC ，H B 1，那么EF ∥AC ，因为AC ⊥BD ，因此BD ⊥EF ．因为B B 1⊥平面ABCD ，因此H B 1⊥EF ，因此∠HB B 1为二面角B EF B --1的平面角．在Rt △
BH B 1中，a B B =1，a BH 42=
．因此22tan 11==∠BH
B
B HB B ． 〔2〕在棱B B 1上取中点M ，连M D 1，因为EF ⊥平面11BDD B ，因此EF ⊥M D 1．在正方形
C C BB 11中，因为M ，F 分不为1BB ，BC 的中点，因此F B 1⊥M C 1．又因为11C
D ⊥平面
11B BCC ，因此F B 1⊥11C D ，因此F B 1⊥M D 1，因此M D 1⊥平面1EFB ． 〔3〕
设M D 1与平面1EFB 交于点N ，那么N D 1为点1D 到平
面1EFB 的距离．在Rt △11D MB 中，M D N D B D 11211?=．因为a B D 211=，
a M D 231=，因此a M D B D N D 3
4
12111==，故点1D 到平面1EFB 的距离为a 34
4.
〔1〕∵A 1ABB 1是菱形，E 是AB 1中点， ∴E 是A 1B 中点，
连A 1C ∵F 是BC 中点， ∴EF ∥A 1C
∵A 1C ?平面A 1ACC 1，EF ?平面A 1ACC 1， ∴EF//平面A 1ACC 1
〔2〕作FG ⊥AB 交AB 于G ，连EG ∵侧面A 1ABB 1⊥平面ABC 且交线是AB ∴FG ⊥平面A 1ABB 1，∴∠FEG 是EF 与平面A 1ABB 1所成的角
由AB=a ，AC ⊥BC ，∠ABC=45°，得BG a FB FG ===4
2
2
由AA 1=AB=a ，∠A 1AB=60°， 得a EG 4
3= ?=∠∴=∠∴30,
3
3tan FEG FEG
〔3〕V A —BCE =V E —ABC 由②EG ⊥AB ，平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，∴EG ⊥平面ABC
48
321313
a EG BC AC V ABC
E =
????=∴- 5. 解法一：
〔I 〕连接A 1B 、A 1E ，并延长A 1E 交AC 的延长线于点P ，连接BP 。
由E 为C 1C 的中点，A 1C 1∥CP 可证A 1E ＝EP
∵D 、E 是A 1B 、A 1P 的中点，∴DE ∥BP 又∵BP 平面ABC ，DE 平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC 4分
〔II 〕∵△ABC 为等腰直角三角形，F 为BC 的中点
∴BC ⊥AF ，又∵B 1B ⊥平面ABC ， 由三垂线定理可证B 1F ⊥AF 设AB ＝A 1A ＝a 那么 ∴
∵ 9分
〔III 〕过F 做FM ⊥AE 于点M ，连接B 1M ∵B 1F ⊥平面AEF ，
由三垂线定理可证B 1M ⊥AE
∴∠B 1MF 为二面角B 1—AE —F 的平面角
C 1C ⊥平面ABC ，AF ⊥FC ，由三垂线定理可证EF ⊥AF 在Rt △AEF 中，可求
在Rt △B 1FM 中，∠B 1FM ＝90°， ∴ ∴
∴二面角B 1—AE —F 的大小为 14分 解法二：
如图建立空间直角坐标系O —xyz
令AB ＝AA 1＝4， 那么A 〔0，0，0〕，E 〔0，4，2〕，F 〔2，2，0〕，B 〔4，0，0〕，B 1〔4，0，4〕 2分 〔I 〕同解法一 6分 〔II 〕 ∴ ∴
∵ 10分 〔III 〕〔★有个不学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分〕 平面AEF 的法向量为，设平面B 1AE 的法向量为 即
令x ＝2，那么 ∴
∴二面角B 1—AE —F 的大小为
