高中数学竞赛辅导讲义第十四章 极限与导数
第十四章 极限与导数
一、 基础知识
1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A
为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim
x f x f x x -∞
→+∞→，另外)(lim 0
x f x x +
→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类
似地)(lim 0
x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0
lim x x →f(x)=a, 0
lim x x →g(x)=b ，那么0
lim x x →[f(x)±
g(x)]=a ±b, 0
lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0
lim
x x →).0()()(≠=b b
a
x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0
lim x x →f(x)存在，并且
lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+
Δx)-f(x 0)).若x
y
x ??→?
lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或
x dx
dy
，即
00)
()(lim
)('0
x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导
的必要条件。若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。
6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1)'(-=a a ax x （a 为
任
意
常
数
）
；
（
3
）
;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）
)'(log x a x x a log 1=
；（8）.1
)'(ln x
x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）
)(')]'([x u c x cu ?=（c
为常数）；（4）)
()
(']')(1[
2
x u x u x u -=；（5）)
()
()(')(')(]')()([
2x u x v x u x v x u x u x u -=
。 8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x f ??.
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)(' 11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x 0邻域(x 0-δ,x 0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x 0)时0)('≤x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时 0)('≥x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若当x ∈(x 0-δ，x 0)时0)('≥x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。 12．极值的第二充分条件：设f(x)在x 0的某领域(x 0-δ,x 0+δ)内一 阶可导，在x=x 0处二阶可导，且0)('',0)('00≠=x f x f 。（1）若0)(''0>x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0 13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf [证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。 14．Lagrange 中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导， 则存在ξ∈(a,b)，使.) ()()('a b a f b f f --= ξ [证明] 令F(x)=f(x)-)() ()(a x a b a f b f ---,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使)('ξF =0，即.) ()()('a b a f b f f --= ξ 15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x ∈I,0)(''>x f ,则曲线y=f(x)在I 内是下凸的；（2）如果对任意x ∈I,0)('' 16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn ∈R +，α1+α2+…+αn =1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x 1,x 2,…,x n ∈[a,b]有f(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )?a 1f(x 1)+a 2f(x 2)+…+a n f(x n ). 二、方法与例题 1．极限的求法。 例1 求下列极限：（1）??? ??+++∞→22221 lim n n n n n ；（2）)0(1lim >+∞→a a a n n n ；（3）???? ??++++++∞→n n n n n 2221 211 1lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞ → [解]（1）??? ??+++∞→22221lim n n n n n ==+∞→22)1(lim n n n n 21 2221lim =??? ? ?+∞→n n ； （2）当a>1时，.11 1lim 1 111lim 1lim =+?? ? ??=+??? ??=+∞ →∞ →∞→n n n n n n n a a a a 当0 =+=+=+∞ →∞ →∞→n n n n n n n a a a a 当a=1时，.2 1111lim 1lim =+=+∞→∞→n n n n a a （3）因为.1 12 11 12 2 2 2 2 +< ++ +++ +< +n n n n n n n n n 而,1111lim 1 1 lim ,1111lim lim 2 2 2 =+=+=+ =+∞ →∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n n 所以.11211 1lim 222=???? ??