2017年贵州省高考数学模拟试卷(理科)(附答案解析)

2017年贵州省高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 设集合M ＝{x|x 2?2x <0}，N ＝{x|x ≥1}，则M ∩N ＝（ ） A.{x|x ≥1} B.{x|1≤x <2} C.{x|0

2. 已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(2x +i)(1?i)＝y ，则y 的值为（ ） A.?1 B.1 C.?2 D.2

3. 已知数列{a n }满足a n =1

2a n+1，若a 3+a 4＝2，则a 4+a 5＝（ ）

A.1

2

B.1

C.4

D.8

4. 已知向量e 1→

与e 2→

不共线，且向量AB →

=e 1→

+me 2→

，AC →

=ne 1→

+e 2→

，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n( ) A.mn ＝1 B.mn ＝?1

C.m +n ＝1

D.m +n ＝?1

5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的a ，b 分别为56，140，则输出的a ＝（ ）

A.0

B.7

C.14

D.28

6. 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0,?3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（ ）

A.4

B.9

2

C.5

D.11

2

7. 如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P ?BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为（ ）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

8. 在△ABC 中，a =x ，b =2，B =45°，若此三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2

9. 已知区域Ω＝{(x,?y)||x|≤√2,?0≤y ≤√2}，由直线x =?π

3，x =π

3，曲线y ＝cos x 与x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为A ，若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域A 的概率为（ ） A.√2

4 B.1

2

C.√3

4

D.√6

4

10. （贵州招生考试）某地一年的气温Q(t)（单位：°C ）与时间t （月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10°C ，令C(t)表示时间段[0,?t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t 之间的函数关系的是（ ）

A. B.

C. D.

11. 已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）

A.1

B.√5

C.√6

D.2√2

12. 已知函数f(x)={2?|x|,x≤2

(x?2)2,x>2函数g(x)＝f(2?x)?1

4

b，其中b∈R，若函数y＝f(x)+g(x)恰有4个

零点，则b的取值范围是（）

A.(7,?8)

B.(8,?+∞)

C.(?7,?0)

D.(?∞,?8)

二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

若函数f(x)＝(x?a)(x+3)为偶函数，则f(2)＝________．

(x+1)(x+a)4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为________．

设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=π

3，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V的最大值为9√3

4

，则此

时球的表面积为________．

（贵州招生考试）已知数列{a n}满足a1=?40，且na n+1?(n+1)a n=2n2+2n，则a n取最小值时n的值为________．

三、解答题（本题共70分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．

（1）求tan B及边长a的值；

（2）若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．

为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表

（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：

记事件C：“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．

如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，将△ABC 沿中位线DE 翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A ?DE ?C 的大小为θ(0<θ

<π

2)．

（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；

（2）若θ=π

3，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．

已知椭圆E:

x 2a

+

y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，点P(1,?√22

)在椭圆E 上，直线l 过椭圆的右焦点F 且与椭圆相

交于A ，B 两点． （1）求E 的方程；

（2）在x 轴上是否存在定点M ，使得MA →

?MB →

为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，说明理由．

已知函数f(x)＝x ln x +ax ，函数f(x)的图象在点x ＝1处的切线与直线x +2y ?1＝0垂直． （1）求a 的值和f(x)的单调区间；

（2）求证：e x >f′(x)．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos α

y =2sin α （α为参数）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，

曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ．

（1）求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；

（2）过原点且倾斜角为α(π

6<α≤π

4)的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点（A ，B 异于原点），求|OA|?|OB|的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|x ?1|+|x ?5|，g(x)=√1+x 2． （Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）记f(x)的最小值为m ，已知实数a ，b 满足a 2+b 2＝6，求证：g(a)+g(b)≤m ．

参考答案与试题解析

2017年贵州省高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.

【答案】

B

【考点】

交集及其运算

【解析】

解不等式求出集合M，再根据交集的定义写出M∩N．

【解答】

集合集合M＝{x|x2?2x<0}＝{x|0

则M∩N＝{x|1≤x<2}

2.

