中考数学二次函数综合练习题含详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．

【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】

（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=

1

2

×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】

解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，

10

3b c c ++=??

=?

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B（3，0），

∴BC=32，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3

∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；

②当PB=PC时，OP=OB=3，

∴P3（0，-3）；

③当BP=BC时，

∵OC=OB=3

∴此时P与O重合，

∴P4（0，0）；

综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，

∴S△MNB=1

×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，

2

当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【解析】 【分析】

（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】

（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB

OA

=

=3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为

09303a b c a b c c ++=??-+=?

?=?

，解得：123a b c =-??=-??=?，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b

a

=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：

①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；

②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，

∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴

1

3

EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）．

∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．

当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．

综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【点睛】

本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．

3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）求出C 、D 两点的坐标

（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．

【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）. 【解析】 【分析】

（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标． 【详解】

解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入

y ＝ax 2

+bx ﹣3可得 30

4233a b a b --=??+-=-?

解得12a b =??=-?

∴y ＝x 2﹣2x ﹣3

（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3） 设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入

23k b k b -+=??

+=-?

解得1

1k b =-??=-?

∴y ＝﹣x ﹣1 ∴D （0，﹣1）

（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P 点纵坐标为﹣2， ∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2

解得：x ＝∵x ＞0∴x ＝． ∴P （

，﹣2） 【点睛】

本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．

4．函数()2

110,>02

y x mx x m =-

++≥的图象记为1C ，函数()21

10,>02

y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象

记为C .

（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值； （Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值； （Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当03

92

y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912

m ≤≤. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；

（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可

（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】

解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2

=

（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12??

-- ???

， 令2

m 112

-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=

（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12??+ ???，抛物线2C 的顶点2m Q m,12??

-- ???

， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点

∴2

03m y 1922

≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴

3

2

≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴

32≤4m-99≤，解得94m 2

<≤. 综上所述，9

1m 2

≤≤即为所求. 【点睛】

本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．

5．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式； （2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴

10

930

b c

b c

--+=

?

?

-++=

?

，解得

2

3

b

c

=

?

?

=

?

，

∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．

抛物线的对称轴为x＝

2

22(1)

b

a

-=-

?-

＝1．

当x＝1时，y＝4，

∴点D的坐标为（1，4）．

设直线BD的解析式为y＝kx+b，

则

4

30 k b

k b

+=

?

?

+=

?

，

解得

2

6

k

b

=-

?

?

=

?

．

∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，

设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC＝PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x＝2，

则y＝﹣2×2+6＝2，

∴点P的坐标为（2，2）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．

6．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.

【解析】

【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，

将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），

令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，

即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），

由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，

故A'（2，4），B'（5，﹣5），

∴S△OA′B′=1

2

×（2+5）×9﹣

1

2

×2×4﹣

1

2

×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

7．复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.

学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：

①存在函数，其图像经过（1,0）点；

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.

【解析】

试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.

试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：

①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点.

∴结论①为真.

②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.

③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为

，

∴可举反例如，当时，二次函数为，

当时，y 随x 的增大而减小；当

时，y 随x 的增大而增大.

∴结论③为假. ④∵当

时，二次函数

的最值为

，

∴当

时，有最小值，最小值为负；当

时，有最大值，最大值为正.

∴结论④为真.

解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想 考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.

8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A(3,-3) 和B(33,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q ，使得1

3

AOC AOQ S S ??=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）213322

y x x =

-；（2）P 点坐标为（3）或（

833,- 4

3）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】

（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式； （2）设P 坐标为2133

,

2x x x ??

- ? ??

?

，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；

（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】

（1

）把A 3)-

和点B 0)

代入抛物线得：33

270

a a ?+=-??+=??，

解得：12a =

，b =，

则抛物线解析式为2122

y x x =

-； （2）当P 在直线AD 上方时，

设P

坐标为21,22

x x x ??- ? ???

，则有AD x =

2132PD x x =+， 当OCA ADP ??∽时，OC CA AD DP =

=

，

整理得：23186x -+=-

，即23240x -+=，

解得：6x =

，即3

x =

或x =

此时P 4)3-；

当OCA PDA ??∽时，OC CA PD AD =

=

，

296x x -+=-

2120x -+=，

解得：2

x =

，即x =

此时P 6)；

当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ??∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P

的坐标为10)3-，

综上，P

的坐标为，4)3-

或6)

或10)3-或()0,0；

（3）在Rt AOC ?中，3OC =

，AC =

根据勾股定理得：OA =

11

··

22

OC AC OA h

=，

3

2

h

∴=，

133

3

AOC AOQ

S S

??

==，

AOQ

∴?边OA上的高为

9

2

，

过O作OM OA

⊥，截取

9

2

OM=，过M作//

MN OA，交y轴于点N，如图所示：在Rt OMN

?中，29

ON OM

==，即()

0,9

N，

过M作MH x

⊥轴，

在Rt OMH

?中，

19

24

MH OM

==，393

24

OH OM

==，即

3

(

4

M，

9

)

4

，

设直线MN解析式为9

y kx

=+，

把M坐标代入得：

993

9

4

=+，即3

k=39

y x

=+，

联立得：

2

39

133

2

y x

y x x

?=-+

?

?

=-

?

?

，

解得：

33

x

y

?=

?

?

