江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题创新班[含答案]

江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（创新班）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在ABC ?中，7AC =，2BC =，60B =o ，则BC 边上的中线AD 的长为（ ）

A ．1

B ．3

C ．2

D ．7

2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、

左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A ．定

B ．有

C ．收

D ．获

3．直线cos 320x y α++=的倾斜角的范围是（ ）

A ．π[6，π5π

][26U ，π)

B ．[0，π5π

][66U ，π)

C ．[0，

5π

]6

D ．π[6，5π

]6

4．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错

误的是（ ） A ．1D O ∥平面11A BC

B ．1D O ⊥平面AM

C C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60?

D ．点B 到平面AMC 的距离为

2

5．已知直线2y x =是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，

(3，1)，则点C 的坐标为（ ）

A ．(－2，4)

B ．(－2，－4)

C ．(2，4)

D ．(2，－4)

6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水 柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45?，沿点A 向北偏东30?前进100 m 到达点B ，

在 B 点测得水柱顶端的仰角为30?，则水柱的高度是（ ）

A ．50 m

B ．100 m

C ．120 m

D ．150 m

7．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方

程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示（ ） A ．过点P 1且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线

C ．过点P 2且与l 平行的直线

D ．不过点P 2，但与l 平行的直线

8．如图，2π

3BAC ∠=

，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD y AE x y =+∈R u u u r u u u r u u u r

、，则x y +的取值范围是（ ） A ．[1，423]+ B ．[423-，423]+ C ．[1，23]+

D ．[23-，23]+

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β．若αβ∥，a α?，则下列四个结论中正确的是（ ）

A ．α与β内所有直线平行

B ．α与β内的无数条直线平行

C ．α与β内的任意直线都不垂直

D ．α与β没有公共点

10．已知ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A ．若

cos cos cos a b c

A B C

==，则ABC ?一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC ?一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC ?一定是等腰三角形

D ．若222+a b c >，则ABC ?一定是锐角三角形

11．下列说法正确的是（ ） A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B ．点(0， 2)关于直线1y x =+的对称点为(1，1) C ．过1(x ，1)y 、2(x ，2)y 两点的直线方程为

11

2121

y y x x y y x x --=--

D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=

12．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k -+-=∈N ．下列四个命题正确的是（ ） A ．存在k ，使圆与x 轴相切

B ．存在一条直线与所有的圆均相交

C ．存在一条直线与所有的圆均不相交

D ．所有的圆均不经过原点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程为 ． 14．已知圆1C ：229x y +=，圆2C ：224x y +=，定点(1M ，0)，

动点A 、B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ?∠=，则线段

AB 的取值范围 ．

15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若

2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，

则A ＝________，b ＋c ＝________. (本题第一空2分，第二空3分)

16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2

＋y 2

＝4上任

意

一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则1

2

S S 的最小值是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)

已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，

2π

3

B =

，3c =． ⑴求角C ；

⑵若点E 满足2AE EC =u u u r u u u r

，求BE 的长．

18．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点． ⑴求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；

⑵若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．

19． (本小题满分12分)

已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．

⑴证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；

⑵当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

20．(本小题满分12分)

树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点和B点处，AB BC a

==(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M CD

∈）方向以速度μ进行追击(μ为正常数)，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．

⑴求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积()

S a；

⑵若兔子要想不被狼吃掉，求θ(DAC

θ=∠的取值范围．

21．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21．

⑴求圆O1的标准方程；

⑵求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；

⑶已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长

分别为d，d1．若d

d1＝2，求证：直线l过定点．

22．(本小题满分12分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2，4)，圆O ：x 2

＋y 2

＝4与x 轴的正半轴的交点

是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ⑴若直线l 与y 轴交于D ，且DP →·DQ →

＝16，求直线l 的方程； ⑵设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；

⑶设AB 的中点为M ，点N （43，0），若MN ＝13

3OM ，求△QAB 的面积．

江苏省启东中学高一创新班数学答案（2020.4.8）

一：单项选择题：

1：D ，2:B ．，3:B.，4:D ， 5:C ，6:A ，7:C.，8：B . 二：多项选择题：

9: BD.10: AC.11:AB12: ABD 三：填空题：

13:3x －4y －41＝0.14:[132,132+-]15: （1）π

3 (2) 716:2－3 四：解答题：本题共6小题，共70分。 17：【答案】（1）6

C π

=

；（2）1BE =

【详解】（1）由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，

所以2sin sin sin B C B =.由于sin 0

2

B =

≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6

C π

=

.