【答案】

D

【考点】

复数的运算

【解析】

利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

【解答】

∵y＝(2x+i)(1?i)＝2x+1+(1?2x)i，

∴{1?2x=0

2x+1=y，

解得y＝2

3.

【答案】

C

【考点】

等比数列的通项公式

【解析】

根据已知条件可以求得公比q＝2．

【解答】

∵数列{a n}满足a n=1

2

a n+1，

∴a n+1

a n

=2．

则该数列是以2为公比的等比数列．

由a3+a4＝2，得到：4a1+8a1＝2，

解得a1=1

6

，

则a4+a5＝8a1+16a1＝24a1＝24×1

6=4，

4.

【答案】

A

【考点】

平行向量（共线）

【解析】

由题意可得AB

→

?//?AC

→

，再根据两个向量共线的性质可得1

n

=m

1

，由此可得结论．

【解答】

由题意可得AB

→

?//?AC

→

，

∴AB→=λ?AC→，故有1

n

=m

1

，

∴mn＝1，

5.

【答案】

D

【考点】

程序框图

【解析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a＝28，b＝28时，不满足条件a≠b，退出循环，

输出a的值．

【解答】

模拟程序的运行，可得

a＝56，b＝140，

满足条件a≠b，不满足条件a>b，b＝140?56＝84，

满足条件a≠b，不满足条件a>b，b＝84?56＝28，

满足条件a≠b，满足条件a>b，a＝56?28＝28，

不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值为28．

6.

【答案】

B

【考点】

演绎推理

【解析】

根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论．

【解答】

根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，

又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S=(1+2)×3

2

=9

2

；

7.

【答案】

D

【考点】

简单空间图形的三视图

【解析】

本题考查三视图、三棱锥的性质．【解答】

解：设正方体的棱长为1，则由题意得三棱锥正视图的面积S

正视图=1

2

×1×1=1

2

，而三棱锥俯视图面积的最

大值为S

俯视图=S

四边形ABCD

=1×1=1，所以三棱锥P?BCD的俯视图与正视图的面积之比的最大值为

S

俯视图

S

正视图

=2．

故选D．

8.

【答案】

C

【考点】

正弦定理的应用

【解析】

利用正弦定理和b和sin B求得a和sin A的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B>180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°

【解答】

解：a

sin A =b

sin B

=2√2

∴a=2√2sin A

A+C=180°?45°=135°

A有两个值，则这两个值互补

若A≤45°，则C≥90°，

这样A+B>180°，不成立

∴45°

又若A=90，这样补角也是90°，一解

所以√2

2

a=2√2sin A

所以2

故选C

9.

【答案】

C

【考点】

几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）

【解析】

首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出A的面积，然后由概型公式求概率．【解答】

由已知得到事件对应区域面积为2√2×√2=4，由直线x=?π

3

，x=π

3

，曲线y＝cos x与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，

面积为2∫

π

3

cos xdx=2sin x|0

π

3=√3，

由几何概型的公式得到所求概率为：√3

4

；

10.

【答案】

A

【考点】

函数的图象

函数的图象变换

【解析】

此题暂无解析

【解答】

本题考查函数图象的识别．已知该年的平均气温是10°C，所以t=12时，C(12)=10°C，所以排除选项B；

由图知，当t∈[0,6]时，Q(t)的图象关于点(3,0)对称，则C(6)=0°C，所以排除选项D；由图知当t→12时，后几个月的气温是单调递减的，又平均气温应大于10°C，所以排除选项C，故选A．

数形结合是处理函数问题的常用方法之一．

11.

