高等工程数学训练题
《高等工程数学》训练题
I 、矩阵论部分
1、 在线性空间V=R 2
×2
中，???
?
??=???? ??=???? ??=???? ?
?=1111,0111,0011,00
014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α??
?=∈
???
，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为????
??
?
??---d d
c c b b a 。 2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1,
α2, α3)，V 2=L(β1, β2)，
(1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。
解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换
??
?
??
?
?
??-→???????
??--→??????? ??--→????
??
?
??--→???????
?
?---==00000
010*******
11321
010000200010110113215155052550101
1011321'202
2
0525
505155
011
32
1311413011126027111321)(21321T
T T T T A ββααα
∴r(A)=3
∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3
可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基
(2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2
∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。
3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明
（1）dimT(V)+dimker(T)=n 。（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则
rankT=dimT(V)=r(A)。
证：令t=dimker(T)
取12,,,t αααL 是ker(T)的一个基，扩充得121,,,,,t t n ααααα+L L 是V 的一个基。 下证1t n T T αα+L 是T(V)的一个基 （略）
4、设V=R 2中线性变换
T 1在基???? ??=???? ??=12,2121αα下的矩阵为1223?? ???
， 线性变换T 2在基???? ??=???? ??=21,1121ββ下的矩阵为3324??
??? (1)求T 1+T 2在基β1,β2下对应矩阵；
(2)设????
??=33δ，求δ1T 在基α1,α2下的坐标；
(3)求δ2T 在基β1,β2下的坐标。 思路：T1在基β1,β2下的矩阵B 1
解：(1) ∵)(3111211ααβ+=???? ??=，2120121ααβ+=???
? ??= ∴()()?????
?
??=0311312121ααββ 即从{}21,αα到{}21,ββ的过渡矩阵为?????
?
??=031131C 设T1在基β1,β2下的矩阵B 1，则 B 1=C -1A 1C ，其中 11223A ??
= ???
。
所以 1
11111561233.21123100333B -????
??
? ?
?? ? ? ?== ? ?-- ? ??? ???
? ?????
从而 T 1+T 2在基β1,β2下对应矩阵为 56893324132433??
???? ? ?+= ? ? ?--?? ? ?
????
。 [ 或设()()C 2121ααββ=，即C ???
?
??=???? ??12212111，求出C
1
*11a b d b C C C ad bc C c d c a -????-=?==
? ?--??
??]
(2) ∵2133ααδ+=???
?
??=
∴21111ααδT T T +=
∵1112
1112121212
212(,)(,)2323T T T T αααααααααα?=+???=??
?=+???? ∴()()212121153322ααααααδ+=+++=T
∴δ1T 在基21,αα下的坐标为????
??53
(3) ∵1333βδ=????
??=
∴1223βδT T =
又()()????
??=4233212212ββββT T
∴???+=+=21222
1124323ββββββT T
∴21122693βββδ+==T T
∴δ2T 在β1,β2下的坐标为???
? ??69
5、证明：Hermite 阵属于不同特征值的特征向量一定正交。
证：设n n C A ?∈,A A H =
λ1, λ2是A 的两个互异的特征值，对应的特征向量分别取x 和y ， 则Ax=λ1x ，Ay=λ2y (θθ≠≠∈y x C y x n ,,,) ∵A 为Hermite 阵 ∴R ∈21,λλ
∴y H Ax=y H (Ax)=y H (λ1x)= λ1y H x
另一方面，y H Ax=y H A H x=(Ay)H x=(λ2y)H x=x y H 2λ=λ2y H x ∵λ1y H x=λ2y H x ∴(λ1-λ2) y H x=0 ∵λ1-λ2≠0 ∴(x,y)= y H x=0 ∴x 与y 正交。
6、设???
?? ??-=110026011A ，求P 将A 相似化简为 Jordan 标准型J 。
解：分析，取???
?
?
?
?=????? ??--=32
1
001
00
400011001λλλJ (λ1=λ2=-1, λ3=4为A 的特征值)，设P=(x 1,x 2,x 3)——可逆阵，
()()()()()()()1112
12122133333112
123333211
112
33是A 对应的特征向量
是A 对应的特征向量，是的一个非零解Ax x x P AP J AP PJ Ax x x Ax x x A E x x A E x A E x x A E x A E x A E x x A E x λλλλλλλθλθλθλθ
λλθ-?=+?
