抛物线经典性质总结30条

抛物线性质30条

已知抛物线2

2(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’， BB ’垂直准线于B ’， CC’垂直准线于C ’，CC ’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K. 求证：

1.12||,||,22p p

AF x BF x =+

=+ 2.11

()22

CC AB AA BB '''==+；

3.以AB 为直径的圆与准线L 相切；

证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，

||||||||||2|

AB AF BF AA BB ''=+=+=4.90AC B '∠=o

；(由1可证) 5.90A FB ''∠=o ；

,,||||,,1,

2

AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠Q P Q 证明：

同理：1,2

B FK BFK '∠=∠得证. 6.1

C F A B 2

'''=.

证明：由90A FB ''∠=o

得证.

7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '证明：由1C F A B 2

'''=可知，1||||||,2C F A B C A '''''==

||||,.AF AA '=∴Q 又得证 同理可证另一个.

8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B ’F 平分BFK ∠. 证明：由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥；

证明：12

2121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅--u u u u v u u u v

222222

122112

21()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=

10.1cos P AF α=-；1cos P

BF α

=+；

证明：作AH 垂直x 轴于点H ，则||||||||||cos ,||1cos p

AF AA KF FH p AF AF αα

'==+=+∴=-.

同理可证另一个. 11.

112AF BF P

+=; 证明：由1cos P AF α=-；1cos P

BF α

=+；得证.

12. 点A 处的切线为11()y y p x x =+;

证明：（方法一）设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-，与2

2y px =联立，得

21122()0,ky py p y kx -+-= 由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=

解这个关于k 的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：111,2y p

k x y ==

得证. 证法二：（求导）2

2y px =两边对x 求导得11

22,,|,x x p p yy p y y y y ='''==∴=

得证. 13.AC’是切线，切点为A ；B C’是切线，切点为B ；

证明：易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+，点B 处的切线为22()y y p x x =+，解得两切线的交点为12(,)22

y y p C +'-

,得证. 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线，则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥

证明：设点(,)()2p

P t t R -∈为准线上任一点，过点P 作抛物线的切线，切点为2(,)2y Q y p , 22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22

PQ p p y t

yy p y K y ty p y y y p

p -''==

∴==∴--=+ 显然2

2

440,t p ∆=+>

切点有两个，设为2

22

221212(,),2,,2y Q y y y t y y p p

+==-则 1212

12

22222

2

12122222

22

FQ FQ y y py py k k y y y p y p p

p p p ∴-=

-

=

----- 1222

1212112212

22220,py py p p

y y y y y y y y y y =

-=-=++++ 所以Q 1Q 2过焦点. 2222222

2121212121212122

(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t p p p

+⋅=+-⋅+-=+++-++u u u u v u u u u v 22

2222222

22121212()2420,242424

y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=

12.PQ PQ ∴⊥

15.A 、O 、B '三点共线；B 、O 、A '三点共线； 证明：A 、O 、B '三点共线2211212112.222

OA OB y p p

k k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-

同理可证：B 、O 、A '三点共线.