【答案】

D

【考点】

抛物线的性质

【解析】

过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|＝m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大

值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．

【解答】

抛物线的标准方程为x2＝4y，

则抛物线的焦点为F(0,?1)，准线方程为y＝?1，

过P作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，

∵|PA|＝m|PF|，∴|PA|＝m|PN|，

设PA的倾斜角为α，则sinα=1

m

，

当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PA的方程为y＝kx?1，代入x2＝4y，

可得x2＝4(kx?1)，

即x2?4kx+4＝0，

∴△＝16k2?16＝0，∴k＝±1，

∴P(2,?1)，

∴|PA|=√4+4=2√2．

12.

【答案】

A

【考点】

函数的零点与方程根的关系 【解析】

求出函数y ＝f(x)+g(x)的表达式，构造函数?(x)＝f(x)+f(2?x)，作出函数?(x)的图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】

函数g(x)＝f(2?x)?1

4b ，由f(x)+g(x)＝

0，得f(x)+f(2?x)=1

4b ， 设?(x)＝f(x)+f(2?x)，

若x ≤0，则?x ≥0，2?x ≥2，

则?(x)＝f(x)+f(2?x)＝2+x +x 2，

若0≤x ≤2，则?2≤?x ≤0，0≤2?x ≤2，

则?(x)＝f(x)+f(2?x)＝2?x +2?|2?x|＝2?x +2?2+x ＝2， 若x >2，?x

则?(x)＝f(x)+f(2?x)＝(x ?2)2+2?|2?x|＝x 2?5x +8． 作出函数?(x)的图象如图：

当x ≤0时，?(x)＝2+x +x 2＝(x +1

2)2+7

4≥7

4，当x >2时，?(x)＝x 2?5x +8＝(x ?5

2)2+7

4≥7

4． 由图象知要使函数y ＝f(x)+g(x)恰有4个零点， 即?(x)=b

4

恰有4个根，∴ 7

4

4

<2，解得：b ∈(7,?8)

二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分） 【答案】 ?5

【考点】

函数奇偶性的性质 函数的求值

【解析】

根据偶函数f(x)的定义域为R ，则?x ∈R ，都有f(?x)＝f(x)，建立等式，解之求出a ，即可求出f(2)． 【解答】

因为函数f(x)＝(x ?a)(x +3)是偶函数， 所以?x ∈R ，都有f(?x)＝f(x)，

所以?x ∈R ，都有(?x ?a)?(?x +3)＝(x ?a)(x +3)，

即x 2+(a ?3)x ?3a ＝x 2?(a ?3)x ?3a ， 所以a ＝3，

所以f(2)＝(2?3)(2+3)＝?5． 【答案】 2

【考点】

二项式定理及相关概念 【解析】

利用(x +1)(x +a)4＝(x +1)（x 4+4x 3a +…），进而得出． 【解答】

(x +1)(x +a)4＝(x +1)（x 4+4x 3a +…）， ∵ 展开式中含x 4项的系数为9，∴ 1+4a ＝9， 解得a ＝2． 【答案】 36π

【考点】

球的表面积和体积 【解析】

当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ?ABC 的体积最大，利用三棱锥O ?ABC 体积的最大值为9√34

，求出半

径，即可求出球O 的体积 【解答】

如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ?ABC 的体积最大，

设球O 的半径为R ，此时V 0?ABC ＝V C?AOB =1

3×1

2×R 2×sin 600×R ×R 2×sin 60°×R =9√34

，

故R ＝3，则球O 的表面积为4πR 2＝36π， 【答案】 10或11 【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】

因为na n+1?(n +1)a n ＝2n 2+2n ， 所以

a n+1n+1

?

a n n

=2，

所以数列{a

n

n }是首项为?40，公差为2的等差数列， 所以a

n n =?40+2(n ?1)，即a n =2n 2?42n =2(n ?

