高中数学阶段常见函数性质汇总.docx
高中阶段常见函数性质汇总函数名称:常数函数
解析式形式:f(x)=b (b∈R)
图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于X轴或与X轴重合(垂直于y轴)的直线定义域:R
值域:{b}
单调性：没有单调性
奇偶性：均为偶函数［当b=0时，函数既是奇函数又是偶函数］
反函数：无反函数
周期性：无周期性
函数名称:一次函数
解析式形式:f (X)= kx+b ( k ≠ 0, b ∈R)
图象及其性质：直线型图象。Ikl越大，图象越陡；Ikl越小，图象越平缓;
当b=0时，函数f(x)的图象过原点；
当b=0且k=1时，函数f(x)的图象为一、三象限角平分线；
当b=0且k=-1时，函数f(x)的图象为二、四象限角平分线;
函数f (x)为R上的增函数；
函数f (x)为R上的减函数；
函数f (x)为奇函数；当b≠ 0时，函数f(x)没有奇偶性；
［特殊地，当k=-1或b=0且k=1时，函数f (x)的反函数为原函数
函数名称:反比例函数
k
解析式形式:f(x)= k(k≠0)
X
图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f(x)的
图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f(x)的图象分别
在第二、第四象限；
双曲线型曲线，X轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；
图象成中心对称图形，对称中心为原点；
图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y=x、y=-x；
定义域:(0「：)
值域:(0「：)
单调性：当k>0时，函数f (X)为(」：,0)和(0「：)上的减函数; y l.
b f(x)=b
f (X)本身］
当k<0时，函数f (X)为(-：：,0)和(0/::)上的增函数;
- dx +b ex — a
2a
a
d 图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线
y 、直线X
相交，当k>0时，函数f (x )的图象分
C C
a
d
别在直线y 与直线X
形成的左下与右上部分；当 k<0时，函数f (x )的图象分别
C
C
到的
定 义 域: 值 域: ( = ,a ) (-/::)
C C
单 调 性:
当be-ad 0时，函数在(-二，-d )和(-?d 上均为减函数;
C
C
当be 「ad ：：： 0时，函数在和(-上均为增函数;
C
C
奇 偶 性：非奇非偶函数
奇 偶 性: 奇函数 反 函 数: 原函数本身 周 期 性: 无
函 数名 称: 变式型反比例函数 解析 斤式形 式: f (x )= ax b (C ≠ 0 且 d ≠0)
CX d
C C
双曲线型曲线，直线
y = —与直线 X=「—分别是曲线的两条渐近线;
C C
图象成中心对称图形， 对称中心为点 (￥ ；
C C
由于 f(x)∕x b
ex + d
(CXd) ^ad -C C
CX d
a + d 丄 a —
d
y = x 、 y 二 _X C
C b —邑
C
be-ad _C _ +θ Xg C C
人 be —ad
令k =
—，则 C
k a f (X):
d C X — C
进而函数 f (x )的图象可以看成是由函数 y = k 向左平移d 个单位，向上平移3 X C C
个单位得
a
d
在直线y 与直线X
形成的左上与右下部分;
图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为
无
图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为
X b ，顶点坐标为
2a
2
b 4a
c - b （ , ）或（k,h ）,与y 轴的交点为（0,c ）；
2a 4a
③ 当厶=b 2 -4ac 0时，函数图象与X 轴有两个交点，当= b 2-4ac = 0时，函数图象 与X 轴有一个交点，当F ： =b 2 -4ac ：：： 0时，函数图象与X 轴没有交点； ④ 横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当
a 0时，横坐标距对称轴近则函数值小，
当a ：：： 0时，横坐标距对称轴近则函数值大；