6. 〔Ⅰ〕∵ CD ∥AB ，AB ?平面SAB ∴CD ∥平面SAB 面EFCD ∩面SAB =EF ，
∴CD ∥EF ∵,,900AD CD D ⊥∴=∠又⊥SD 面ABCD ∴CD SD ⊥ ⊥∴CD 平面SAD ，∴ED CD ⊥又CD AB EF << EFCD ∴为直角梯形
〔Ⅱ〕⊥CD 平面EF SAD ,∥⊥EF CD ,平面SAD AED EF DE EF AE ∠∴⊥⊥∴,,即为二面角
D —EF —C 的平面角
CDE Rt CD ED ?∴⊥,中222CD ED EC +=而222CD AD AC +=且EC AC =
ADE AD ED ?∴==∴α为等腰三角形，2=∠∴∠=∠∴AED tg EAD AED
〔Ⅲ〕当2=AB
CD 时，DMC ?为直角三角形
02245,2,2,=∠=+==∴=BDC a AD AB BD a CD a AB BD BC a BC ⊥=∴,2
⊥∴SD 平面⊥∴⊥∴BC BC SD ABCD ,,平面SBD
在SBD ?中，M DB SD ,=为SB 中点，SB MD ⊥∴
⊥∴MD 平面?MC SBC ,平面 DMC MC MD SBC ?∴⊥∴,为直角三角形
7. 〔I 〕是正四棱柱 平面ABCD
连AC ，又底面ABCD 是正方形
由三垂线定理知， 同理，
平面AEC ……5分
〔II 〕 平面ABC
的长为E 点到平面ABC 的距离
〔III 〕连CF 平面，又
由三垂线定理知，
因此，为二面角的平面角 在中， 在中，
即二面角的正切角为
8. 〔1〕如图，在平面1BA 内，过1B 作D B 1⊥AB 于D ， ∵ 侧面1BA ⊥平面ABC ，
∴ D B 1⊥平面ABC ，BA B 1∠是1BB 与平面ABC 所成的角，∴ BA B 1∠＝60°．
∵ 四边形11A ABB 是菱形， ∴ △1ABB 为正三角形，
∴ D 是AB 的中点，即1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点． 〔2〕连结CD ，∵ △ABC 为正三角形，
又∵ 平面B A 1⊥平面ABC ，平面B A 1 平面ABC ＝AB ，
∴ CD ⊥平面B A 1，在平面B A 1内，过D 作DE ⊥1AB 于E ，连结CE ，那么CE
⊥1AB ，
∴ ∠CED 为二面角C -1AB -B 的平面角．在Rt △CED 中，
360sin 2== CD ，连结1BA 于O ，那么3=BO ，2
3
21==BO DE ， ∴ 2tan ==
∠DE
CD
CED ． ∴ 所求二面角C -1AB -B 的大小为arctan2． 〔3〕答：A C C B 11⊥，连结1BC ， ∵ 11CC BB 是菱形 ∴ C B BC 11⊥
∴ CD ⊥平面B A 1，AB D B ⊥1， ∴ C B 1⊥AB ， ∴ C B 1⊥平面1ABC ， ∴ C B 1⊥A C 1．
9. 〔1〕依题意，B 〔a ，a ，0〕，C 〔-a ，a ，0〕，D 〔-a ，-a ，0〕，E ，，，)2
22(h
a a -
∴ 23(a BE -=，2a -，)2
h
，2(a DE =，23a ，)2h ，
∴ 4
2322)232()223(2
2h a h h a a a a DE BE +-
=+-+-=????． 222221021
)2()2(23(||h a h a a BE +=+-+-=．
22222102
1)2()2()23(
||h a h a a DE +=++=． 由向量的数量积公式，有
BE cos(，DE 〕＝2
22222222
210610*********||||h a h a h h a h a DE BE DE BE ++-=+++
-=???． 〔2〕∵ ∠BED 是二面角
-VC - 的平面角，∴ ⊥，即有
0=?