++++++∞→n n n n n （4）.2 111 11lim 1lim )1(lim =++ =++=-+∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n n 例2 求下列极限：（1）∞ →n lim (1+x)(1+x 2 )(1+2 2x )…(1+n x 2)(|x|<1)； （2）?? ? ??---→x x x 1113lim 31；（3）x x x x +---→131lim 21。 [解] （1）∞ →n lim (1+x)(1+x 2)(1+2 2x )…(1+n x 2) =.1111lim 1)1()1)(1)(1(lim 1 222x x x x x x x x n n n n -=--=-+++-+∞→∞→ （2）??? ? ??--+-=???? ??----=??? ??---→→→32132131111lim 113lim 1113 lim x x x x x x x x x x x =.112lim 1)2)(1(lim 2131=+++=?? ? ??-+-→→x x x x x x x x （3）) 13)(13()13)(1(lim 131lim 21 21 x x x x x x x x x x x x ++-+--++--=+---→→ =2 ) 13)(1(lim )1(2)13)(1)(1(lim 11x x x x x x x x x x ++-+-=-++-+-→→ .22-= 2．连续性的讨论。 例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x ∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。 [解] 当x ∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t ，则x=t-1，当x ∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t ∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，当x ∈[1,2)时，令x+1=t ，则当t ∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而 f(x)=[)[)?????∈--∈--. 3,2,)3)(2(4; 2,1,)2)(1(22 2 x x x x x x 所以 0)3)(2(4lim )(lim ,0)2)(1(2lim )(lim 222222=--==--=+ →+ →- →- →x x x f x x x f x x x x ，所以 - →2l i m x f(x)=+ →2lim x f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。 3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x 0,y 0)，则0 01 x y = ， 切线的斜率为201|'0 x x x - =，所以切线方程为y-y 0=)(1020 x x x --，即)(110200x x x x y --=- 。 又因为此切线过点（2,0），所以)2(11020 0x x x --=-，所以x 0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0. 4．导数的计算。 例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）x x x x y -+=352； （3）y=e cos2x ；（4）)1ln(2-+=x x y ；（5）y=(1-2x)x (x>0且2 1 (2)2 22)'()35()'35('x x x x x x x x x y ?-+-?-+= 2 23521310x x x x x x x ++-??? ? ??-+= .2153 x + = （3）.2sin 2)'2()2sin (2cos )'2(cos '2cos 2cos x e x x x e x e y x x ?-=?-?=?= （4）??? ? ??+-?-+= -+?-+= 1111 )'1(1 1'22 22x x x x x x x x y .1 12 -= x （5）))'21ln((]'[]')21[(')21ln()21ln(x x e e x y x x x x x -==-=-- .212)21ln()21(?? ???? ----=x x x x x 5．用导数讨论函数的单调性。 例6 设a>0，求函数f(x)=x -ln(x+a)(x ∈(0,+∞))的单调区间。 [解] )0(1 21)('>+- = x a x x x f ，因为x>0,a>0，所以 ?>0)('x f x 2 +(2a-4)x+a 2 >0；?<0)('x f x 2 +(2a-4)x+a+<0. （1）当a>1时，对所有x>0，有x 2+(2a-4)x+a 2>0，即'f (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x ≠1,有x 2+(2a-4)x+a 2>0，即0)('>x f ，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0 0)(' 6．利用导数证明不等式。 例7 设)2 ,0(π ∈x ，求证：sinx+tanx>2x. [证明] 设f(x)=sinx+tanx-2x ，则)('x f =cosx+sec 2x-2，当) 2 ,0(π ∈x 时，2cos 2 cos 1cos 2cos 1cos 22>=?>+ x x x x x （因为0 ，所以)('x f =cosx+sec 2 x-2=cosx+ 02cos 12>-x .又f(x)在?? ? ??2,0π上连续，所以f(x)在?? ? ? ?2,0π上单调递增，所以当x ∈?? ? ? ?2,0π时，f(x)>f(0)=0，即 sinx+tanx>2x. 7.利用导数讨论极值。 例8 设f(x)=alnx+bx 2+x 在x 1=1和x 2=2处都取得极值，试求a 与b 的值，并指出这时f(x)在x 1与x 2处是取得极大值还是极小值。 [解] 因为f(x)在(0,+∞)上连续，可导，又f(x)在x 1=1，x 2=2处取 得极值，所以0)2(')1('==f f ，又x a x f =)('+2bx+1，所以?????=++=++,0142 , 012b a b a 解得??? ???? -=-=.61,32b a 所以x x x x x x f x x x x f 3)2)(1(13132)(',61ln 32 )(2--=+-- =+--=. 所以当x ∈(0,1)时，0)(' 9 设 x ∈[0,π ],y ∈[0,1]，试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先，当x ∈[0,π],y ∈[0,1]时， f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x ???????