2 2
⑤函数f (x) =ax bx C(^J 0)均可由函数f (x) = ax (a = 0)平移得到;
定 义 域：R
单 调 性：当a 0时，（_：：,_巴］上为减函数，［一卫，；）
上为增函数; 2a 2a
当a ：：： 0时，［…—，；）上为减函数，
（-：：,…—］上为增函数;
2a 2a
奇 偶 性：当b = 0时，函数为偶函数；当 b = 0时，函数为非奇非偶函数
函数 名称: 二次函数
解析式 形式: 一般式：
f (X) = ax 2 bx c (a = 0)
顶点式： f (X) = a ( x 一 k )2 h (a = 0)
两根式： f (X ) = a (x-xj (X 「x 2)(a = 0)
②当a 0时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点
4ac-b 2、 ^^)；
当a ：：： 0时,
抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点
(E
4ac -b 2 4a
域：当a 0时,
值域为(4ac —— √ :=)；
4a
当a ：：： 0时，值域为（一：：
4ac - b 2 4a
交，只是无限靠近;
1)
f(x)=
反函数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周期性：无
函数名称:指数函数
解析式形式:f （X） = a x（a 0,a = 1）
图象及其性质：①函数图象恒过点（0,1）,与X 轴不相
1
② 函数f(x)=a x 与f(x)=(—)x =a *的图象关于y 轴对称；
a
③ 当a 1时，y 轴以左的图象夹在在直线 y = 1与X 轴之间，y 轴以右的图象在直线 y =1 以上；当O ：：： a ：：： 1时，y 轴以左的图象在直线 y = 1以上，y 轴以右的图象夹在在直线
y = 1
与X 轴之间；
④第一象限内，底数大，图象在上方; 定 义 域： R 值 域: (0,二)
单 调 性：当a O 时，函数为增函数；当 a ：：：0时，函数为减函数; 奇 偶 性：无 反 函 数：对数函数 f (X )= log a x (a 0,a = 1) 周 期 性：无
函数名称:对数函数
解析式 形 式:f (X ) = log a x (a 0, a = 1) 图象及其性质：①函数图象恒过点
(1,0),与y 轴不相交，只是无限
靠近；
②函数 f (X)= IOg a X 与 f (x) =IOg I X- - IOg a X 的
a
图象关于X 轴对称;
③ 当a 1时，X 轴以下的图象夹在在直线 x =1与y 轴之间，X 轴以上的图象在直线 x = 1 以右；当0 ：：：a ：：：1时，X 轴以下的图象在直线 x = 1以右，X 轴以上的图象夹在在直线 X = 1 与y 轴之间；
④ 第一象限内，底数大，图象在右方；
定 义 域:R 值
域:(0,=)
单 调 性：当a 0时，函数为增函数；当 a ：：：0时，函数为减函数; 为两函数互为反函数］ 奇 偶 性：无
Y
反 函 数：指数函数 f (Y )= a (a 0, a = 1) 周 期 性：无
函数名称:对钩函数
f(X)=Iog a x(0 ：： a 1)
［与系数函数的单调性类似，因
f(χ)=log a X(a 1)
解析式形式：f (X) = X ■
图象及其性质：①函数图象与y轴及直线y=x不相交，只是无限靠近；
②当X 0时，函数y = f (X)有最低点(1,2),即当x=1时函数取得最小值f (1) = 2 ；
③当X ：：： O时，函数y = f (x)有最高点(-1,-2),即当X = _1时函数取得最大值
f(-1) 一2 ；
定义域:(一匚jO) (0, E Q)
值域: (-：：,—2] [2,=)
单调性：在(-：：，-1]和[1,=)上函数为增函数；在[-1,0)和(0,1]上函数为减函数;
奇偶性：奇函数
反函数：定义域内无反函数
周期性：无
2. 3函数单调性(考点疏理+典型例题+练习题和解析)2. 3函数单调性【典型例题】
例1. (1)设函数f (x) =(2a - 1)x ?b是R上的减函数，则a的范围为(D)
A J ”1 1 1
A. a B . a C . a D . a ：：—
2 2 2 2
提示：2a -1<0时该函数是R上的减函数.
2
⑵函数y = X bx C(^ [0√-))是单调函数的充要条件是(A )
