全等三角形辅助线技巧
注意全等三角形的构造方法
搞清了全等三角形的证题思路后， 还要注意一些较难的一些证明问题， 只要构造合适
的 全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了?下面举例说明几 种常见的构造方法，供同学们参考. 1 ?截长补短法
例1.如图（1）已知：正方形 ABCD 中,
求证：AB+BE=AC
由已知△
AEF ^A AEC, ???/ F=Z ACE=45）, ??? BF=BE ?- AB+BE=AB+BF=AF=AC
解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB,由已知
△ ABE BA AGE, ? EG=BE, / AGE=Z ABE,： / ACE=45o, ? CG=EG,
? AB+BE=AG+CG=AC 2 .平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对
Rt △,有时可作出斜边的中线.
例 2. △ ABC 中，/ BAC=60 , / C=40° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P , BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q , 求证：AB+BP=BQ+AQ
证明：如图（1），过 O 作 OD// BC 交 AB 于 D , ?/ ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80°，又???/ AQO=/ C+/ QBC=80°,
???/ ADO=/ AQO ，又I/ DAO=/ QAO , OA=AO,
? △ ADO BA AQO ,「. OD=OQ , AD=AQ ，又T OD / BP,
? / PBO=/ DOB ，又 T/ PBO=/ DBO, ?/ DBO=/ DOB ,
? BD=OD,「. AB+BP=AD+DB+BP
解法（一） （补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC F
=AQ+OQ+BO=AQ+BQ
说明：⑴本题也可以在 AB 截取AD=AQ ,连0D ,
构造全等三角形，即“截长补短法” ? ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： ① 如图（2）,过0作OD // BC 交AC 于D ,
则厶ADO ^A ABO 来解决.
② 如图（3）,过0作DE// BC 交AB 于D ,
交AC 于丘，则厶ADO ^A AQO ,A ABO ^A AEO 来解决.
如图（4）,过P 作PD // BQ 交AB 的延长线于D ,的同学自己研究）
3 .旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 例 3.已知：如图（6） , P ABC 内一点，且 PA=3, PB=4, PC=5,
求/ APB 的度数.
分析：直接求/ APB 的度数，不易求，由 PA=3, PB=4, PC=5, 联想到构造直角三角形.
B
略解：将厶BAP 绕A 点逆时针方向旋转 60°至厶ACD,连接PD, 则厶 BAP ^A ADC,「. DC=BP=4 ： AP=AD,Z PAD=60°,
2 2 2
又??? PC=5 PD +DC =PC 图
（6）
???△ PDC 为 Rt A , / PDC=90o 「./ APB=Z ADC=Z ADP+Z PDC=60° +90o=150o .
Bp
C
图(3)
则厶APD ^A APC 来解决.
④如图（5），过P 作PD// BQ 交AC 于D ,
则厶ABP ^A ADP 来解决. （本题作平行线的方法还很多，感兴趣
D
O
P
图P (4)
A
4. 倍长中线法
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三
角形内。
例4.如图（7）AD是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE 求证：AC=BF
证明：延长AD至H使DH=AD,连BH,v BD=CD,
/ BDH=Z ADC, DH=DA,
???△ BDH^A CDA ??? BH=CA / H=Z DAC,又T AE=EF
???/ DAC=Z AFE,vZ AFE=Z BFD,「./ AFE= 图（7）
/ BFD=Z DAC=Z H,「. BF=BH, ? AC=BF
5. 翻折法
若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形.
例5.如图（8）已知：在厶ABC中，/ A=45o, AD丄BC,若BD=3, DC=2,
求：△ ABC的面积.
解：以AB为轴将△ ABD翻转1800,得到与它全等
的厶ABE以AC为轴将△ ADC翻转1800,得到
与它全等的△ AFC, EB FC延长线交于G,易证
四边形AEGF是正方形，设它的边长为X,贝U BG
2 2 2
=x—3, CG=x- 2,在Rt A BGC中，（x-3）+ （x-2）=5 . 1
解得x=6,则AD=6,「. S=—x 5X 6=15
2 图（8）
F G