简单的和差问题
和差问题
例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？
例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问
语文和数学各得了几分？
练习：三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？
例4甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32
名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？
练习：甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？
例5在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 9=5
课后作业
1.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？
2.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？
3.四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？多几人？
小结：和差问题的一般解题规律是：
（和+差）÷2=较大数较大数-差=较小数
或（和-差）÷2=较小数较小数+差=较大数
也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.
初一数学平方差公式专题提高训练
初一数学平方差公式专题提高训练 1．（2015春?莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算： （1）1232﹣124×122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b） 2．（2015秋?宁津县校级月考）探索题： （x﹣1）（x+1）=x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1 （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1 （1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1） （2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？ 3．（2014春?东海县校级期末）乘法公式的探究及应用 （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式； （4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）． 4．（2014春?江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形． （1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫． （2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 5．（2014春?宝安区校级月考）观察下列式子． ①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8； ②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；
③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24； ④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32． （1）求212﹣192=． （2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明． 6．（2014春?汕尾校级月考）看图解答 （1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（2）运用你所得到的公式，计算下题： ①10.3×9.7 ②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p） 7．（2014春?黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果； （2）求出它的末位数字． 8．（2013秋?无为县期末）计算下列各题： （1）填空：（x﹣1）（x+1）=．（x﹣1）（x2+x+1）=．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=．… （2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299． 9．（2013秋?安岳县期末）乘法公式的探究及应用： （1）如图1所示，阴影部分的面积是（写成平方差的形式） （2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是 （写成多项式相乘的形式）． （3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：． （4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+． 10．（2012春?阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y） 11．（2011春?泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205． 解：195×205
和差问题练习题(带答案)
简单的和差问题练习 上海琦锐：窦老师 1.两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克 第二筐为大数：(150+10)÷2=80（千克） 第一筐为大数：(150-10)÷2=70（千克） 2. 果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵 桃树为大数：(260+20)÷2=140（棵） 梨树为小数：(260-20)÷2=120（棵） | 3. 二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人 一班为大数：(85+3)÷2=44（人） 二班为小数：(85-3)÷2=41（人） 4.小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只 黑兔为大数：(22+4)÷2=13（只） 白兔为小数：(22-4)÷2=9（只） 5.两袋大米共重150千克,第二袋比第一袋多10千克,两袋大米各重多少千克 第二袋为大数：(150+10)÷2=80（千克） /