A . b_0
B . b_0
C . b 0
D . b ： 0 提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象
(3)已知f (x)在区间(-：-,=-)上是减函数，
A. f(a) f(b^-[f(a) f(b)] B a, b R且a ? b 一0 ,则下列表达正确的是( f (a) f (b)辽f (—a) f (—b)
C. f(a) f(b) 一-[f(a) f(b)] D . f (a) f (b) 一f (-a) f (-b) 提示：a ?b^0可转化为a b和b _-a在利用函数单调性可得.
(4)如下图是定义在闭区间上的函数y = f (x)
的图象，该函数的单调增区间为[-2,1]和[3,5]
提示：根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并
⑸函数y—?X2?2X-3的单调减区间是(-：：，-3]
提示:结合二次函数的图象，注意函数的定义域. 例2.画出下列
函数图象并写出函数的单调区间
(1) -X2 2| x| 1 (2) y -x2 2x 3|
如图所示，单调增区间为 (-二，-1］和［0,1］,单调减区间为［-1,0］和［1, ?：：) (2)当—X 2 2x 3_0,得一仁 X 乞 3 ,函数 y r-χ2 2X 3 = -(X -1)2 4
当一X 2
2x 3 ：： 0,得X —1或X
3 ,函数 y = X 2 -2x -3 = (x -1)2 -4
-(X -1)2 4 (-1 _x _3) (X 一1)2 -4 (x ：：： -1或 X 3)
如图所示，单调增区间为［-1,1］和［3,：：］,单调减区间为(V ,-1］和［1,3］
■ I ;;' 「丨丨在 ；.’〔」〕I 上是减函数.
贝 U f (为)一 f (X 2) = X 23 -X 13 = (x 2 - M)(X 22 X 1X 2 为
2
)
因为X I : X2
所以X^X 1 0 ,且在 X l 与X 2中至少有一个不为 0,
不妨设
X 2 = 0 ,那么 x 22 x 1x 2 x 12 = (x 1 ? ^^)2
~ X 22
0，所以f (X 1) f (X 2)
故f (X)在(Y ■；?：：)上为减函数 例4.设f (X)是定义在
R 上的函数，对 m 、n? R 恒有f (m ? n) = f(m) f( n),且当X . 0时,
. f (X) < 1。
(1)求证： f(0)=1 ;
(2)证明：X F R 时恒有 f (x) 0 ;
(3)求证： f (X)在R 上是减函数； (4)若f(x) f (2 -x) ?1 ,求X 的范围。
1 1 1 1
解：(1)取 m=0, n=—则 f(— 0) = f (―)-f(0),因为 f (―) 0 所以 f (0) =1 2 2 2 2 (2)设 X ：： 0 则-X 0 由条件可知f(-x) ?o
又因为 1 = f (0) f (x -x) = f(x)-f (-x) 0 ,所以 f(x) 0 ??? X ? R 时，恒有 f (x) ? 0
(3)设 X 1 ：：： X 2 则
f (Xj - f (X 2)= f (X 1) - f (X 2 - X l Xj = f (X 1) - f (X 2 -x 1)f(x 1)
=f (xj[1 - f(X 2 - X 1)]
因为 X 1 ：：： X 2所以 X 2 -X 1 0所以 f (x 2 -N )：： 1 即 1 - f (X 2 -X 1) 0 又因为 f(x 1)
0 ,所以 f (N )[1 - f (X 2-^)] 0
所以f(x 1) - f(X 2) ?0 ,即该函数在R 上是减函数. (4)因为 f(X) f(2 -X) 1 ,所以 f(x) f (2-x) = f(2x -X 2) f (O)
所以2x - X 2 ：：：0 ,所以X 的范围为X ?2或X <0
χ2
解：⑴y = ^x 2 卜
X
2x 1 (X _0) -2x 1 (X < 0)
■ ■
2 -(X -1)
2 (x_0) 1
2
-(X 1) 2 (x ::：
0)
(1) (2)
例3 ?根据函数单调性的定义，证明函数 证明：设 x 1,x 2? R 且 x 1 ：：： X 2
【课内练习】
1下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(D ).
3
A. y - -3x 2 B ?y C . y = x2-4x 5 D. y = 3χ2 8x-10
X
提示：根据函数的图象?
2. 函数y_x2_2X 3的增区间是(A ).
A. [ -3, -1] B . [ -1,1] C . (-：：,-3) D . [-1,：：)
提示：注意函数的定义域?
3. f(x^x2 2(a -1)x 2在(-二，4]上是减函数，则a的取值范围是(A )
A. a <-3 B . a _ —3 C . a 乞5 D . a _ 3
提示：考查二次函数图象的对称轴和区间端点.
4.若函数f (X)在区间［a ,b］上具有单调性，且f (a) _f (b) ：：： 0,则方程f (x) = 0在区间［a , b］上 (D)A .少有一个实数根 B .至多有一个实数根 C .没有实数根 D .必有唯一的实数根
提示：借助熟悉的函数图象可得.