又由 C 〔-a ，a ，0〕，V 〔0，0，h 〕，得=〔a ，-a ，h 〕，且2
3(a
-
=，2
a
-
，)2h ，
∴ 02
2322
2=+
+-=?h a a ．即 a h 2=． 现在有 BE cos(，)DE 31
)2(10)2(61062
2222222-=++-=++-=a a a a h a h a ． BED (=∠，〕3
1
arccos π)31arccos(-=-=．
10. 〔1〕连结AC 交BD 于O ，那么AC ⊥BD ．
又 ∵ A A 1⊥平面AC ， ∴ C A 1⊥BD ． ∵ C B 1⊥BE 而11B A ⊥平面C B 1， ∴ C A 1⊥BE ． ∵ BD BE ＝B ， ∴ C A 1⊥平面BED ．
〔2〕连结D A 1，由B A 1∥CD 知D 在平面C B A 11内，由〔1〕是C A 1⊥E B ． 又∵ 11B A ⊥BE ，
∴ BE ⊥平面C B A 11，即得F 为垂足．
连结DF ，那么∠EDF 为ED 与平面C B A 11所成的角． 由AB ＝BC ＝3，B B 1＝4，可求是C B 1＝5，5
12=BF ． ∴ 59=CF ，5161=F B ，那么2027=EF ，49
=EC ．
∴ 4
15
=ED ．
在Rt △EDF 中，25
9
sin =∠EDF ，
∴ ED 与平面C B A 11所成的角为259
arcsin ．
〔3〕连结EO ，由EC ⊥平面BDC 且AC ⊥BD 知EO ⊥BD ．
∴ ∠EOC 为所求二面角E -BD -C 的平面角．
∵ 4
9
=
EC ，223=OC ，
∴ 在Rt △EOC 中，4
2
3tan ==
∠OC EC EOC ．
∴ 二面角E -BD -C 的大小为4
2
3arctan
． 11.如下图，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，那么D 〔0，0，0〕，
A 〔2，0，0〕，F 〔0，1，0〕，1D 〔0，0，2〕，1A 〔2，0，2〕，E 〔2，2，1〕． 〔1〕∵ =AD 〔-2，0，0〕，=F D 1〔0，1，-2〕，且21-=?F D AD ×0＋0×1＋0×〔-2〕＝0 ∴ F D AD 1⊥．
〔2〕AE =〔0，2，1〕，F D 1=〔0，1，-2〕设AE 与F D 1的夹角为
，
那么，
0)2(10120)2(11200|
|||cos 2
2222211=-++++-?+?+?=
=
???F D AE F D AE θ
∴
＝90°，即AE 与F D 1所成的角为直角．
〔3〕由〔1〕知⊥AD F D 1，由〔2〕知⊥AE F D 1， ∴ F D 1⊥平面AED ．
又F D 1?面11FD A ，∴ 面AED ⊥面11FD A ． 〔4〕设AB 的中点为G ，连结GE ，1GD ． ∵ FG ∥11D A ，∴ FG ∥面11ED A ． ∴ GE A D ED A G ED A F V V V 111111---==， ∵ 21=AA ， ∴=
?GE A S 12
321=
--??BEG AG A S S ， ∴ 12
3
231311111111-??=??==?--GE A GE
A D ED A F S D A V V ． 12. 〔1〕∵BC E B
B 1平面⊥， ∴平面BB 1E BCE 平面⊥，
又平面B 1CE BCE 平面⊥， ∴B 1E BCE 平面⊥，
∴CE ⊥B 1E ，BE ⊥B 1E
∴∠BEC 确实是平面B 1CE 与平面B 1BE 所成二面角的平面角α。 设∠AEB=β，那么∠A 1B 1E=β ∴AE=ABcot β=cot β， A 1E=A 1B 1·tan β=tan β ∵AE+EA 1=AA 1=2, ∴cot β+tan β=2 ∴tan β=1. 即AE=A 1E=1 在Rt △CBE 中，BC=1，BE=2 ∴tan 22
2
1==
α。 ∴2
2arctan
=α 〔2〕在三棱锥C-AEB 1中，,1,2
1
21111==??=?CB B A AE S AEB 从而
61
121311=??=-AEB C V
在Rt △B 1CE 中，2,3122==+=EB BC BE CE
2
61=
?EC B S 设A 到平面B 1EC 的距离为h,那么
h h V EC B A 6
6
26311=??=-
∵,11AEB C EC B A V V --= ∴
6
166=h
∴6
6=
h 13. 〔I 〕设BC 的中点为D ，连结AD 、DM ，在正△ABC 中，易知AD ⊥BC ，又侧面
BCC 1与底面ABC 互相垂直，∴AD ⊥平面BCC 1，即∠AMD 为AM 与侧面BCC 1所成的角，∴∠AMD=α，
∴在Rt △ADM 中，cosAMD=,AM
MD
依题意BM 即为点B 到度面ABC 的距离， ∴BM=x ，
且22
22
1241cos ,241,1x
x x DM x AM ++=∴+=+=α，
由
,6
cos cos 4cos
,4
6
π
απ
π
απ
≤≤≤
≤所以
,
22
2,
31412,
23124122,2
3
cos 2222
22≤≤≤++≤∴≤++≤∴≤≤x x x x x 解得即
α 即x 的变化范畴是]2,2
2
[； 〔II 〕,3||,2,2,6
=∴===
AM BM x 即时即π
α
).6
3arccos(,63,cos ,1||,,cos ||||,
21
0120cos )(--
>=<∴=><=?-=+-?+?=?+=?所成的角为与即而且由于BC AM BC AM BC BC AM BC AM BC AM BC BM BC AB BC BM AB BC AM
〔还可按解答的图形所示作辅助线，用常规方法解决〕
14.〔1〕如题图以DA 、DC 、DP 所在直线分不为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系?A 〔2，0，0〕、B 〔2，2，0〕，C 〔0，2，0〕，设P 〔0，0，2m 〕?E 〔1，1，m 〕，那么=AE 〔-1，1，m 〕，=DP 〔0，0，2m 〕，DP cos ，
AE 13
3
211222=?=
++=
?m m
m m ，因此E 点的坐标是〔1，1，1〕
．
〔2〕∈F 平面PAD ，可设x F (，0，)z 1(-=?x ，1-，)1-z ，⊥EF 平面1(-?⊥?x PCB ，1-，2()1?-z ，0，10)0=?=x ．那么
1(-?⊥x ，1-，0()1?-z ，2，)2-00=?=z ，因此点F 的坐标是〔1，0，0〕，即点F 是DA 的中点．
15.〔1〕三棱柱111C B A ABC -为直棱柱，BAC ∠为二面角111C AA B --的平面角，因此=∠BAC 60°，又=∠ACB 90°．⊥BC 侧面1AC ．连接MC ，那么MC 是MB 在侧面1AC 上的射影．因此BMC ∠为BM 与侧面1AC 所成的角．又=∠1CMC 90°，