=

??

3

15

x

y

?=-

?

?

=

??

(33

Q0)或(23

-，15)，

则抛物线上存在点Q，使得

1

3

AOC AOQ

S S

??

=，此时点Q的坐标为(330)或(23

-15)．

【点睛】

二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，

点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=

1

2x 2+3

2

x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过A ，C 两点，连接BC ． （1）求直线l 的解析式；

（2）若直线x=m （m ＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E ，与直线l 交于点D ，连接OD ．当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；

（3）取点G （0，﹣1），连接AG ，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P ，使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=122x -

-；（2）DE=3225

；（3）存在点P （139，98

81），使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ，理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A 和点C 的坐标，从而可以求得直线l 的函数解析式；

（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；

（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB ，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题． 【详解】 （1）∵抛物线y=

12x 2+3

2

x-2， ∴当y=0时，得x 1=1，x 2=-4，当x=0时，y=-2，

∵抛物线y=

12x 2+3

2

x-2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ， ∴点A 的坐标为（-4，0），点B （1，0），点C （0，-2）， ∵直线l 经过A ，C 两点，设直线l 的函数解析式为y=kx+b ，

402k b b -+??

-?＝＝，得122

k b ?-???-?＝＝，

即直线l 的函数解析式为y=?

1

2

x?2； （2）直线ED 与x 轴交于点F ，如图1所示，

由（1）可得，

AO=4，OC=2，∠AOC=90°， ∴5 ∴45

25

=， ∵OD ⊥AC ，OA ⊥OC ，∠OAD=∠CAO ， ∴△AOD ∽△ACO ， ∴AD AO

AO AC

＝， 即

425AD ＝，得85， ∵EF ⊥x 轴，∠ADC=90°， ∴EF ∥OC ， ∴△ADF ∽△ACO ， ∴

AF DF AD AO OC AC

＝＝， 解得，AF=16

5，DF=85

， ∴OF=4-165=45

， ∴m=-45

， 当m=-45时，y=12×（?45）2+32×（-45）-2=-7225

，

∴EF=

7225

， ∴DE=EF-FD=

7225?85＝3225

；

（3）存在点P ，使∠BAP=∠BCO-∠BAG ，

理由：作GM ⊥AC 于点M ，作PN ⊥x 轴于点N ，如图2所示，

∵点A （-4，0），点B （1，0），点C （0，-2）， ∴OA=4，OB=1，OC=2，

∴tan ∠OAC=

2142OC OA ＝＝，tan ∠OCB=1

2

OB OC ＝，5， ∴∠OAC=∠OCB ，

∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ，∠GAM=∠OAC-∠BAG ， ∴∠BAP=∠GAM ，

∵点G （0，-1），5OA=4， ∴OG=1，GC=1， ∴17，??22AC GM CG OA ＝，即514

22

GM ?＝， 解得，25， ∴22AG GM -222595(17)()5-=

，

∴tan ∠GAM=

25

2

59

95GM AM =， ∴tan ∠PAN=

29

， 设点P 的坐标为（n ，12n 2+3

2

n-2）， ∴AN=4+n ，PN=

12n 2+3

2

n-2， ∴213

2

222 49

n n n +-+＝

，

解得，n 1=13

9

，n 2=-4（舍去）， 当n=

139时，12n 2+32n-2=9881

， ∴点P 的坐标为（139，98

81

）， 即存在点P （139，9881

），使∠BAP=∠BCO-∠BAG ． 【点睛】

本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．

10．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线

y=kx+

2

3

分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；

（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣22

33

x +；（2）t 的值为

4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣3

2，﹣5

4

），213 【解析】

分析：（1）利用待定系数法求解可得；

（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、

P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；

（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，

得

1680

20

a c

a c

-+=

?

?

++=

?

，

解得：

2

3

8

3 a

c

?

=

??

?

?

=-

??

，

∴抛物线解析式为：y=2

28

2

33

x x

+-，

∵过点B的直线y=kx+2

3

，

∴代入（1，0），得：k=﹣2

3

，

∴BD解析式为y=﹣22

33

x+；

（2）由

2

28

2

33

22

33

y x x

y x

﹣

?

=+-

??

?

?=+

??

得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，

当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，

则△DEP1∽△P1OC，

∴DE

PO

=

PE

OC

，即

4

t

=

5

2

3

t-

，

解得t=

15129

6

±

，

当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形

由△P2DB∽△DEB得

DB

EB

=2

P B

DB

，

即

52=

52

6

，

解得：t=

23

3

；

当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，

∴DF

OC

=

3

CF

P O，即

5

2

3

=

10

3

t

，

解得：t=

4

9

，

∴t的值为4

9

、

15129

±

、

23

3

．

（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣

2

3

x﹣

10

3

，

在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M

过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．

则△EOF∽△NHD′

设点N坐标为（a，﹣

210

33

a-），

∴OE

NH

=

OF

HD'

，即

5

210

4()

33

a

---=

10

3

2a

-

，

解得：a=﹣2，

则N点坐标为（﹣2，﹣2），

求得直线ND′的解析式为y=

3

2

x+1，

当x=﹣

3

2

时，y=﹣

5

4

，

∴M点坐标为（﹣3

2

，﹣

5

4

），

此时，DM+MN22

D H NH

'+22

46

+13

点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．