2019届高三开学模拟数学理试题答案Word版2.1doc(数理化网)

江苏省扬州中学2019届高三开学

数学I 试题

注意事项：

1．本试卷共160分，考试时间120分钟；

2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I e＝．

2.己知复数i

z -=

，则z 的虚部为． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为．

4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．

5．函数2

2log (32)y x x =--的定义域为．

6.己知 53)sin(=

+απ，且 α2sin 2<0，则 )4

tan(π

α+的值为． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于．

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .

9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(122

22a b

y a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，

直线B0与双曲线C 的右支交于点M 。若直线AB 的斜率为3,直线AM 的斜率为1，则双曲线

C 的离心率为．

10.已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L

1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(27)2019m m a b +-=

，则m 的值为．

11.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13

AB →.若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．

12.在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+= 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是．

13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围

是．

14.设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若?x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A A B C D -中，已知平面⊥C C AA 11平面,A B C D 且3===CA BC AB ,1==CD AD .

(1)求证：;1AA BD ⊥

(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .

1A E C

D B

D 1

B 1

C 第15题

16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC ＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．

（1）若3

x π=

，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值；（2）若x ∈[0，2

]，向量BC m =，n =(1cos x -，sin 2cos x x -)

，

求m n ?的最小值及对应的x 值．

17. 如图，一楼房高AB

为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌BC 边与水平方向的夹角为60?，安装过程中，米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；

（1）试将tan θ表示为x 的函数；（2）求点E 的位置，使θ取得最大值．

18. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(32-,0)，F 2(32，0)，点E 在椭圆C 上，且∠F 1EF 2=

60°， 124EF EF ?=u u u v u u u v .

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过x 轴正半轴上一点M 作直线l ，交椭圆C 于A B 两点。问：是否存在定点M

，使当直线l 绕点M 任意转动时，22

+||||

AM BM 为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，说明理由。

19. 设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。如果存在实数a 和函数

)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P 。

(1)设函数)(x f 2

ln (1)1

b x x x +=+>+，其中b 为实数。

(i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。

(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，

21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。

20.已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列. 数列{a n }的前n 和为n S ，且满足5452S a a =+，934a a a =+. （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）在数列{a n }中，若12,,m m m a a a ++成等差数列，求整数m 的值；（3）是否存在正整数m ，使得

221

m S S -恰好是{a n }的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在说明理由.

数学II 试题（附加题）

1.求曲线1x y +=在矩阵M ＝1 010 3??

??????

对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．

2.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知

直线l

的参数方程为12 (x t t y =-

?=??????

为参数）

，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；

（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，设点()1,0P ，求1

PA PB

的值．

3.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；

4.记函数2()1,1,22!!n

n x x f x x n n =+++???+=???

（1）证明：4()0f x >；

（2）证明：当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根；当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根.

江苏省扬州中学2019届高三开学

1．{1，2，4，5} 2.1 3．64 4. 1

6 5． ()3,1- 6. 7

7. 27 8.

9．2 10. 10m =． 11. 10 解析：由已知BD ＝2，AD ＝1，设DC ＝x ，∠BDC ＝θ，则DB →·DC →

＝2xcos θ＝3.

又4＝4＋x 2－4xcos θ，可得x ＝6，cos θ＝6

4，则在△ADC 中，AC 2＝12＋(6)2－2×1×6

×?

???－

64＝10，故AC ＝10. 12. 4,3??-+∞ ??? 13． 83? ? 14.解析设F (x )＝f (x )－x 2

2，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，

故函数F (x )＝f (x )－x 2

2是(－∞，0)上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，

F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 2

2是奇函数，

所以函数F (x )＝f (x )－x 2

2是(－∞，＋∞)上的单调递减函数.

由题设中f (x )＋2≥f (2－x )＋2x 可得F (x )≥F (2－x )，解得x ≤1，

由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x ＋3x －a 在(－∞，1]上有解，即a ＝e x ＋2x 在(－∞，1]上有解，

令h (x )＝e x ＋2x ，x ∈(－∞，1]，则h ′(x )＝e x ＋2>0，

故h (x )＝e x ＋2x 在(－∞，1]上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e ＋2。

15证明：⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，

又平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C

平面ABCD AC =，

BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，

又因为1AA ?平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．

⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，

又因为在四边形ABCD 中，AB BC CA ==1DA DC ==，所以60ACB ∠=?，30ACD ∠=?，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，

因为DC ?平面11D DCC ，AE ?平面11D DCC ，所以AE

平面11D DCC ．

16. 解：（Ⅰ）设

(,0)D t （01t ≤≤），又

(22C

所以

(,)22OC OD t +=-+ 所以

22211

||1

22OC OD t t +=

++=+……………3分

((01)22

t t =-

+≤≤

所以当

2t =

时，||OC OD +最小值为2

………………6分

（Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==

则

1cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ?=-+-=-- 1)

x π

=+ ……………9分因为[0,]2x π

∈,所以

52444x ππ

π≤+≤

……………10分

所以当

2x π

，即

8x π

时，sin(2)

x π+取得最大值1

所以

8x π

时，1)

4m n x π

?=+取得最小值1

所以m n ?的最小值为18x π

…………………………14分

17. 解析：（1）作CG AE ⊥于G ，作FH AB ⊥于H ，交CG 于M ，

作BN CG ⊥于N ，则CFM BFH θ=∠-∠；在直角BCN ?中，4BC

=，60CBN ∠=?，则2BN =，CN =；在直角CFM ?中，

有tan CM CN NM CFM MF AE BN +∠=

- 在直角BFH ?中，有tan BH BFH HF ∠=

∴

tan tan

tan tan()

1tan tan

CFM BFH CFM BFH

CFM BFH θ

∠-∠=∠-∠=

+∠?∠

再由题意可知：监理人员只能在G点右侧，即(2,)

x∈+∞．………………………7分（2）由（1

）得：

tan

21080

x x

；

令18

t x

=+，则(20,)

t∈+∞；

∴

tan

1440

(18)2(18)108038144038

t t

t t t t t

θ===

---+-++-

当且仅当

1440

即t=

x=；

又易知：θ是锐角，即(0,)

θ∈，而tan

yθ

=在(0,)

θ∈是增函数；

∴当18

x=时，θ取最大值．■…………………………14分

18.