=?=?=--??
=--??-=??
?-=??-=-=???-=??
?-=??
-=??
即可求P 。
7、已知???????
??
?
??---=???? ?
?=111111111121J J A ，求A 100 解：设f(λ)= λ100，则A 100=f(A)=
12(1)(1)(1)(1)
(1)(1)()2!()(1)(1)(1)(1)
(1)(1)2!1
10011009910012
1
100110099
10012f f f f f f f J f J f f f f f f ??- ?'-- ? ?''-''- ??? ?= ? ? ??
? ?
' ?
?'''
?????
?
- ?
?
?-
?
?= ? ?
?
?? ??
?
注：当n
n C
A ?∈为一个普通方阵时，计算f(A)的步骤
(1)求A 的Jordan 标准形??????
?
??=S J J J J O
2
1 (2)求一个可逆阵P ，使得
(
)
1
11211211-------==?=?=?=?=P
PJ PJP
A P PJ PJP PJP A PJP A J AP P k k
k
Λ
(3)
(
)1
1
221011102210)()(----=++++=++=+++=P
J Pf P
J
b J b J b E b P P PJ b PJP b E b A b A b A b E b A f m
m m m m m ΛΛΛ
8、设n n C A ?∈，f(λ)是A 的任一零化多项式，m(λ)是A 的最小多项式，试证明：m(λ)| f(λ)。
证：用m(λ)作除式，f(λ)作被除式，两多项式相除，设商式为g(λ)，余式为r(λ)，则f(λ)= m(λ)q(λ)+ r(λ) （这里r(λ)≡0或r(λ)是一个次数比m(λ)低的非零多项式） 下证：r(λ)≡0
反证，r(λ)是一个比m(λ)次数低的非零多项式。
设r(λ)的最高次项系数为k(k ≠0)，令)(1
)(1λλr k
r =
∴r 1(λ)是首一多项式，且0)(1
)(1==A r k
A r
∴r 1(λ)是A 的首一零化多项式，而且r 1(A)与r(A)同次，均比m(λ)次数低，这与m(λ)为A 的最小多项式矛盾！
∴r(λ)≡0，m(λ)| f(λ)。
9、设 34302C i x ∈???
?
? ??+-=，则
{}5
43,0,2max 295027502430222221=+-==++==++=+++-=∞
i x
x i x
10、设3)()
(121
sin )1(312C k i k k i k k k
k x
k k ∈????????
?
??+-++
+=(k=1,2,3…)，则 *)(02132lim x i i x k k =????
?
??++=→∞
。
11、设???
?
? ??=????? ??----+-=111,42414311x i i i
i A ，其中i 2=-1，求12,,A A Ax ∞
解：{}{}76,7,7max 4,241,4311max ==+-+--++-++-+=∞i i i i A
{}98,9,3max 1==A
2
3434,
4i Ax i Ax
??+ ?=-+=
=
? ?-??
12、已知3131313A ??
? ?= ? ?
??，求①e A , ②e At , ③sinA 解：①设()()()()z z f z e f z f z f z e '
'''''=?=== ∴()
33333333
3
3(3)(3)(3)(3)(3)(3)2!2(2)(3)
(3)(3)3!2!6
2
A e f e e f f f e e f A f f e e f f e e f f e e ??
??
? ?
' ? ?
? ?''===' ? ? ? ?
? ?'''''' ?
?????
②令()zt f z e = （z 是自变量，t 为某固定字母）
23(),(),()zt zt zt f z te f z t e f z t e ''''''===
∴()
2222222322222(2)(2)(2)(2)(2)(2)2!2(2)(2)
(2)(2)3!2!6
2
t t t t At t t t t
t
t e f te e f f f t e e f A f f te e f f t e t e f f te e ??
??
? ?
' ? ?
? ?''===' ? ? ? ?
? ?'''''' ?
?????
③设()sin ,()cos ,()sin ,()cos f z z f z z f z z f z z ''''''===-=- ∴
(2)sin 2(2)(2)cos 2sin 2(2)sin 2sin ()(2)(2)cos 2sin 22!2(2)(2)cos 2sin 2
(2)(2)cos 2sin 23!2!62f f f f A f A f f f f f f ???? ? ?' ? ? ? ?