=∠11MC A 30°，因此=∠AMC 60°．设m BC =，那么m AC 33=
，m MC 3
2
=．因此2
3
tan =
∠BMC ．〔2〕过A 作MC AN ⊥．垂足为N ，因为1//MC AN ，因此//AN 面1MBC ．面1MBC MBC ⊥，过N 作MB NH ⊥，垂足为H ，那么NH 是N 到面1MBC 的距离，也即A 到1MBC 的距离．a AB =，2a AC =，且=∠ACN 30°，可得4
a
AN =，且=∠AMN 60°．因此
a MN 123=
．a a BMC MN NH 5239
13
3123sin =?=∠=?．讲明：此题〔2〕亦可利用11AMC B MBC A V V --=来求解
16. 〔1〕 面C C BB 11⊥面ABC ，因为面C C BB 11?面C C BB 11＝BC ，BC AC ⊥，因此⊥AC 面C C BB 11．
〔2〕取1BB 中点E ，连接AE CE ,，在1CBB ?中，01160,2=∠==CBB CB BB
1CBB ?∴是正三角形，1BB CE ⊥∴，又⊥AC 面C C BB 11且?1BB 面C C BB 11， AE BB ⊥∴1，即CEA ∠即为二面角C B B A --1的平面角为30°，
⊥AC 面C C BB 11，CE AC ⊥∴，
在ECA Rt ? 中，130tan ,30=?=∴=CE AC CE ， 又⊥AC 面C C BB 11，A CB 1∠∴即1AB 与面C C BB 11所成的线面角， 在CA B Rt 1?中，2
1
tan 11==
∠CB AC A CB
〔3〕在CE 上取点1P ，使
1
2
11=E P CP ，那么因为CE 是BC B 1?的中线，1P ∴是BC B 1?的重
心，在ECA ?中，过1P 作P P 1//CA 交AE 于P ， ⊥AC 面C C BB 11，P P 1//CA
⊥∴1PP 面1CBB ，即P 点在平面1CBB 上的射影是1BCB ?的中心，该点即为所求，
且
311
=AC PP ，3
11
=∴PP ． 17. 〔I 〕连11,,C A BD AC ，那么O 为BD AC ,的交点，1O 为A 1C 1，11D B 的交点。
由平行六面体的性质知：OC O A ||11且OC O A =11 ∴四边形11OCO A 为平行四边形，
C O O A 11|| 又⊥O A 1 平面ABC
D ⊥∴C O 1平面
ABCD
又?C O 1 平面DC O 1 ∴平面⊥DC O 1平面ABCD
〔II 〕作⊥EH 平面ABCD ，垂足为H ，那么O A EH 1||，点H 在直线AC 上，
且EF 在平面ABCD 上的射影 为HF 。
由三垂线定理及其逆定理，知AB FH AD EF ||?⊥
12EA AE = ，HO AH 2=∴，从而.2AH CH =又,||AB HF BF CF 2=∴
从而BF CF AD EF 2=?⊥ ∴当F 为BC 的三等分点〔靠近B 〕时，有AD EF ⊥
〔III 〕过点O 作1AA OM ⊥，垂足为M ，连接BM 。
⊥O A 1 平面ABCD ，OB O A ⊥∴1
又OA OB ⊥ ⊥∴OB 平面AO A 1。由三垂线定理得MB AA ⊥1
OMB ∠∴为二面角B AA C --1的平面角。 在AMB Rt ?中， 60=∠MAB ，AB MB 2
3
=
∴ 又,22AB BO =
36sin =∠∴OMB 3
6arcsin =∠∴OMB
二面角B AA C --1的大小为3
6arcsin
高中数学空间几何专题练习(供参考)
一、选择题 1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ） 2 3 + 为 （ ） C 、120； 。 3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ） A 、34； B 、312a ； C 、24 a ； D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是 （ ） A 、在y 轴上的截距是6； B 、在x 轴上的截距是6； C 、在x 轴上的截距是3； D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ） A 、平行； B 、相交或异面； C 、异面； D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为A 、12-； B 、12 ； C 、2-； D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。 若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ） A 2； B 2a ； C 2； D 2。 8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．90° D ． 60° 9、下列叙述中错误的是 （ ） A 、若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈； B 、三点,,A B C 确定一个平面； C 、若直线a b A =，则直线a 与b 能够确定一个平面； 图（1） 1 A
D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α?。 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ） A 、两条平行直线； B 、一点和一条直线； C 、两条相交直线； D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ） A 、25π； B 、50π； C 、125π； D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形，则圆柱的体积为 ； 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．． 和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ． 15、过点（1 16、已知,a b （1） a b αβ////,，则a b //； （2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //； （3） ,a b b α?//，则a α//； （4） ,a b a α⊥⊥，则b α//； M
高中数学立体几何测试题及答案一)