212

)2

?4412

，因为n ∈N ?．

所以当n =10或n =11时，a n 取得最小值． 求解数列中的最值问题时应注意n ∈N ?．

本题考查数列的递推公式、等差数列、二次函数的性质． 三、解答题（本题共70分）

【答案】

在△ABC 中，由a cos B ＝4，b sin A ＝3，

两式相除，有4

3=a cos B

b sin A

=a

sin A

?cos B

b

=b

sin B

?cos B

b

=1

tan B

，

所以tan B=3

4

，

又a cos B＝4，

故cos B>0，则cos B=4

5

，

所以a＝5．

由（1）知sin B=3

5

，

由S=1

2

ac sin B，得到c＝6．

由b2＝a2+c2?2ac cos B，得b=√13，

故l＝5+6+√13=11+√13

即△ABC的周长为11+√13．

【考点】

三角形的面积公式

【解析】

（1）由a cos B＝4，b sin A＝3，两式相除，结合正弦定理可求tan B=3

4

，又a cos B＝4，可得cos B>0，从而可求cos B，即可解得a的值．

（2）由（1）知sin B=3

5

，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，从而解得三角形周长的值．

【解答】

在△ABC中，由a cos B＝4，b sin A＝3，

两式相除，有4

3=a cos B

b sin A

=a

sin A

?cos B

b

=b

sin B

?cos B

b

=1

tan B

，

所以tan B=3

4

，

又a cos B＝4，

故cos B>0，则cos B=4

5

，

所以a＝5．

由（1）知sin B=3

5

，

由S=1

2

ac sin B，得到c＝6．

由b2＝a2+c2?2ac cos B，得b=√13，

故l＝5+6+√13=11+√13

即△ABC的周长为11+√13．

【答案】

根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下图：由频率分布直方图得：

甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，

而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．

记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，

A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，

B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，

B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，

则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C＝B1A1∪B2A2，

P(C)＝P(B1A1∪B2A2)＝P(B1)P(A1)+P(B2)P(A2)，

由题意P(A1)=9

10

，P(A2)=1

10

，P(B1)=11

20

，P(B2)=7

20

，

∴P(C)=11

20

×9

10

+7

20

×1

10

=53

100

．

【考点】

频率分布直方图

列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【解析】

（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表能作出相应的频率分组直方图，由频率分布直方图能求出结果．

（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C＝B1A1∪B2A2，由此能求出事件C的概率．

【解答】

根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下图：

由频率分布直方图得：

甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值， 而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．

记A 1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”， A 2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”， B 1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”， B 2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”， 则A 1与B 1独立，A 2与B 2独立，B 1与B 2互斥，C ＝B 1A 1∪B 2A 2， P(C)＝P(B 1A 1∪B 2A 2)＝P(B 1)P(A 1)+P(B 2)P(A 2)， 由题意P(A 1)=9

10，P(A 2)=1

10，P(B 1)=11

20，P(B 2)=7

20， ∴ P(C)=

1120

×

910

+

720

×

110

=

53100

．

【答案】

证明：由题意，DE?//?BC ，

∵ DE ⊥AD ，DE ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ， ∴ DE ⊥平面ADB ，∴ BC ⊥平面ABD ； ∵ BC ?面ABC ，∴ 平面ABD ⊥平面ABC ；

由已知可得二面角A ?DE ?C 的平面角就是∠ADB

设等腰直角三角形ABC 的直角边AB ＝4，则在△ADB 中，AD ＝DB ＝AB ＝2， 取DB 中点O ，AO ⊥DB ，由（1）得平面ABD ⊥平面EDBC ， ∴ AO ⊥面EDBC ，所以以O 为原点，建立如图坐标系， 则A(0,?0,?√3)，B(1,?0,?0)，C(1,?4,?0)，E(?1,?2,?0) 设平面ABC 的法向量为m →