第一袋为小数：(150-10)÷2=70（千克） 6.某校男生、女生共816人，男生人数比女生人数多74人，男、女生各多少人 男生为大数：(816+74)÷2=445（人） 女生为小数：(816-74)÷2=371（人） 7.小红家养了30只鸡，母鸡比公鸡多8只，请问小红家养母鸡、公鸡各多少只 母鸡为大数：(30+8)÷2=19（只） 公鸡为小数：(30-8)÷2=11（只） 8.期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分，两人各考了多少分 · 王平为大数：(188+4)÷2=96（分） 李杨为小数：(188-4)÷2=92（分） 9.小明和小华在一次数学竞赛中，小明小华一共考了160分，小明比小华多得40分，小明和小华各得多少分 小明为大数：(160+40)÷2=100（分） 小华为小数：(160-40)÷2=60（分） 10.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油 甲桶比乙桶多：6+6=12（千克）或6×2=12（千克） 甲桶为大数：(30+12)÷2=21（千克） 乙桶为小数：(30-12)÷2=9（千克）
四年级简单的和倍问题与差倍问题练习教学文案
四年级简单的和倍问题与差倍问题练习
热身题: 和倍问题 （1）甲是乙的3倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。（2）甲是乙的4倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。（3）乙仓库存粮是甲仓存粮的2倍，甲乙仓库的和是（）倍。 （4）师傅生产的零件是徒弟的2倍，师傅和徒弟生产的零件总数是（）倍。 （5）故事书是科技书的2倍，故事书和科技书的本书之和是（）倍。 （6）练习本是方格本的3倍，练习本和方格本的本书和是（）倍。 和倍问题数量关系： 和÷（倍数＋1）＝1倍数 1倍数×倍数＝几倍数或和－1倍数＝几倍数 例题精讲：例1、根据线段图列式 例2、学校图书室买来科技书和故事书共24 本，其中故事书的本数是科技书的3倍。学 校图书室买来科技书和故事书各多少本？ 试一试： 1、某专业户养鸡、鸭共48只，其中鸭的只数是鸡的5倍，这个专业户养鸡、鸭各多少只？ 2、学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数是足球的2倍。学校买来篮球和足球各多少个？
3、果园里有苹果树和梨树共650棵，其中苹果树是梨树的4倍。问苹果树和梨树各多少棵？ 4、副食店中白糖的千克数正好是红糖的5倍，已知白糖和红糖共有180千克。副食店有白糖、红糖各多少千克？ 5、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 6、生产队养公鸡、母鸡共404只,其中公鸡是母鸡的3倍,公鸡和母鸡各多少只？ 差倍问题 数量关系：两个数的差÷（几倍—1）=较小的数 较小的数×几倍=较大的数或较小的数+两个数的差=较大的数 1、甲、乙两人共有150张画片，甲的张数比乙的2倍多30张，两人各有几张画片？ 2、王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？
平方差公式专题练习50题有答案
平方差公式专项练习50题（有答案） 知识点： (a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差 特点: 具有完全相同的两项 具有互为相反数的两项 使用注意的问题： 1、是否符合平方差公式使用的特点 2、判断公式中的“a ”和“b ”是一个数还是一个代数式 3、对“式”平方时要把全部平方，切忌出现漏乘系数的错误，如（a+2b ）（a-2b ）不要计算成a 2-2b 2 4、最好先把能用平方差的式子变形为（a+b ）（a-b ）的形式，再利用公式进行计算。 专项练习： 1．9.8×10.2 2.（x-y+z ）（x+y+z ） 3.（12x+3）2-（12 x -3）2 4.（2a-3b ）（2a+3b ） 5.（-p 2+q ）（-p 2-q ） 6.（-1+3x ）（-1-3x ） 7.(x+3) (x 2+9) (x-3) 8.(x+2y-1)(x+1-2y) 9.（x-4）（4+x ） 10．（a+b+1)（a+b-1） 11.（8m+6n ）（8m-6n ） 12． （4a -3b ）（-4a -3 b ） 13． （a+b)（a-b ）（a 2+b 2） 14． ． 15． ． 16． ． 17.． ，则
18. 1.01×0.99 19. 20. 21. 22. 23. 25. 26. 27. 28. 29.（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）=（4a2-b2）（4a2+b2）31.（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）． 32. 202 3 ×19 1 3 33.（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． 34.（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； 35.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 36. 2009×2007－20082． 37. 22007 200720082006 -? ． 38. 2 2007 200820061 ?+ ． 39．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）． 40.x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）， 41．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？ 42.先化简，再求值，其中
五年级数学下册 和倍、差倍问题教案 沪教版
和倍、差倍问题 教学目标： 1．在理解题意的基础上寻找等量关系，初步掌握列方程解两、三步计算的简单实际问题。 2. 掌握列方程，解含有两个未知数的应用题的方法。 教学重点：在理解题意的基础上寻找等量关系，初步掌握列方程解“和倍问题”。 教学难点：从不同角度探究解题的思路，初步体会利用等量关系分析问题的优越性。 教学准备：配套课件 教学设计： 一、情景引入 1. 创设情景：小胖、小丁丁、小巧、小亚平时都喜欢集邮。 出示例题2（1）： 小胖和小巧一共有232张邮票,小胖的邮票张数是小巧的3倍,小胖、小巧各有多少张邮票? 2. 寻找未知量与已知量之间的等量关系。 (1) 先读一读题目,找一找例题中告诉我们哪些条件,求什么问题。 (2) 学生回答,教师可画出相关的线段图。 (3) 分析:设小巧有x张邮票,那么小胖的邮票张数可以用3x表示。 (4) 未知量与已知量之间的等量关系是: 小巧的邮票张数+小胖的邮票张数=两人共有的邮票张数 3. 根据等量关系列方程解应用题。 解:设小巧有x张邮票,那么小胖有3x张邮票。 x+3x = 232 4x = 232 x = 58 3x= 3×58 = 174