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
高一数学立体几何练习题及部分答案大全
立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
高中数学立体几何题型
第六讲 立体几何新题型 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．
最新人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳
第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使''' x O y ∠=450（或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积：
高中数学必修二立体几何入门试题精选
高中数学必修二立体几何入门试题精选 内容：空间几何体与异面直线 时间：90分钟 分值：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分?在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法不正确的是 （ ） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D .直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图 有且仅有两个视图相同的是（ ） 3. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为 （ B. ①正方体 A .①② B .①③ C .①④ D .②④ C. _2 D. 4 A i B i C i D i 中，既与 AB 共面也与CC i 共面的棱的条数为（ 4.平面六面体ABCD
5. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中厶 ABC 是 边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的 9. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2，则它们的面积比为 1 : 4，类似地，在空 间内，若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2,则它们的体积比为 _」 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面， 它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 11.直三棱柱ABC A1B 1C 1的各顶点都在同一球面上， 若AB AC AAA 2 , BAC 120，则此球的表面积等于 _______________________ 侧视图的面积为（ )? A. 12 B . 2 3 C . 3 2 D . 6 6 ?—个骰子由1~6六个数字组成 ,请你根据图中三种状态所显 示的数字，推出 “？ ”处的数字是（ : ) A. 6 B 3 C 1 D 7. 如右图所示的直观 图， 其平面图形的面积为（ ) 3”2 A. 3 B . 2 C . 6 D . . 3 2 则该几何体的表面积为（） ?（不考虑接触 点） A. 6+ .3 B. 18+ .3 4 C. 32 D. 18+ 2.3 亠「3 丿 、填空题（本大题共5小题，每小题 4分，满分20分?把答案填在题中横线上 正迄要 8.如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示, 俯视 侧视
高中数学必修2立体几何专题资料
专题一浅析中心投影与平行投影 中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影． 例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？ 解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影. 方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置. 点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．
解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①. 答案：①②③ 点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影． 专题二不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考． 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时， 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M = 1 2A1B1， A1N=2ND1，A1P= 3 4A1A（如图1），试求三棱锥A1—MNP的体 积． 分析：若用公式V= 1 3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积， 则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出， 但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积，从而代入公式求解． 解：V A 1-MNP =V A1—MNP = 1 3·S△A1MN ·h = 1 3× 1 2·A1M1·A1N·A1P= 1 3× 1 2× 1 2a· 2 3a· 3 4a= 1 24a 3．
高中数学立体几何(北京题型)精选
2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。 （Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （Ⅰ）求证：MN ⊥AB ； （Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. 7．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN. （Ⅰ）求证：AM ⊥PD ； （Ⅱ）求二面角P —AM —N 的大小； （Ⅲ）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小. 8．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°. BC=CC 1=a ，AC=2a . （I ）求证：AB 1⊥BC 1； （II ）求二面角B —AB 1—C 的大小； （III ）求点A 1到平面AB 1C 的距离. 9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB =BC =2，BB 1=3，连接BC 1，过B 1作B 1E ⊥BC 1交CC 1于点E (Ⅰ)求证：AC 1⊥平面B 1D 1E ； (Ⅱ)求三棱锥C 1－B 1D 1E 1的体积； (Ⅲ)求二面角E －B 1D 1－C 1的平面角大小