=(x,y,z)，

AB →=(1,0,?√3)，AC →

=(1,4,?√3)．由{m →

?AB →

=x ?√3z =0

m →?AC →=x +4y ?√3z =0 ，取m →

=(√3,0,1)，

AE →

=(?1,2,?√3}，

∴ 直线AE 与平面ABC 所成角的θ，sin θ＝|cos

,AE →

>|＝|m →?AE →

|AE →

||m →|

|=

√6

4

． 即直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值为：√6

4

【考点】

平面与平面垂直 直线与平面所成的角

【解析】

（1）证明：DE ⊥平面ADB ，DE?//?BC ，可证BC ⊥平面ABD ，即可证明平面ABD ⊥平面ABC ．

（2）取DB 中点O ，AO ⊥DB ，由（1）得平面ABD ⊥平面EDBC ，AO ⊥面EDBC ，所以以O 为原点，建立如图坐标系，

则A(0,?0,?√3)，B(1,?0,?0)，C(1,?4,?0)，E(?1,?2,?0)，利用平面ABC 的法向量 求解． 【解答】

证明：由题意，DE?//?BC ，

∵ DE ⊥AD ，DE ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ， ∴ DE ⊥平面ADB ，∴ BC ⊥平面ABD ； ∵ BC ?面ABC ，∴ 平面ABD ⊥平面ABC ；

由已知可得二面角A ?DE ?C 的平面角就是∠ADB

设等腰直角三角形ABC 的直角边AB ＝4，则在△ADB 中，AD ＝DB ＝AB ＝2， 取DB 中点O ，AO ⊥DB ，由（1）得平面ABD ⊥平面EDBC ， ∴ AO ⊥面EDBC ，所以以O 为原点，建立如图坐标系， 则A(0,?0,?√3)，B(1,?0,?0)，C(1,?4,?0)，E(?1,?2,?0) 设平面ABC 的法向量为m →

=(x,y,z)，

AB →=(1,0,?√3)，AC →

=(1,4,?√3)．由{m →

?AB →

=x ?√3z =0

m →?AC →=x +4y ?√3z =0 ，取m →

=(√3,0,1)，

AE →

=(?1,2,?√3}，

∴ 直线AE 与平面ABC 所成角的θ，sin θ＝|cos

,AE →

>|＝|

m →?AE →

|AE →

||m →|

|=

√64

． 即直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值为：√6

4

【答案】

由椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的离心率e =

c a

=

√2

2

，则a =√2c ， 由b 2＝a 2?c 2＝c 2，将P(1,?√2

2)代入椭圆方程x 2

2c +y 2

c =1， 解得：c ＝1，a =√2，b ＝1， ∴ 椭圆的标准方程：

x 22

+y 2

=1；

在x 轴上假设存在定点M(m,?0)，使得MA →

?MB →

为定值． 若直线的斜率存在，设AB 的斜率为k ，F(1,?0)，

由{y =k(x ?1)x 22

+y 2

=1

，整理得(1+2k 2)x 2?4k 2x +2k 2?2＝0， x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2?2

1+2k 2，

y 1y 2＝k 2(x 1?1)(x 2?1)＝k 2[x 1x 2+1?(x 1+x 2)] ＝k 2(2k 2?21+2k 2+1?4k 21+2k 2)=?k 21+k 2，

则MA →?MB →=(x 1?m)(x 2?m)+y 1y 2＝x 1x 2+m 2?m(x 1+x 2)+y 1y 2， =

2k 2?21+2k

2+m 2

?m ?4k 21+2k

2?

k 21+k

2=

m 2?2+(2m 2?4m+1)k 2

1+2k 2

，

欲使得MA →

?MB →

为定值，则2m 2

?4m +1＝2(m 2

?2)， 解得：m =5

4， 此时MA →

?MB →

=

2516?2=?7

16

；

当AB 斜率不存在时，令x ＝1，代入椭圆方程，可得y ＝±√22

， 由M(5

4,?0)，可得MA →

?MB →

=?7

16，符合题意． 故在x 轴上存在定点M(5

4,?0)，使得MA →

?MB →

=?7

16． 【考点】

椭圆的应用

直线与椭圆的位置关系 【解析】

（1）由题意的离心率公式求得a =√2c ，b 2＝a 2?c 2＝c 2，将直线方程代入椭圆方程，即可求得a 和b ，求得椭圆方程；

（2）在x 轴上假设存在定点M(m,?0)，使得MA →

?MB →

为定值．若直线的斜率存在，设AB 的斜率为k ，F(1,?0)，

由y ＝k(x ?1)代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线AB 的斜率不存在时，也成立． 【解答】

由椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的离心率e =

c a

=

√2

2

，则a =√2c ，

由b 2＝a 2?c 2＝c 2，将P(1,?√2

2)代入椭圆方程x 2

2c +y 2

c =1， 解得：c ＝1，a =√2，b ＝1， ∴ 椭圆的标准方程：

x 22

+y 2=1；

在x 轴上假设存在定点M(m,?0)，使得MA →

?MB →

为定值． 若直线的斜率存在，设AB 的斜率为k ，F(1,?0)，

由{y =k(x ?1)x 22

+y 2

=1

，整理得(1+2k 2)x 2?4k 2x +2k 2?2＝0， x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2?2

1+2k 2，

y 1y 2＝k 2(x 1?1)(x 2?1)＝k 2[x 1x 2+1?(x 1+x 2)] ＝k 2(2k 2?21+2k 2+1?4k 21+2k 2)=?k 2

1+k 2，

则MA →?MB →

=(x 1?m)(x 2?m)+y 1y 2＝x 1x 2+m 2?m(x 1+x 2)+y 1y 2， =

2k 2?21+2k

2+m 2

?m ?4k 21+2k

2?

k 21+k

2=

m 2?2+(2m 2?4m+1)k 2

1+2k 2

，

欲使得MA →

?MB →

为定值，则2m 2?4m +1＝2(m 2?2)， 解得：m =5

4，

此时MA →?MB →

=

2516

?2=?7

16

；

当AB 斜率不存在时，令x ＝1，代入椭圆方程，可得y ＝±√2

2

， 由M(5

4,?0)，可得MA →

?MB →

=?7

16，符合题意． 故在x 轴上存在定点M(5

4,?0)，使得MA →

?MB →

=?7

16． 【答案】

f′(x)＝ln x +1+a ，

f′(1)＝1+a ＝2，解得：a ＝1， 故f(x)＝x ln x +x ，f′(x)＝ln x +2， 令f′(x)>0，解得：x >e ?2， 令f′(x)<0，解得：0

故f(x)在(0,?e ?2)递减，在(e ?2,?+∞)递增；

要证e x >f′(x)，即证e x ?ln x ?2>0，即证e x >ln x +2， x >0时，易得e x >x +1，即只需证明x +1≥ln x +2即可， 即只需证明x >ln x +1即可

令?(x)＝x ?ln x +1，则?′(x)＝1?1

x ， 令?′(x)＝0，得x ＝1

?(x)在(0,?1)递减，在(1,?+∞)递增， 故?(x)≥?(1)＝0．

即x +1≥ln x +2成立，即e x >ln x +2， ∴ e x >f′(x)．

【考点】

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

（1）由f′(1)＝1+a ＝2，解得：a ＝1，利用导数求解单调区间．

（2）要证e x >f′(x)，即证e x >ln x +2，x >0时，易得e x >x +1，即只需证明x >ln x +1即可 【解答】

f′(x)＝ln x +1+a ，

f′(1)＝1+a ＝2，解得：a ＝1， 故f(x)＝x ln x +x ，f′(x)＝ln x +2， 令f′(x)>0，解得：x >e ?2， 令f′(x)<0，解得：0

故f(x)在(0,?e ?2)递减，在(e ?2,?+∞)递增；

要证e x >f′(x)，即证e x ?ln x ?2>0，即证e x >ln x +2， x >0时，易得e x >x +1，即只需证明x +1≥ln x +2即可， 即只需证明x >ln x +1即可