''==='- ? ? ? ?
? ?''''''-- ? ?
????
注：当n
n C
A ?∈为一个普通方阵且()R A <ρ，求f(A)的步骤：
①求出A 的Jordan 标准形??????
?
?
?=S J J J J O
2
1
； ②求一个可逆阵P ，使得11--=?=PJP A J AP P ； ③()11)(])([lim lim )(--∞
→∞
→===P J Pf P J Pf A f A f m m m m 。
()
11)()(--==P J Pf PJP f A f 。
13、（方阵函数的谱方法计算）已知?????
??-=111020113A ，求e At 解：????
?
??=????
?
?=21022~21
J J J A 设zt e f(z)= （z 为自变量，t 为某固定字母），()λλb a +=T 则()zt f (z)e ,t T b λ''==
令(2)(2)(2)(2)T f T f ?=?''=?得222t t a b e b te ?+=?=?，解得22(12)t
t
a t e
b te
?=-?=? ∴22()(12)
t t T a b t e te λλλ=+=-+ 22213111()()(12)102001011111At
t t
t t t t e f A T A aE bA t e te e t t t ??
????
-+- ?
? ?===+=-+= ? ? ? ? ? ?-??
????
14、已知2222222200
(1)(1)t t At
t t t t t t e e e te t e te te te t e ??- ?=+ ? ?--??
，求A
解：∵()At
At e Ae '
=，又()
()()()()()2222222400
12(32)12121212t t At
t
t t
t t
t e e e t e t e t e t e t e t e ??- ?'
?=+++
? ?
+-+-?
?
∴()
00
0300||131111At At t t A A E A e Ae e ==??
?'=?=?=== ? ?-??
。
15、证明：,,,a b R k R +
?∈∈ ,k
a b ab k a a ⊕==o ,+
R 是实数域R 上的线性空
间。
[证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性
唯一性显然
若0>x ,0>y , R k ∈，则有
x +∈=R xy y ，+∈=R x x k k ο 封闭性得证。
②八条性质
（1）x y (x z xy yz x z ()()()===)y z （2） x y yx xy y ===x
（3） 1是零元素 x x x =?=11 [x 1=→=→=O x xO x O ]
（4） x 1是x 的负元素 x 111=?=x x x [O y x =+] （5） x k (ο)()()x k y x xy y k k k ο===)(y k ο [数因子分配律] （6） )()(x k x x x x l k l k l k οο===++)(x l ο [分配律] （7） x kl x x x l k kl k l οοο)()()(=== [结合律] （8） x x x ==11ο [恒等律] 由此可证， +R 是实数域R 上的线性空间。
16、设（1）110A 0012??????????－＝22（2）33A 613??
????????
－－1＝－7－11－
求可逆矩阵P ，使得P －
1AP 是Jordan 标准形
解：（1）A 的特征值为1231λλλ＝
，＝＝2 对应的特征向量是：121,ααT
T
＝(，0,-1)＝(0,0,1)
二级根向量是：(2)
2
αT ＝(-1,1,0) (2)
122101(,,0110002102P P AP ααα--??
??=??
????
??
??=??
????
1)＝0-1100
（2）A 的特征值为123λλλ＝＝＝2 对应的特征向量是：11αT
＝(，2,1)
二级根向量和三级根向量是：(2)(3)11,ααT T
＝(1,3,3)＝(0,2,2)
(2)(3)111110(,,3232102102P P AP ααα-??
??=??
????
??
??=??
????
1)＝21200
17、设A 10??-??????
＝0101，计算方阵多项式8542
()34g A A A A A I -++-＝2
解：因为：
854253232
()34
(245914)(21)(243710)
g λλλλλλλλλλλλλ-++-=+-+--++-+＝2
而3
()(21)f λλλ=-+是A 的特征多项式 ，所以f （A ）＝0
故有2
34826()437100
956106134g A A A I --??
?-+=- ? ?-??
＝2 18、设822254245A --??
?=-- ?
?--??