5.函数y = -χ2-6x+10的单调增区间是(-°0,—3］,单调减区间［—3,母) 。
提示：画出二次函数的图象，考虑函数对称轴.
6. 若f (χ)2χ2 -mx ? 3当x ?［-2, ?：：)时是增函数,当x ?-2］时是减函数,则f (1) = 13
提示：由题可知二次函数的对称轴是X =…2可求出m的值.
1 2 八帀：④ y"f(χ)]2.
7. 已知f(x)在定义域内是
减函数，且f(x)>0,在其定义域内下
列函数为单调增函数的为②③
① Xa f(x)(为常数)：②y =a - f(X)( a为常数)：③
提示：借助复合函数的单调性
&函数f(x^a x IOg a(XI)在［0,1］上的最大和最小值的和为 a ,则a=1
"2"
1
提示：f(x)是［0,1］上的增函数或减函数，故f(0) f (1>a ,可求得a= —
2
9 .设f(x)是定义在(0,=)上的单调增函数，满足f (xy) = f (X) ? f(y), f(3) =1 求：(1) f (1); (2)当f(X)+ f(X —8)
≤2 时X 的取值范围.
解:⑴ 令χ=y=1 可得f(1)=0 (2)又2=1+仁f (3) f (3) = f(9)
由f(x) f(x-8) E2,可得f［x(x-8)］岂f(9)
因为f (X)是定义在(0, ?：：)上的增函数，
所以有X 0且x-8 0且x(x-8)乞9 ,解得：8 ：：： X乞9
10 .求证：函数f (x^ x -(a 0)在(、.a, ■：：)上是增函数X
证明：设x1X^ a则
f (Xj - f(X2) =(X1 旦)-(X2 旦)=(X1 -X2)(1 L)=(X1 -X2)(xx2 a)
X1X2X1X2X1X2
当X1X2■ a 时X1-X2AO , X1X2AO, X1X2>a ,所以f(x1)- f(x2) AO
所以函数f(x) =x ? a(a 0)在Ca, ■)上是增函数X
2. 4函数的奇偶性(考点疏理+典型例题+练习题和解析)
【典型例题】
例1.( 1)下面四个结论中，正确命题的个数是( A )
①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是
f (O) =O ;③偶函数的图象关于 y
轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f (x ) =0 (X ∈ R).
A . 1
B . 2
C 3
D. 4
1
提示：①不对，如函数f (X )
2是偶函数，但其图象与 y
轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可
X
能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f (X ) =0〔x ∈(- a , a )〕，答
案为A .
(2)已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，且其定义域为［ a —1, 2a ］,则(
)
1
A . a =
, b = 0 B . a - -1 , b = 0 C . a =1 , b = 0 D . a =3 ,
b = 0
3
提示：由f (x) =ax 2 bx 3a b 为偶函数，得 b = 0.
1
又定义域为[a —1, 2a ], .?? (a -1) + 2a =0 ,??. a=—.故答案为 A .
3
R 上的奇函数，当X _0时，f(x) =X 2 -2X ,贝V f (X))在R 上的
B .
f (X)
f (x) = - f ( -X )= -(x 2 2x) =x(_x _2)
(x _0)
,即 f(x)=x(∣x ∣-2),答案为 D.
(X < 0)
1 -.x
2 _0_ — ⑵ =X 2 =1= X =" , ? f (x) ^0 ? f(x)既是奇函数又是偶函数.
2(3) 已知f (X)是定义在 表达式是( ) A . y =x(x -2) 提示：由X 亠0时， 当 X V 0 时，-X 0
仪(X — 2)
? f (X)=
1x(-x-2)
y=x(∣x ∣ 2) C . y=|x|(x_2) D . y = x(∣x ∣-2) x 2 -2x , f(x)是定义在R 上的奇函数得：
(4) 已知 f (X) =x 5+ax 3+bx —8 ,且 f(—2)=10 ,那么 f (2)等于 二26
+bx 为奇函数，f(—2)十8=18 , ? f (2) +8=—18 , ? f(2) =-26 .