--+--x x y y x y x y sin )1(12)1()1sin(2=(1-y)2x ???????-+---x x y y x x x y x y sin )1(sin )1()1sin( 2 2，令g(x)= x x sin , ),2()tan (cos )('2 π ≠-=x x x x x x g 当?? ? ? ?∈2,0πx 时，因为cosx>0,tanx>x ，所以0)(' 当?? ? ??∈ππ ,2 x 时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以0)(' 又因为g(x)在(0,π)上连续，所以g(x)在(0,π)上单调递减。 又因为0<(1-y)x 0s i n )1()1s i n ( >---x x x y x y ， 又因为0sin ) 1(2 2>?-x x y y ，所以当x ∈(0,π),y ∈(0,1)时，f(x,y)>0. 其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π?0. 当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx ?0. 综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取最小值0。 三、基础训练题 1．n n n n n 3232lim 1 1++++∞→=_________. 2．已知211lim 2=??? ? ??--++∞→b an n n n ，则a-b=_________. 3．=+-+-+++∞→∞ →2 23143lim ) 1(2cos 1lim 232 3x x x x n n n n π _________. 4．=-++-+→2 11)1()1(lim x n x n x n x _________. 5．计算=--++-++∞→∞→)11(lim )1(2lim 22x x n x n n _________. 6．若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，且)0('f 存在，则 =)0('f _________. 7．函数f(x)在(-∞,+∞)上可导，且1)2('=f ，则 =--+→h h f h f h 2) 2()2(lim _________. 8．若曲线f(x)=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x-y=0，则点P 坐标为_________. 9．函数f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________. 10．函数2 2 11ln )(x x x f +-=的导数为_________. 11．若曲线2 2) (1 ax x y -= 在点)41,2(M 处的切线的斜率为41，求实数a. 12.求sin290的近似值。 13．设0 ,求证：.tan tan sin sin b a b a b a << 四、高考水平练习题 1．计算1 21 n 33312421lim --∞→++++++++n n =_________. 2．计算=??? ? ??+--+∞→1212lim 223x x x x x _________. 3．函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调递增区间是_________.。 4．函数x x x x e e e e y --+-=的导数是_________. 5．函数f(x)在x 0邻域内可导，a,b 为实常数，若c x f =)('0，则 =??--?+→?x x b x f x a x f x ) ()(lim 000 _________. 6．函数f(x)=2 1e x (sinx+cosx),x ]2 ,0[π ∈x 的值域为_________. 7．过抛物线x 2=2py 上一点(x 0,y 0)的切线方程为_________. 8．当x>0时，比较大小：ln(x+1) _________x. 9.函数f(x)=x 5-5x 4+5x 3+1,x ∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________. 10．曲线y=e -x (x ?0)在点M(t,e -t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_________. 11．若x>0，求证：(x 2-1)lnx ?(x-1)2. 12．函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数)('x f 是减函数，且)('x f >0， x 0∈(0,+∞).y=kx+m 是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程，另设g(x)=kx+m ，（1）用x 0,f(x 0),)('0x f 表示m ；（2）证明：当x ∈(0,+∞)时，g(x)?f(x)；（3）若关于x 的不等式x 2+1?ax+b ?32 2 3 x 在(0,+∞)上恒成立，其中a,b 为实数，求b 的取值范围及a,b 所满足的关系。 13.设各项为正的无穷数列{x n }满足lnx n +)(111 ++∈ 1(n ∈N +). 五、联赛一试水平训练题 1．设M n ={（十进制）n 位纯小数0?i n a a a a |21 只取0或1（i=1,2,…,n-1），a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则=∞→n n n T S lim _________. 2．若(1-2x )9展开式的第3项为288，则=?? ? ??+++∞ →n n x x x 11 1l i m 2 _________. 3．设f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时， 0)(')()()('>+x g x f x g x f ，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为 _________. 4．曲线22 12x y -=与24 13-=x y 的交点处的切线夹角是_________. 5．已知a ∈R +，函数f(x)=x 2e ax 的单调递增区间为_________. 6．已知2 1)(x x x f -= 在(a,3-a 2 )上有最大值，则a 的取值范围是 _________. 7．当x ∈(1,2]时，f(x)=)0(1 2>>-a a x x 恒成立，则y=lg(a 2 -a+3)的最小值为_________. 8．已知f(x)=ln(e x +a)(a>0)，若对任意x ∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f -1(x)|+ln[)('x f ]<0恒成立，则实数m 取值范围是_________. 9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0 ?