，求实对称矩阵B ，使2
A B =。 解：
()2
1238
22
2
5
490, 92
4
5E A λλλλλλλλλ----=---=-?===---
()()110001, 2, 2T
E A X λλ=?-=?=u u r
()()()23239902, 2, 1, 2, 1, 2T
T
E A X λλλλ==?-=?=-=-u u r
u u r
单位法：12212213212Q ??
?
=- ? ?-??
为正交矩阵。
()1
2
2
000099 33 99330 33-????????
? ? ? ?=?==== ? ? ? ?
? ? ? ???????????????
?==?? ? ??????
?Q T T T T T T Q AQ A Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q E Q Q B 08221325433245--???? ? ?
?==- ? ? ? ?--????
T B Q Q
19、已知21A i =??
+??
试求第12|||| ||||||||A A A A ρ∞，，，（） 解：
122||||max{2||||max{312136
5531215511655||176650(16)(1)
5511
||||4
H
H A A i i i A A i i i i
I A A i A λλλλλλλ∞====+-+??????==??????-+-??????----==-+-=---+-=因所以
又
2213
||(1)1624
2
12()12
i
I A i
A λλλλλλρ-+--=
=-+-=-----+=
=
20、设A
是n 阶方阵，||||A 是诱导范数，证明当||||1A <时，
1
||||1||||
I A A -≤
--1()。 证明：若I -A 不可逆，则（I -A ）x=0有非零解，即有0≠x 满足
||||||||||||||||||||x x A Ax x x Ax <≤=?=，矛盾。 故I - A 可逆，
由||||||||
||||||||1||||||||
||||||||||||1
1
||||1||||1||||
I A I A I I A I A A I I A I I A A I A I I A A I I A A I A A I A I A A A I A A --?--?-+-∴-=+-≤+-≤+-∴---≤<-≤
-Q g g -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1()()=()-()=()=()()()()()()()由得()
II 、数理统计部分
试卷1
一、1.设)1(,,,21>n X X X n Λ是取自总体X 的一个样本，则样本方差=2
S ________________，样本k 阶原点矩k A =______________________。 2.小概率原理（实际推断原理）指：
_________________________________________________________________。
3. 若2
~(),_______,()______X n E X D X χ==则有（
）。 4. 设12,,,n X X X L 是取自总体X 的一个样本，1122n n C X C X C X +++L 是总体X 数学期望的无偏估计，则12,,,n C C C L 满足的关系是_________________。
5. 设总体),(~2
σμN X ，若μ和2
σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为
α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________。
二、选择题
1. 设总体X 服从于二项分布p p n B 其中),,(是未知参数，n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，则下面不是统计量是（ ）。
（A ）2
1__
)(1∑=-n i i X X n （B ）)
1(1p np np X n
i i --∑=
（C ）1X （D ）51+X
2.在假设检验中，设1H 为备择假设，犯第一类错误指的是（ ）。
(A) 1H 真，接受1H （B ）1H 真，拒绝1H （C ） 1H 不真，拒绝1H （D ）1H 不真，接受1H
3. ()12,,,2n X X X n ≥L 为来自()0, 1N 的简单随机样本，则下列结论正确的是
（ ）。
()()()()
()()()()()()22212
2
~0, 1 ~11
~1 ~1, 1n i
i A nX N B nS n n X n X C t n D F n S
X
χ=----∑
三、计算题
1. 设随机变量X 的概率密度为：?????<<=其他θθx x x f 0,
0,
2)(2，其中未知
参数.1,0,1321==-=x x x ，n X X ,,1Λ是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。
2. 设4321,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的一个样本.其中θ未知。设有
估计量 )(3
1
)(6143211X X X X T +++=
， )(4
1
43212X X X X T +++=
. (1) 证明21,T T 都是θ的无偏估计。 （2） 比较21,T T 哪个较为有效？
3. 设,1,,9i X i =L 是来自正态整体X 的简单随机样本，已知
()11261, 6
Y X X X =++L ()()922
27892711, 32i i Y X X X S X Y ==++=-∑（1）求
()12E Y Y -、()12D Y Y -
（2）
求)
12Y Y Z S
-=分布。
4. 设12,,,n X X X L 为总体20~(,)X N μσ的样本，2
0σ已知.假设检验00:,H μμ=
11:H μμ=，其中01,μμ已知.如果0||X a μ->（0a >已知），则否定0H ；
如果0||X a μ-≤，则接受0H . （1） 求犯第一类错误的概率α； （2）求犯第二类错误的概率β.