高中数学空间立体几何讲义
第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲： 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 （二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ） （A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
高中数学立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别为AB、PC 的中点； (1)求证：MN// 平面PAD (2)若∠ PDA=45 °，求证：MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12 分) 如图，在三棱锥P ABC中，E,F 分别为AC,BC 的中点． 1)求证：EF // 平面PAB ； 2)若平面PAC 平面ABC，且PA PC ，求 证：平面PEF 平面PBC ． ABC 90 ， A P C F B
（1）证明：连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点， EF // AB. ???????? 2 分又EF 平面PAB ，AB 平面PAB ，EF∥平面PAB. ????????5 分 （2）Q PA PC，E为AC的中点， PE AC ???????? 6 分 又Q 平面PAC 平面ABC PE 面ABC ????????8 分 PE BC ????????9 分 又因为F 为BC 的中点， EF // AB Q ABC 900, BC EF ????????10 分 Q EF I PE E BC 面PEF ????????11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ????????12 分 3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。 1)求证：BC1// 平面CA1D； 2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。 4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F 分 别是AB、PC的中点． (1) 求证：EF∥平面PAD； (2) 求证：EF⊥ CD； (3) 若∠ PDA＝45°，求EF与平面ABCD 所成的角的大小．
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 % 棱柱的分类 棱柱的性质 ， ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 ` 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + co s2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱
棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 【 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 - 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 图1-3 圆柱 )
最新高中立体几何题型分类训练(附详细答案)
立体几何题型分类解答 第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图 及其表面积和体积 一、选择题 1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( ) 2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A．①②B．①③C．①④D．②④ 3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( ) ①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④ 4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与15 5．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋233 D ．4π＋23 3 二、填空题 6．在下列图的几何体中，有________个是柱体． 7．(2009年全国卷)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________． 8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是________． 三、解答题 9.如右图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长． 10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积． 参考答案 1．C 2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.
高中数学必修2空间立体几何大题
必修2空间立体几何大题 一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点． （1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4， 点F在线段AB上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
高中数学立体几何知识点及练习题
