2018年考研数学模拟试题(数学三)
2018年考研数学模拟试题（数学三）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
(1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则
2
0)(lim x x
x y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在.
（2）设在全平面上有0),(??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ）
（A ）21x x >，21y y <.
（B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >.
（3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0
（A ）0)(,0)(>''<'x f x f . （B ）0)(,0)(<''>'x f x f .
（C ）0)(,0)(>''>'x f x f . （D ）0)(,0)(<''<'x f x f .
(4) 设函数)(x f 连续，且(0)0f '<，则存在0δ>，使得（ ）
（A ）在(0,)δ内单调增加（B ）在(,0)δ-内单调减少
（C ）对任意的(0,)x δ∈，有()(0)f x f >
（D ）对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >
（5）二次型222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-的规范型是（ ）.
（A ）222123f z z z =++. （B ）222123f z z z =+-.
（C ）2212f z z =-. （D ）21f z =.
（6）设1211121k A k k ?? ?=+ ? ???
，B 是三阶非零矩阵，且AB O =，则（ ）.
（A ）当1k =时，()1r B = . （B ）当3k =-时，()1r B =.
（C ）当1k =时，()2r B = . （D ）当2k =-时，()2r B =.
（7）设随机变量X 与Y 分别服从12N -（，）和2N （1，）
，且X 与Y 不相关，1k X Y +与2X k Y +也不相关，则（ ）.
（A ）120k k +=. （B ）120k k ==.
（C ）120k k +≠. （D ）120k k +≠.
(8) 设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样
本方差，则 （ ） （A ）~(0,1)nX N . （B ）22~()nS n χ.
（C ）)1(~)1(--n t S X n . （D ）212
2
(1)~(1,1)n i i n X F n X =--∑. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
（9）设)(1lim )(2212N n x bx
ax x x f n n n ∈+++=-∞→，若1lim ()x f x → 与1
lim ()x f x →-都存在，那么a =________， ________b =.
（10）2
22222
021
lim cos()xy r x y r e x y dxdy r π→+≤-??________=.. (12) 设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，则
dx x f ?π
0|)(|________=.
（13）设矩阵2T A E αβ=+，其中,αβ是n 维列向量，且2T αβ=，则1______A
-=. （14）设129,,,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，
1161()6Y X X =++27891()3
Y X X X =++，922271()2i i S X Y ==-∑
，12)Y Y Z S -=，则统计量Z 服从______.
三、解答题（15-23题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（15）（10分）设()f x 在(,0]-∞上连续，且满足
222
2201()ln(1)12x x tf t x dt x x -=-++?
，求()f x 及其极小值.
（16）（10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导，且()0,()0,()0f a f b f a +'=><.证明：
①在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=；
②在(,)a b 内至少存在一点η，使得()0f η''>.
（17）（10分）求微分方程2
36xy y x '=-的一个解()y y x =，使得曲线()y y x =与直 线1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小.
（18）（10
分）计算1D I d σ=
，区域D
由曲线y =和x 轴围成.
（19）（10分）求幂级数21(1)n
n n n x n ∞
=+-∑的收敛域及和函数.
（20）（11分）设33A ?是实对称矩阵，12A =-，A 的三个特征值之和为1，且
102T α=-（，，）是方程组(4)0A E x *-=的一个解向量.
①求矩阵A ；
②求方程组(6)0A E x *
+=的通解.
（21）（11分）设n 阶实对称矩阵A 的秩为r ，且满足2A A =，求 ①二次型T
x Ax 的标准形；
②行列式||2n A A A E ++++ 的值，其中E 为单位矩阵.
（22）（11分）已知随机变量X 与Y 的联合概率分布为 0
10
11/31/3Y X αβ?? ? ? ??? ①证明X 与Y 不相关的充分必要条件是事件{1}Y =与{1}X Y +=相互独立； ②若X 与Y 不相关，求X 与Y 的边缘分布.
（23）（11分）设总体),1(~θU X ，参数1>θ未知，n X X ,,1 是来自X 的简单随机样本. ①求θ的矩估计和极大似然估计量；
②求上述两个估计量的数学期望.