答:小巧有58张邮票,小胖有174张邮票 (注意列方程解应用题的书写格式) 4. 进行检验 练一练 小胖将174张邮票放在大、小两本集邮册中,大集邮册中的邮票张数正好是小集邮册的2倍,这两本集邮册中分别有多少张邮票? 5．出示例题2（2）： 小胖的邮票张数比小巧多116张，是小巧邮票张数的3倍，小胖、小巧各有多少张？ (1) 分析: 设小巧有x张邮票,那么小胖的邮票张数可以用3 x表示。 (2) 根据题意,画出线段图。 (3) 未知量和已知量之间的等量关系是: 小胖的邮票张数—小巧邮票张数=相差张数 (4) 根据等量关系列方程解应用题。 解: 设小巧有x张邮票,那么小胖有3 x张邮票。 3x- x =116 2x = 116 x = 58 3x =3×58 =174 答: 小巧有58张邮票,那么小胖有174张邮票。 (5) 检验。 练一练： 6．商店里出售精装、平装两种集邮册。精装集邮册的售价是平装集邮册售价的1.8倍，比平装集邮册贵9.6元。这两种集邮册的售价分别是多少元？ 二、小结，你学到了些什么？ 三．巩固练习(寻找自己喜欢的等量关系,列方程解应用题) 1.妈妈给小巧买一套衣服一共用去135元，上衣的价格是裤子的2倍。上衣和裤子各是多少元？(画线段图) 2.花坛里有小红花、小黄花共126朵，小黄花的朵数是小红花的2.5倍。花坛里有小红花和小黄花各多少朵？ 3.小胖有大、小两本集邮册,大集邮册中的邮票张数比小集邮册多58张,正好是小集邮册中邮票
(完整版)平方差、完全平方公式专项练习题
平方差公式专项练习题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9； ④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 5．计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2． 6．利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变： 22007 200720082006 -?．（2）二变： 2 2007 200820061 ?+． 7．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4 …… （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+……+x n）=______．（n为正整数） （2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ② 2+22+23+……+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+……+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．
和差问题专项训练
和差问题 解答方法是：（和+差）÷2＝大数（和 - 差）÷2＝小数 1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？ 2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？ 3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？ 4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？ 5.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？ 6.甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？ 7.两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？ 8.今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？ 9.小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？ 10.甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？ 11.姐妹二人将自己平时积蓄的零用钱共450元存入银行。已知姐姐存款比妹妹多50元，姐妹二人各存款多少元？
和倍问题 已知两个数的和与两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做“和倍问题”。 两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和—小数=大数 1、学校将360本书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两年级各分得多少本图书？ 2、小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍，小红和小明分别有压岁钱多少元？ 3、学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本，二、三年级各得图书多少本？ 4、甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？ 5、小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给多少枝小宁后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？ 6、红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？ 7、甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？ 8、甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班级图书管理员又买来图书16本，怎么分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？ 9、被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是几？ 10、被除数和除数的和为120，商是7，被除数和除数各是几？ 11、被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是几？
四年级简单的和倍问题与差倍问题练习
热身题: 和倍问题 （1）甲是乙的3倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。 （2）甲是乙的4倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。 （3）乙仓库存粮是甲仓存粮的2倍，甲乙仓库的和是（）倍。 （4）师傅生产的零件是徒弟的2倍，师傅和徒弟生产的零件总数是（）倍。 （5）故事书是科技书的2倍，故事书和科技书的本书之和是（）倍。 （6）练习本是方格本的3倍，练习本和方格本的本书和是（）倍。 和倍问题数量关系： 和÷（倍数＋1）＝1倍数 1倍数×倍数＝几倍数或和－1倍数＝几倍数 例题精讲：例1、根据线段图列式 例2、学校图书室买来科技书和故事书共24本，其中故事书的本数是科技书的3倍。学校图书室买来科技书和故事书各多少本？ 试一试： 1、某专业户养鸡、鸭共48只，其中鸭的只数是鸡的5倍，这个专业户养鸡、鸭各多少只？ 2、学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数是足球的2倍。学校买来篮球和足球各多少个？ 3、果园里有苹果树和梨树共650棵，其中苹果树是梨树的4倍。问苹果树和梨树各多少棵？ 4、副食店中白糖的千克数正好是红糖的5倍，已知白糖和红糖共有180千克。副食店有白糖、红糖各多少千克？