5. 设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1Λ为取自总体X 的样
本， 若已知)2(~2
21
n X U n
i i χθ
∑==
，求： （1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。
)585.42)32(,985.44)31((210.0205.0==χχ。
四、证明题
假定
()
12, X X 来自正态整体()
2~0, X N σ的一个样本，求证
()
()
2
122
12(1,1).X X F X X +-:。
答案
一、1 2
11()1n i i X X n =--∑；1
1n k i i X n =∑ 2 概率很小的事件在一次试验中几乎不会发生。 3 n 2n 4 1231C C C ++= 5 n
S n t )
1(2
-α
二、1 B 2 D 3 D
三、1. 解：(1) θθ
θ32
2)()(0
2
2
===??∞
+∞-x d x
x d x f x X E ， 令θ32)?(==X X
E ，得X 2
3?=θ为参数θ的矩估计量，的矩估计值为0。 (2)似然函数为：),,2,1(,022),(1
212
n i x x x x L i n
i i n
n
n
i i
i Λ=<<=
=∏∏
==θθ
θ
θ，
， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{?21n X X X Λ=θ，
的极大似然估计值为1。
2. （1）)(31)(6143211X X X X T +++=
，111
()2263
E T θθθ=+= θθ
同理，)(4143212X X X X T +++=
，21
()()4E T θθθθθ=+++= （2）2221115()2236918D T θθθ=
+=，22211
()4164
D T θθ==， 所以 21T T 比有效。
3.解（1）
()()()
()()121212678911
063
E Y Y E Y E Y E X X X E X X X -=-=
++-++=L ()()()
()()121212678922211
36911633692D Y Y D Y D Y D X X X E X X X σσσ-=+=
+++++=?+?=L （2）
)()212120
~, ~0, 12Y Y Y Y Y Y N N σμσ---??-?=
???
)
)
()()
12120, 1~0, 10, 1 ~
~
~1 3Y Y Y Y N Z S
S
N N t n n σσ
--?=
=
-=
4. 解 （1）00{||}P X a H αμ=->真，当0H 真时，2
00(0,
)X N n
σμ-:，故
00{}{}P X a P X a αμμ=
-<-+->
(1
=Φ+-Φ
021??=-Φ
???
.
由于0
Φ单调增加到1(),n →∞故当样本容量越大时，会犯第一类错误的概
率越小.
（2）01{||}P X a H βμ=-≤真，当1H 真时，2
01(,
)X N n
σμ:，从而
00{}P a X a βμμ=-≤≤+
00
=Φ-Φ
5. 解：(1) ,1)2(2,1)2(222
αχθαχθ
αα-=??
????????>∴-=?????
? 即θ的单侧置信下限为) 2(22 n X n αχθ= ； （2）706.3764585 .425010 162=??= θ。 四、解( )()()2 221 212~0, ~0, 2; ~0, 2i X N X X N X X N σ σσ?+- ( )( )()2 2 ~0, 1;~0, 1~1; N N χ? ()2 2~1χ ()( ) ()2 2 1 22 2 121~1, 1.X X F X X +?=- 试卷2 一、 填空题 1. 总体),,(~2 σμN X )1(,,,21>n X X X n Λ是取自总体X 的一个样本，Λ 2 σ = 21 1 1)(∑-=+-n i i i X X c 是2σ的一个无偏估计量，则=c ____________。 2. 简单随机样本是指相互________且同______的一组随机变量。 3. 在2 χ检验中，若n 充分大（n >50）,有r 个被估计的参数，不论0H 中的分布属于什 么分布，则当0H 为真时，统计量∑=-=k i i i i np np f 1 2 2 )(χ总是近似地服从自由度为 ________的2χ分布。 4. 如果样本观察值m X X X ,,,21Λ的频数分别为m m n n n n n n n +++=ΛΛ2121,、、 、，则样本均值=__ X ___________________. 5、设12(,,,)n X X X L 是取自总体(1,)B p 的一个样本，其中[0,1]p ∈但未知，则p 的无偏估计的方差Rao Cramer -下界为____________________. 二、 选择题 1、 设12(,,,)n X X X L 是取自总体X 的简单随机样本，2 σ为总体X 的方差，以 1 1 n i i X X n == ∑表示样本均值，2 21 1 ()1 n i i S x X n == --∑表示样本方差，则下列不成 立的是 （A ）2 (,)X N n σμ: （B ） X 是μ的相合估计 （C ） 2S 是2 σ的无偏估计 （D ）2S 是2 σ的相合估计 2. 设总体X 的数学期望为n X X X ,,,,21Λμ是取自总体X 的简单随机样本，则下列命题正确的是（ ）。 （A ）1X 是 μ的无偏估计量 （B ）1X 是 μ的最大似然估计量 （C ）1X 是 μ的相合估计量 （D ）1X 不是 μ的估计量 3. 在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是_______ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4. 