（2）由正弦定理易知

sin sin b c

B C

==，解得3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v

，所以22

33

AE AC b =

=，即2AE =. 在ABC ?中，因为23B π=

，6C π=，所以6

A π=，

所以在ABE ?中，6

A π

=

，AB =2AE =

由余弦定理得1BE ===，所以1BE =.

18:解：(1) 如图，连结A 1C.

在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，

即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． 因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN∥BC. 又MN ?平面BB 1C 1C ，BC ?平面BB 1C 1C ， 所以MN∥平面BB 1C 1C.(6分)

(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC. 又AD ?平面ABC ，所以CC 1⊥AD. 因为AD⊥DC 1，DC 1?平面BB 1C 1C ， CC 1?平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1， 所以AD⊥平面BB 1C 1C.

又BC ?平面BB 1C 1C ，所以AD⊥BC. 又由(1)知，MN ∥BC ，所以MN⊥AD.

19: 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，

由?????

2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，

得?????

x ＝－2，

y ＝3，

所以直线l 恒过定点(－2,3)．

(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，

当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝1

5，所以直线l 的斜率k l ＝－5. 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.

20:答案, (2)

21:答案(1)(x －9)2

＋y 2

＝16；(2)y ＝－940x ＋49

8或x ＝5；(3)直线l 过定点(18,0)或直线l 过

定点(6,0)．

解析(1)由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16.

(2)①当切线的斜率不存在时，直线方程为x ＝5符合题意；②当切线的斜率存在时，设直线方程为y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋(5－5k )＝0，因为直线和圆相切，所以d ＝|5＋4k |

k 2＋1＝4，解得k ＝－940，从而切线方程为y ＝－940x ＋498.故切线方程为y ＝－940x ＋49

8或x ＝5

(3)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则圆心O ，圆心O 1到直线l 的距离分别为h ＝|m |

1＋k 2，h 1＝|9k ＋m |

1＋k 2，从而d ＝264－m 2

1＋k 2，d 1＝2

16－(9k ＋m )

2

1＋k 2.由d d 1＝2，得d 2d 21

＝64－m 2

1＋k 216－(9k ＋m )2

1＋k 2

＝4，

整理得m 2

＝4(9k ＋m )2

，故m ＝±2(9k ＋m )，即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ，因此直线l 过点定点(18,0)或直线l 过定点(6,0)． 22:答案(1)y ＝3x －2；(2)－1；(3)4.

解析(1)若直线l 垂直于x 轴，则方程为x ＝2，与圆只有一个交点，不合题意.(考虑特殊情形) 故l 存在斜率，设直线l 的方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0， 圆心到直线l 的距离d ＝|－2k ＋4|

k 2＋1，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ， 所以d ＝|－2k ＋4|k 2＋1<2，解得k >3

4.(求出k 的范围)

又D (0，－2k ＋4)，Q (2,0)，所以DQ →＝(2,2k －4)，DP →

＝(2,2k )，

所以DP →·DQ →＝4＋2k (2k －4)＝16，解得k ＝3或k ＝－1(舍去)，(利用条件DP →·DQ →

＝16，求出

k )

所以直线l 的方程为y ＝3x －2.(写出直线方程) (2)联立

，得(1＋k 2)x 2－4k (k －2)x ＋(2k －4)2－4＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (应用韦达定理)

所以k 1＋k 2＝y 1x 1－2＋y 2

x 2－2＝k (x 1－2)＋4x 1－2＋k (x 2－2)＋4x 2－2＝2k ＋4x 1－2＋4

x 2－2

＝2k ＋4(x 1＋x 2－4)

x 1x 2－2×(x 1＋x 2)＋49分(将k 1＋k 2等价变形，用x 1＋x 2，x 1x 2表示)

＝2k ＋4×? ??

??

4k (k －2)1＋k 2－4(2k －4)2

－41＋k 2－2×4k (k －2)1＋k 2＋4

＝2k －4×(8k ＋4)

16

＝2k －2k －1＝－1.即k 1＋k 2的值是－1. (3)设中点M (x 0，y 0)，则由(2)知 (*)

又由MN ＝133OM ，得? ????x 0－432＋y 20＝139(x 20＋y 20)，

化简得x 20

＋y 20

＋6x 0－4＝0，将(*)代入解得k ＝3.13分(利用条件MN ＝13

3OM ，求出k )

因为圆心到直线l 的距离d ＝|－2k ＋4|k 2＋1＝2

10，

所以AB ＝24－d 2

＝6510，(求出AB )Q 到直线l 的距离h ＝2

510，

所以S △ABQ ＝12AB ·h ＝125，即△QAB 的面积为12

5.