点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：a∥b，b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵作异面直线成角的方法：平移法。 注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理：
2 线面角： 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜 交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理： 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2
高中数学立体几何经典题型的解法
解题技巧：立体几何中几类典型问题的向量解法 一、 利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离 （1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法 是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP u u u r 的 坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n ?=?<>=r u u u r u u u r r u u u r r （2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ uuu r 的模。 （3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r 或PQ u u u r 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ u u u r 为点P 到直线AB 的距离。还可以在AB 上任取一点Q 先求> 空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ，且 1 2 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上，故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为 【最新整理，下载后即可编辑】 【模拟试题】 一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（） A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面，直线平面 αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥ αβ；④l m⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ） A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（ ） A. m n m n ⊥，，////αβ B. m n m n ⊥=?，，αβα C. m n n m //，，⊥?βα D. m n m n //，，⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足： l l m m =?⊥βγααγ ，，，//，那么必有（ ） A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////，和m C. m l m //β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 13： B. 12： C. 2：3 D. 1：3 12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ） 二. 填空题（每小题4分，共16分） 13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的 高中课程复习专题 ——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。 围成多面体的各个 多边形叫做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭 几何体。 其中, 这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义：有两个面互相平行， 其余各面都是四边 形，并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 瓦他棱柱… ②四检杆 底血为甲行四边遊 T-trAfij 休 侧检旺亢丁底向 A-'K'tf'AlkJtt 囱向为和序 ------------------ ? ------------- - ----------------- ■ ------------------ A 长方体I 屁血为止方册.1』四棱相 傭棱打底血边怅*||簞 止方体 1.3棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 1.4长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12 ⑵长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是a 伙Y 那么： 2 2 2 cos a + cos 3 + COS 丫= 1 sin 2 a + sin 3 + siny =2 ⑶ 长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为 a 3 Y 则: .咬llLI 昭|1.呂出 *正棱柱 够一 ；I ；从 图1-2长方体 2 COs a 2 2 + cos 3 + COSY = 2 sin 2 a 2 2 + sin 3 + sinY =1 E' A 图图1棱柱棱柱 高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO = 3 2BE =332332= ?. 例1题图 例2题图 例3题图高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案
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高中数学立体几何专题
高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)