1 1 f(x) g(x) ,贝U f(x)的解析式为 * x_1 H
1 1 联立 f(xΓH g(X)= 「得:
-X -1 X -1
提示：f (x) 8 = X 5 ax 3
(5)已知f (X)是偶函数, g(x)是奇函数，若
提示：由f(x)是偶函数, g(x)是奇函数，可得
f (X) 一 g(x)
1 X
2 - 1
1 1 1 1 f (X)=-(一 -)厂,?
f (X)=
2 X — 1 -χ —1 χ-1
例2.判断下列函数的奇偶性：
f(x) =(x-1 )伫 ；(2)
f (x) = ■ 1 - X 2
χ
2
T ；
lq(1—X 2) ∣x 2+x (X ￡0)
f (X)=——L ； (4) f(χ) =
2
. | X 2 —2 | —2
J-X +x
(x >0)
1 X
(1) (3)
解: (1) 由
0 ,得定义域为［-1,1),关于原点不对称，?
f(x)为非奇非偶函数.
1 -X
■ - 2 2
(3)由打X
得定义域为(-1,0)
(0,1) ,??? f(χ)=J g 21 泡
Ig(I
；X ),
Jx 2—2|—2 Ho
_(X 2_2)—2
X
2 2
??? f (_x )-!g l CZX )J = _I g (LL X J = f(χ) .?. f (χ)为偶函数
(-x) X
(4) 当 X ：: 0 时,-X 0 ,则 f (_x) = _(_X )2 一 X = _(X 2 x) = 一 f (x), 当 X 0 时，—X ：：:0,则 f (_x) =(_X )2 —X =_(—X 2 X)= —f (X), 综上所述，对任意的 x?(」：，?：：)，都有f(-x) f (X) ,? f (X)为奇函数. 例3?若奇函数f(x)是定义在(_1, 1)上的增函数，试解关于
a 的不等式：
f (a -2) f (a 2 -4) <0 .
解：由已知得 f (a _2) ：：： —f (a 2 —4) 因 f(x)是奇函数，故
—f (a 2 -4) =f (4 -a 2),于是 f (a - 2) ：：： f (4 -a 2). 又f(x)是定义在(-1, 1)上的增函数，从而
例4.已知定义在 R 上的函数f (X)对任意实数X 、y ,恒有f(x) f(y^f (X y),且当X 0时，f(x)：：：0, 又f ⑴=
3
(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f (X)在R 上是减函数；(3)求f (X)在[-3 , 6]上的最大值与最 小值. (1) 证明：令 X = y = 0 ,可得 f (0) f (0) = f (0 0) = f (0),从而，f(0) = 0 . 令 y 「-X ,可得 f(x) f(-x) = f(χ -x) H f(O)=υ ,即 f (-χ) - - f (X ),故 f (X)
为奇函数.
(2) 证明：设 X 1, X 2 ∈ R,且 X l X 2 ,则咅-X ? 0 ,于是 f % - X ?) ：：： 0 .从而
f (X 1) - f(X 2) = f[(X 1 -X 2)X 2]
- f(X 2) = f (X 1 f) f (X 2)
- f (X 2) = f (X 1 - X 2)：： 0
所以，f(χ)为减函数. (3)
解：由(2)知，所求函数的最大值为 f( - 3),最小值为f(6).
f(-3)=-f(3) =~[f(2) f(1)]=?[2f(1) f(1)H-3f(1^2
f (6) - -f (-6) - Tf (-3) f (-3)] - -4
于是，f(x)在[-3 , 6]上的最大值为2,最小值为-4 .
【课内练习】
1 .下列命题中，真命题是(
C )
1
A 函数y
是奇函数，且在定义域内为减函数
X
B. 函数y=χ3(x-1)°是奇函数，且在定义域内为增函数
C. 函数y =X 2是偶函数，且在(-3, 0)上为减函数 D 函数y=ax <(ac=0)是偶函数，且在(0, 2)上为增函数
?■ 2
a -2 ：：：4 -a
-1 ：：：a -2 ：：：1 = \
-3
：：
：
I √5 ：：： a ?；：■ ；3或?. 3 ：：：a ：：： 5 C?3 2).
.3 ：：： a ■■■ 2
1
提示：A 中，y
在定义域内不具有单调性； B 中，函数的定义域不关于原点对称；
D 中，当a ：：：0
时，
X
2 y=ax ?c(ac=O)在(0, 2)上为减函数，答案为 C.