令?(x)＝x ?ln x +1，则?′(x)＝1?1x ，

令?′(x)＝0，得x ＝1

?(x)在(0,?1)递减，在(1,?+∞)递增， 故?(x)≥?(1)＝0．

即x +1≥ln x +2成立，即e x >ln x +2， ∴ e x >f′(x)．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 【答案】

曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos α

y =2sin α （α为参数），普通方程为(x ?2)2+y 2＝4，即x 2+y 2＝4x ，极坐标方

程为ρ＝4cos θ；曲线C 1的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，普通方程为：y ＝x 2；

射线l 的参数方程为{x =t cos αy =t sin α (t 为参数，π6<α≤π

4)． 把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得：t 2?4t cos α＝0， 解得t 1＝0，t 2＝4cos α． ∴ |OA|＝|t 2|＝4cos α．

把射线l 的参数方程代入曲线C 2的普通方程得：cos 2αt 2＝t sin α， 解得t 1＝0，t 2=sin α

cos α． ∴ |OB|＝|t 2|=sin αcos 2α． ∴ |OA|?|OB|＝4cos α?

sin αcos 2α

=4tan α＝4k ．

∵ k ∈(√3

3,?1]，∴ 4k ∈(

4√3

3

,?4]． ∴ |OA|?|OB|的取值范围是(4√3

3

,?4]． 【考点】

参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程

【解析】

（1）先将C 1的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，将C 2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C 2的直角坐标方程；

（2）求出l 的参数方程，分别代入C 1，C 2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|?|OB|关于k 的函数，根据k 的范围得出答案． 【解答】

曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos α

y =2sin α （α为参数），普通方程为(x ?2)2+y 2＝4，即x 2+y 2＝4x ，极坐标方

程为ρ＝4cos θ；曲线C 1的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，普通方程为：y ＝x 2； 射线l 的参数方程为{x =t cos αy =t sin α (t 为参数，π6

<α≤π

4

)．

把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得：t 2?4t cos α＝0， 解得t 1＝0，t 2＝4cos α． ∴ |OA|＝|t 2|＝4cos α．

把射线l 的参数方程代入曲线C 2的普通方程得：cos 2αt 2＝t sin α， 解得t 1＝0，t 2=sin α

cos 2α． ∴ |OB|＝|t 2|=

sin αcos 2α．

∴ |OA|?|OB|＝4cos α?sin α

cos 2α=4tan α＝4k ． ∵ k ∈(√3

3,?1]，∴ 4k ∈(

4√3

3

,?4]． ∴ |OA|?|OB|的取值范围是(

4√3

3

,?4]．

[选修4-5：不等式选讲]

【答案】

（Ⅰ）解：由f(x)=|x ?1|+|x ?5|，

得f(x)={

2x ?6，

x ≥5，4，1

x ≤1．

∴ f(x)min =4．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知m =4，由柯西不等式，得 [1×g(a)+1×g(b)]2≤(12+12)[g 2(a)+g 2(b)] 即[g(a)+g(b)]2≤2(a 2+b 2+2)，

又g(x)=√x 2+1>0，a 2+b 2=6，

∴ g(a)+g(b)≤4（当且仅当a =b =√3时，取等号）， 即g(a)+g(b)≤m ．

【考点】

函数的最值及其几何意义 【解析】

本题考查绝对值不等式的解法、柯西不等式． 【解答】

（Ⅰ）解：由f(x)=|x ?1|+|x ?5|，

得f(x)={

2x ?6，

x ≥5，4，1

x ≤1．

∴ f(x)min =4．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知m =4，由柯西不等式，得 [1×g(a)+1×g(b)]2≤(12+12)[g 2(a)+g 2(b)] 即[g(a)+g(b)]2≤2(a 2+b 2+2)，

又g(x)=√x 2+1>0，a 2+b 2=6，

∴ g(a)+g(b)≤4（当且仅当a =b =√3时，取等号）， 即g(a)+g(b)≤m ．