(精校版讲义)高中数学必修五 第15讲 基本不等式(可直接打印)

第十五讲：基本不等式

【学习目标】

1. 理解基本不等式的内容及其证明.

2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.

【要点梳理】

要点一：基本不等式

1.对公式222a b ab +≥及2a b ab +≥的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.

2.由公式222a b ab +≥和

2a b ab +≥可以引申出常用的常用结论 ①2b a a b

+≥（,a b 同号）； ②2b a a b

+≤-（,a b 异号）； ③222

(0,0)1122a b a b ab a b a b ++≤≤≤>>+或22

2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 22

2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2

a b ab +≤. 要点二：基本不等式a +b ab 2≤

的证明 方法一：几何面积法

如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22

a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，

正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.

得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）

特别的，如果0a >，0b >,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得：

如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果0a >，0b >,2

a b ab +≤

，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法

∵2222()0a b ab a b +-=-≥，

当a b ≠时，2()0a b ->；

当a b =时，2()0a b -=.

所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.

要点诠释：

特别的，如果0a >，0b >,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得：

如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.

通常我们把上式写作： 如果0a >，0b >,2

a b ab +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点三：基本不等式2

a b ab +≤的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .

易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2CD CA CB =?，即CD ab =

. 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2

，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.

要点诠释：

1.在数学中，我们称2

b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把2

b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2

a b +≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

要点诠释：

1．两个不等式：222a b ab +≥与2

a b +≥成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)-+-≥?-?-是成立的，而

(3)(2)

2

-+-≥.

2．两个不等式：222a b ab +≥与2

a b +≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.

当a=b 取等号，其含义是2a b a b +=?

=；

仅当a=b 取等号，其含义是

2a b a b +==.

综合上述两条，a=b 是2

a b +=的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.

4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值.

5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

【典型例题】

类型一：对公式222a b ab +≥及2

a b +≥ 例1. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 .

（1）a b

++； （2）11()()a b a b ++的最小值为4；

（3）14

a a ++的最小值为2-. 【思路点拨】

利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵0a >，0b >，∴a b

++≥≥（当且仅当

2

a b ==时取等号）.

（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a b

a b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.

（3）∵0a >，∴11444244a a a a +

=++-≥=-++， （当且仅当144

a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124

a a +>-+ 【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.

举一反三：

【变式1】下列结论正确的是( )

A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x +

≥

B ．当x >02

≥

C ．当x ≥2时，1x x

+

的最小值为2 D ．当0

【变式2】设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≤1”是“||||x y +≤

( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】∵2|x ||y |≤|x |2＋|y |2＝x 2＋y 2≤1，

∴(|x |＋|y |)2＝x 2＋2|x ||y |＋y 2≤2.

∴||||x y +≤

取x ＝0，y =x 2＋y 2≤1，故是充分不必要条件．

类型二：利用基本不等式证明不等式

例2. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥

【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。

【解析】∵a 、b 、c 都是正数

∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）

0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）

0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）

∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.

【总结升华】

1. 在运用ab b a ≥+2

时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.

3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

举一反三：

【变式】已知x 、y 都是正数，求证：223333

()()()8x y x y x y x y +++≥.

【答案】∵x 、y 都是正数，∴0x >，0y >，20x >，20y >，30x >，30y >