19. [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

（1）(i)'()f x 222

121

(1)(1)(1)

b x bx x x x x +=-=-+++ ∵1x >时，2

()0(1)h x x x =

>+恒成立，

∴函数)(x f 具有性质)(b P ；

(ii)（方法一）设2

2()1()124

b b x x bx x ?=-+=-+-，()x ?与)('x f 的符号相同。

当2

10,224

b b ->-<<时，()x ?0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；

当2b =±时，对于1x >，有)('x f 0>，所以此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；

当2b <-时，()x ?图像开口向上，对称轴12

x =

<-，而(0)1?=，对于1x >，总有()x ?0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；（方法二）当2b ≤时，对于1x >，222()121(1)0x x bx x x x ?=-+≥-+=-> 所以)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；

当2b >时，()x ?图像开口向上，对称轴12

x =>，方程()0x ?=的两根为：

22b b +，而

1,(0,1)22b b >=

当x ∈时，()x ?0<，)('x f 0<，故此时)(x f 在区间

上递减；同理得：)(x f 在区间24

[,)b b +-+∞上递增。

综上所述，当2b ≤时，)(x f 在区间),1(+∞上递增；

当2b >时，)(x f 在2

4(1,)b b +-上递减；)(x f 在24[,)b b +-+∞上递增。

(2)（方法一）由题意，得：22

'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=- 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，

所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增。又1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--。当1

,12

m m >

≠时，αβ<，

且112

212

(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-，

综合以上讨论，得：所求m 的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，()g x 的导函数2

'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立。所以，当1x >时，2

'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区

间),1(+∞上单调递增。

①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，

12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由()g x 的单调性知()g α、()g β12((),())g x g x ∈，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设。

②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，

2）在数列{a n }中，若a m =a 2k ，则由a m +a m+2=2a m+1，得2×3k-1

+2×3k

=2（2k+1）．化简得4?3k-1

=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．

若a m =a 2k-1，则由a m +a m+2=2a m+1，得（2k-1）+（2k+1）=2×2×3k-1

化简得k=3k-1

，令T k ＝

13k k -（k∈N *

），则T k +1?T k ＝11120333

k k k k k k -+--=< 因此，1=T 1＞T 2＞T 3＞…，故只有T 1=1，此时K=1，m=2×1-1=1．正整数m 的值为1．

2221(1)11223

0333

m m m m

m m m m T -+---++=-=<，因此2341T T T =>>>??? 所以只有2T 满足，此时22,2m L a === 综上，存在正整数1m =和2m =，使得

221

m S S -恰好分别是{a n }的3a 和2a

数学II 试题（附加题）

1.解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任意一点，在矩阵

10103M ??

?= ? ???对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103x

x y y ??'???? ?=???? ?' ???????，所以003x x y y ='??='? ……5分所以曲线1x y +=在矩阵

10103M ??

?= ? ???对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=，……8分所围成的图形为菱形，其面积为

122

2233??= .……10分 2.（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；

（2

）将12

2x y ??==?-????

（t 为参数）代入曲线C

的方程，得23=0t -，

12t t ∴-=

，1212113

t t PA PB t t -∴

+==

． 3．解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（i =1，2，…，13）．根据题意，1()13i P A =，且()i j A A i j =?≠I …………………………2分

（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58B A A =．

∴5

8582()()()()13

P B P A A P A P A ==+=…………………………4分）

（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且

367

367114(1)

()()()()()13

P X P A A A A

P A P

A P A P A ===+++=，

131212134(2)()()()()()13

P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=

5(0)1(1)(2)13P X P X P X ==-=-==

∴X 的分布列为：

故X 的数学期望5441201213131313

EX =?+?+?= (10)

4. 解：（1）'43()()f x f x =,2

'2311()1(1)0222

x f x x x =++=++>，3()f x 是R 上的的单调

增函数。

33(0)10,(3)20f f =>-=-

4()f x 在()0,x -∞递减，在()0,x +∞递增，0

4030()()04!

x f x f x =+>，4,()0x R f x ∴∈>

（2）证明：用数学归纳法证明0)(12=-x f n 有唯一解12-n x 且严格单调递增，0)(2=x f n 无实数解。

①当n=1时，此时x x f +=1)(1有唯一解11-=x ，且严格单调递增，而2

1)(2

2x x x f +

+=无实数解，

②现在假设0)(12=-x f n 有唯一解12-n x 且严格单调递增，0)(2=x f n 无实数解，

2122()(),()=0n n n f x f x f x +'=无实数解，所以2()0n f x >恒成立，所以21()n f x +单调增

因为21(0)10n f +=>，当，21,x n =--23221

10,0,,0

2!3!(2)!(21)!n n x x x x x n n ++≤+≤???+≤+，

所以

21(21)0

n f n +--≤

所以21()n f x +有唯一解

21n x +，

22212121()()0(22)!n n n n n n x f x f x n ++++++=+>+ 综上所述，对任意正整数n,当ｎ为偶数时0)(=x f n 无解，当ｎ为奇数0)(=x f n 有唯一解n x 。

………………8分