2.若(x) , g(x)都是奇函数，f(x) a (x) bg(x) ■ 2在(0,+∞)上有最大值
5，贝U f (x)在(一
∞, 0)上有( A.最小值—5 )
B.最大值—5 C
.最小值—1
D.最大值—3
提示：(x)、g(x)为奇函数，??? f(x) - 2 = a "X )? bg(x)为奇函数. 又f (x)有最大值5,
?— 2在(0,+∞)上有最大值 3.
3.
定义在R 上的奇函数f (x)在(0, +∞)上是增函数，又
f(-3) = 0 ,则不等式Xf(X) ：：： 0的解集为(A )
A. (— 3, 0)∪( 0, 3) B . ( —∞, — 3)∪( 3, +∞) C. (— 3, 0)∪( 3, +∞)
D. ( —∞, — 3)∪( 0, 3)
提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解?答案为 A.
4. 已知函数y=f(x)是偶函数，y =f(x -2)在［0, 2］上是单调减函数，则(A )
A. f (0) < f (-1^：: f (2)
B. f (一1) ：：: f (0厂：：f(2)
C. f(-1^:: f (2) ：：： f (0)
D.
f(2)：：： f (-1)：：： f (0)
提示：由f (X — 2)在［0, 2］上单调递减，?
f (x)在［—2, 0］上单调递减.
??? y =f(x)是偶函数，? f(x)在［0, 2］上单调递增.又f(_1) = f(1),故应选A.
5.已知f(x)奇函数，当X ∈ (0,1)时，f (χ)=∣g 1 ,那么当X ∈ (— 1, 0)时，f (x)的表达式是∣g(1 — X .
1 +x _ 1
提示：当 X E (— 1, 0)时，-X ∈( 0, 1), ? f (x )=_f (_x )= _lg ——= lg(1—x).
1 -x
2 — a + x 6?已知 f(x)=log
3 是奇函数，则 a 2007 + 2007a = 2008 .
a — X
提示：
2-a 2 —a f (0) -log 3
0 ,
1 ,解得：a =1 ,经检验适合，a 2007 2007a =2008 .
a
a
7.若 f (X)是偶函数，当 X ∈ :0,+∞)时，f(x)=x-1 ,则 f(x10：：：的解集是{X |0 ：： X ：：
2 提示：偶函数的图象关于 y 轴对称，先作出 f (X)的图象，由图可知 f(x)：：：0的解集为 {x ∣-1 ：：x ：：：1}, ??? f(x -1) ：：0的解集为{x ∣0 ：：x ：：2}.
&试判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)^x ?2∣ ?∣x-2∣ ；
(2) f(χ)J 11x ［ ；
( 3) f(x) =凶(x-1)° .
∣x 十3| _3
X
解：(1)函数的定义域为 R f(-x)斗-X ? 2∣ ? I -x-2∣=∣x-2| ? ∣x ? 2戶 f(x), 故f (X)为偶函数.
f
(X )=—
= —— , f (—X )=—f (X )，故 f (X)为奇函数.
x+3∣-3
X
' 丿
-X
V J
(3)函数的定义域为(-∞, 0) ∪ (0 , 1) ∪ (1 , +∞),它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函 数. 9.已知函数 f(x)对一切 Xd R ,都有 f (X ? y) = f(χ) ? f (y),若 f(-3)=a ,用 a 表示 f (12). 解：显然f (x)的定义域是R ,它关于原点对称.在
f(χ ? y) f(x) f (y)中，
f (x) — 2在(一“,0)上有最小值— 3,??? f (x)在(—a , 0)上有最小值—
1.答案为C.
⑵由 0
Q x +3|七式0 得: -仁X 叨且x=0 ,定义域为［-1, 0)
(0, 1］,关于原点对称,
2
令
y 二-X ,得 f (O) = f (X) f (―χ), 令 X =y =0 ,得 f(0) = f(0)
f(0) ,??? f(0) =O ,
??? f (X) f ( _x) =0 ,即 f (_x) r-f(χ) , /. f(x)是奇函数. ?.? f (_3) =a , ??? f (12) =2f (6) =4f (3) - _4f(_3) = ? ?4a .
ax 2 +1
10?已知函数 f(x)= —(a, b, c? Z)是奇函数，又，f(1)=2 , f (2) ：：: 3 ,求 a 、b 、C 的值. bx +c 解：由 f( _x) - _f (x)得 _bx c - -(bx c) ?c=0.又 f (1) = 2 ,得 a 1 =2b ,
4a +1