错位相减法(提高篇)

数列求和之错位相减法

[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；

（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

解析：（Ⅰ）113354(2)n n n n S S a a n ---=-≥，11

22n n n n a

a a a --∴==，，……（3分）

又12a =，{}22n a ∴是以为首项，为公比的等比数列，……………………………（4分） 1222n n n a -∴=?=. ……………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）2n n b n =?，

1231222322n n T n =?+?+?++?，

23121222(1)22n n n T n n +=?+?+

+-?+?.…………………………（8分）

两式相减得：1212222n n n T n +-=++

+-?，

12(12)212n n n T n +-∴-=-?-1(1)22n n +=-?-，………………………………………（11分）

12(1)2n n T n +∴=+-?.…………………………………………………………………（12分）

[例2] 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ；

(2)若a 1－a 3＝－3

2，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .

解析：(1)由已知得2S 3＝S 1＋S 2， ∴2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋(a 1＋a 2)， ∴a 2＋2a 3＝0，a n ≠0， ∴1＋2q ＝0，∴q ＝－1

2

.

(2)∵a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝a 1(1－14)＝34a 1＝－3

2，

∴a 1＝－2，∴a n ＝(－2)·(－12)n －1＝(－12

)n －

2，

∴na n ＝n (－12

)n －

2.

∴T n ＝1·(－12)－1＋2·(－12)0＋3·(－12)1＋…＋n ·(－12)n －

2，①

∴－12T n ＝1·(－12)0＋2·(－12)1＋3·(－12)2＋…＋n ·(－12)n －

1，②

①－②得

32T n ＝－2＋[(－12)0＋(－12)1＋(－12)2＋…＋(－12)n －2]－n ·(－12)n －1 ＝－43－(－12)n －1(2

3＋n )，

∴T n ＝－89－(－12)n －1(49＋23

n ).

[例3] 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －

1. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)由已知，得当n ≥1时，

a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1 ＝3(22n －

1＋22n －

3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1

.

而a 1＝2，符合上式，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －

1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n

－1

知

S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －

1.

① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋

1.

②

①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －

1－n ·22n ＋

1， 即S n ＝19

[(3n －1)22n ＋

1＋2]．

[例4] 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n

2

n －1}的前n 项和．

解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知条件可得?????

a 1＋d ＝0，

2a 1＋12d ＝－10，

解得?

????

a 1＝1，

d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .

(2)设数列????

??a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n

2n －1，故S 1＝1，

S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n

2

n . 所以，当n >1时，S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12

n －1)－2－n 2n ＝1－(1

－1

2n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n 2n －1.综上，数列????

??a n 2n －1的前n 项和S n ＝n

2n －1.

[例5] (2008,) 已知数列{}n a 的首项123a =

，121

n

n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1

{

1}n

a -是等比数列； （Ⅱ）数列{

}n

n

a 的前n 项和n S ． 解析 （Ⅰ） 121n

n n a a a +=

+，∴ 111111222n n n

n a a a a ++==+?， ∴

11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴111

12

a -=，

∴数列1

{

1}n

a -是以为12首项，12为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

111111222n n n a --=?=，即1112n n a =+，∴2

n n n n n a =+． 设23123

222

n T =

+++…2n n +， ①

则231

12222n T =

++ (1122)

n n n n

+-++，②

由①-②得2111222n T =++ (111)

11

(1)

1122112222212

n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=-

-．又123+++…(1)2

n n n ++=． ∴数列{}n

n

a 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+=-.

[例6] 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n . 解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得

?

????

a 1q ·

a 1q 2＝32，a 1q 4＝32，解得a 1＝2，q ＝2， 故a n ＝2·2n －

1＝2n .

(2)∵S n 表示数列{a n }的前n 项和， ∴S n ＝2(1－2n )1－2

＝2(2n －1)，

∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(2＋2·22＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )]＝2(2＋2·22＋…＋n ·2n )－n (n ＋1)，

设T n ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，① 则2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋

1，② ①－②，得

－T n

＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋

1＝

2(1－2n )1－2

－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋

1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋

1＋2，

∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(n －1)2n ＋

1＋2]－n (n ＋1) ＝(n －1)2n ＋

2＋4－n (n ＋1)．

[例7] 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,2

1

等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若n b

n a )2

1(2

=，设n

n

n a b c =

，求数列{}n c 的前n 项和n T . 解析：（1）由题意知0,21

2>+=n n n a S a ………………1分 当1=n 时，2

12

1

2111=

∴+

=a a a 当2≥n 时，2

12,21211-=-

=--n n n n a S a S 两式相减得1122---=-=n n n n n a a S S a ………………3分

整理得：

21

=-n n

a a ……………………4分 ∴数列{}n a 是以

2

1

为首项，2为公比的等比数列. 2111222

1

2---=?=?=n n n n a a ……………………5分

（2）422

22

--==n b n n

a

∴n b n 24-=，……………………6分

n n n n n n n a b C 2

8162242-=-==

- n

n n n

n T 2

8162824282028132-+-?+-++=

- ① 1322

8162824202821+-+-+?++=n n n n n T ② ①-②得1

322

816)212121(

8421

+--+?++-=n n n n

T ………………9分 1

11

122

816)211442816211)2112184+-+-----=----?-=n n n n n

n （（ n

n

24=

.………………………………………………………11分 .2

8n n n

T =

∴…………………………………………………………………12分 [例8] (14分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝a n log 12

a n ，S n ＝

b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2

n ＋1

>50成立的最小正整数n 的值．

解析 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3

，…，其中a 1≠0，q ≠0.

由题意知：a 1q ＋a 1q 2

＋a 1q 3

＝28， ①

a 1q ＋a 1q 3

＝2(a 1q 2＋2)．

②

②×7－①得6a 1q 3

－15a 1q 2

＋6a 1q ＝0，