立体几何练习题(含答案)

立几测001试

一、选择题：

1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是

（ ）

A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行

B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交

C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行

D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行

2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定

3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( ) Ａ．

19 Ｂ．2

3

45 25

4．已知平面α

⊥平面β，m 是α的一直线，n 是β的一直线，

且m n ⊥，则：①m β⊥；②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( )

Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④

5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ）

( ) A.

R π42 B. R 3π C. R 2π D. 3

R

7. 直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题

(1)m l ⊥?βα// (2)m l //?⊥βα (3)βα⊥?m l // (4)βα//?⊥m l 其中正确的命题是

( )

A. (1)与(2)

B. (2)与(4)

C. (1)与(3)

D. (3)与(4)

8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 6

0π

α<

< B.

4

6

π

απ

<

< C.

3

4

π

απ

<

< D.

2

3

π

απ

<

<

9．ABC ?中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=?，ABC ?所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为( )

Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．13

10．在一个45?的二面角的一个平面有一条直线与二面角的棱成角45?，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )

Ａ．30? Ｂ．45? Ｃ．60? Ｄ．90?

11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF;

③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: ( )

Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④

12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6πcm,则地球仪的表面积为( )

A. 24πcm 2

B. 48πcm 2

C. 144πcm 2

D. 288πcm 2

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 直二面角α—MN —β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ?α，

一直角边AC ?β，BC 与β所成角的正弦值是4

6

，则AB 与β所成角大小为

__________。

14. 如图在底面边长为2的正三棱锥V —ABC 中,E 是BC 中点,若△VAE 的面积

是4

1

,则侧棱VA 与底面所成角的大小为

15．如图，已知矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，PA ⊥面ABCD 。

若在BC 上只有一个点Q 满足PQ QD ⊥，则a 的值等于______.

16. 六棱锥P —ABCDEF 中，底面ABCDEF 是正六边形，PA ⊥底面

ABCDEF ，给出下列四个命题

①线段PC 的长是点P 到线段CD 的距离； ②异面直线PB 与EF 所成角是∠PBC ； ③线段AD 的长是直线CD 与平面PAF 的距离； ④∠PEA 是二面角P —DE —A 平面角。 其中所有真命题的序号是_______________。

三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）

17．(本小题满分10分)

如图，已知直棱柱111ABC A B C -中，

1AA =M 是

90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，1BC =，

1CC 的中点。

求证：11AB A M ⊥

18．（本小题满分12分）

如图，在矩形ABCD

中，AB =

BC =沿对角线BD 将BCD ?折起，使点C 移到P 点，且P

在平面ABD 上的射影O 恰好在AB 上。 （1）求证：PB ⊥面PAD ； （2）求点A 到平面PBD 的距离； （3）求直线AB 与平面PBD 的成角的大小

19．（本小题满分12分）

如图,已知PA ⊥面,ABC AD BC ⊥,垂足D 在BC 的延长线上,且1BC CD DA ===

(1) 记PD x =,BPC θ∠=,试把tan θ表示成x 的函数,并求其最大值.

P

A Q C

D

A

B

C

1

B 1

A 1C M

A B

C

D

B

()

P C O

(2)在直线PA上是否存在点Q,使得BQC BAC

∠>∠

20. （本小题满分12分）

正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。求（1）棱锥的侧棱长；

（2）侧棱与底面所成的角的正切值。

21. （本小题满分14分）

已知正三棱柱ABC-A

1B

1

C

1

的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC

的中点，

（1）求证：AB

1

//平面C1BD;

（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值;

（3）求直线AB1到平面C1BD的距离。

22. （本小题满分14分）

已知A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上，∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6.

（1）证明平面BDE∥AO；

（2）求二面角A-EB-D的大小；（3）求三棱锥O-AA1D体积.

立测试001

答案

一．选择题：(每题5分,共60分)

二．填空题：(每题4分,共16分)

13. 60o 14. 4

1

arctan

15. 2 16. ①④ 三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）

17．(10分)解：【法一】90ACB ∠=?1111B C AC ?⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以11B C ⊥面1A C ，连结1A C ，则1AC 是1AB 在面1A C 上的射影

在四边形11AAC C 中，

111111AA A C A C C M ==，且1111

2

AAC AC M π

∠=∠=， 1111AAC AC M ∴??， 11AC A M ∴⊥ 11AB A M ∴⊥

【法二】以11C B 为x 轴，11C A 为y 轴，1C C 为z 轴建立空间直角坐标系

由1BC

=，1AA =，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，

易得1A ，A ，M ，1(1,0,0)B

1(1,AB ∴=，1(0,A M =

1103(02

AB A M ∴=++?

= 11AB AM ?⊥ 所以11AB A M ⊥ 18．解：（1）

P 在平面ABD 上的射影O 在AB 上，PO ∴⊥面ABD 。

故斜线BP 在平面ABD 上的射影为AB 。

又DA AB ⊥，DA BP ∴⊥，又BC CD ⊥，BP PD ∴⊥ AD PD D = BP ?⊥面PAD

（2）过A 作AE PD ⊥，交PD 于E 。

BP ⊥面PAD ，BP AE ∴⊥，AE ∴⊥面BPD 故AE 的长就是点A 到平面BPD 的距离 AD AB ⊥，DA BC ⊥ AD ?⊥面ABP AD AP ∴⊥

在Rt ABP ?中，AP =

=

在Rt BPD ?中，PD CD ==