对正态总体N ),(2 σμ（σ未知）的假设检验问题：1:,1:10>≤μμH H ，若取显著水平05.0=α，则其拒绝域为（ ） （A ）05.0__ |1|μ> -X （B ）n S n t X ) 1(105.0__ -+> （C ）n S t X 05 .0__ |1|>- （D ）n S n t X ) 1(105.0__ --< 5. 设总体X 服从均匀分布],1[θU ，则θ的矩估计为（ ） （A ）__ X （B ）__ 2X （C ）12__ +X （D ）12__ -X 三、 计算题 1．设12,,,n X X X L 是来自几何分布 1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=< 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 2. 已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)μσX N ，222~(,)μσY N ，22 1212, , , μμσσ未 知，1 12(,,,)n X X X L 和2 12(,,,)n Y Y Y L 分别是来自X 和Y 的样本，求2 122 σσ的置信度为1α -的置信区间. 3. 设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<，其中未知参数1θ>-， 12(,,,)L n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 4. 已知总体X 的概率密度函数为1, 0 (),0, x e x f x θ θ-?>?=??? 其它其中未知参数0θ>, 12(,,,)n X X X L 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量． 5. 设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样 本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95 的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）. （附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t === 222 0.05 0.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ=== 6设总体为正态分布2(0,)N σ,试计算它的费希尔信息量。. 四、证明题 设总体2 1(,)X N μσ:、2 2(,)Y N μσ:，112(,,,)n X X X L 和212(,,,)n Y Y Y L 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2 2 X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明 12(2)X Y t n n +-:， 其中22 2 1212(1)(1)2 X Y n S n S S n n ω-+-=+-. 答案 一、1 1 2(1) n - 2独立 、分布 3 1n r -- 4 11m i i i n X n =∑ 5 (1)p p n - 二、1 A 2 A 3 C 4 B 5 D 三、计算题 1. 解 11 111 (,,;)(1)(1)n n i i i i i i n x x n x x n i L x x p p p p p ==--=∑∑= -=-∏L 1 1 ln ln ()ln(1),n n i i i i L x p X n p ===+--∑∑ 1 1 ln 0,1n n i i i i x X n d L dp p p ==-=- -∑∑@解似然方程 1 1 1n n i i i i x n X p p ==-+= -∑∑，得p 的极大似然估计 μ 1p X =。 2. 解：设2 2 , X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知 2 2 112 1(1)(1)X n S n χσ--:， 2 22222 (1)(1)Y n S n χσ--:， 由F 分布的定义可得 2 112 2212 122 2221 222 (1)(1)(1,1)(1)(1) X X Y Y n S n S F F n n n S S n σσσσ --= =----: 对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即 22222 121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-??<<=- ?----?? ， 所求222 1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222 1/212/212//, (1,1) (1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-?? ?----??． 3. 解： 1 (1)() , 01 () 0 , n n i i i x x L θ θθ=?+∏< 当01i x <<时，1 ln ()ln(1)ln n i i L n x θθθ ==++∑， 令 1 ln ()ln 01n i i d L n x d θθθ==+=+∑，得 1 ?1ln n i i n x θ ==--∑． 4. 解：（1）()10 1 ()x v E X xf x dx xe dx θ θθ- ∞ ∞ -∞ ====? ? ，用111n i i v X X n ===∑$代替， 所以 ∑=== n i i X X n 1 1 ?θ． （2）1 1?()()()()n i i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． 5. 解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为 /2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α=====