5、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 6、生产队养公鸡、母鸡共404只,其中公鸡是母鸡的3倍,公鸡和母鸡各多少只？ 差倍问题 数量关系：两个数的差÷（几倍—1）=较小的数 较小的数×几倍=较大的数或较小的数+两个数的差=较大的数 1、甲、乙两人共有150张画片，甲的张数比乙的2倍多30张，两人各有几张画片？ 2、王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？ 3、大仓库存粮比小仓库存粮多254吨。又知大仓库存粮是小仓库存粮的3倍。大、小仓库各存粮多少吨？ 4、一养鸡场，公鸡比母鸡少369只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？ 5、小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明的2倍？ 6、一篮苹果比一篮桔子重40千克，苹果重量是桔子的5倍，苹果、桔子各有多少千克？
实用版平方差、完全平方公式专项练习题(精品)汇编
平方差与完全平方式 一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。 2、即：（a+b）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方 3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。 3、能否运用平方差公式的判定 ①有两数和与两数差的积即：（a+b）(a-b)或（a+b）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b）(a-b)或（a+b）(b-a) ③有两数的平方差即：a2-b2 或-b2+a2 二、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或(a-b)2或(-a-b)2或(-a+b)2 ②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2-2ab-b2或-a2+2ab-b2随堂练习： 1.下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a- +（2）()()x y y x+ - + （3）()() ab x x ab- - -3 3（4）()()n m n m+ - - 2.判断： （1）()()2 2 4 2 2b a a b b a- = - +（）（2）1 2 1 1 2 1 1 2 1 2- = ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? +x x x（）（3）()()2 2 9 3 3y x y x y x- = + - -（）（4）()()2 2 4 2 2y x y x y x- = + - - -（）（5）()()6 3 22- = - +a a a（）（6）()()9 3 3- = - +xy y x（）3、计算： （1）)4 )( 1 ( )3 )( 3 (+ - - - +a a a a（2）2 2)1 ( )1 (- - +xy xy （3）)4 )( 1 2(3 )3 2(2+ - - +a a a（4）)3 )( 3 (+ - - -b a b a 更多精品文档
和倍差倍问题和差问题问题讲义及练习答案优质的
第一讲和倍问题 和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。 例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 分析设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系： 解：乙班：160÷（3+1）=40（本） 甲班：40×3=120（本） 或160-40=120（本） 答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。 这道应用题解答完了，怎样验算呢？ 可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。 验算：120＋40=160（本） 120÷40=3（倍）。 例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？
分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。 解：①甲、乙两班共有图书的本数是： 30＋120=150（本） ②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是： 2＋1＝3（倍） ③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本） ④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本） 综合算式： （30＋120）÷（2+1）=50（本） 50-30=20（本） 答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。 验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍） （120-20）+（30+20）＝150 （本）。 例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。
平方差、完全平方公式专项练习题27624
公式变形 一、基础题 1．（－2x+y）（－2x－y）=______． 2．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 3．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 4．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 5．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ．2009×2007－20082． 6．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． （2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 22007 200720082006 -?． 2 2007 200820061 ?+ ． 7．解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）． 8（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4． （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______． 完全平方式常见的变形有: ab b a b a2 ) (2 2 2- + = +ab b a b a2 ) (2 2 2+ - = + ab b a b a4 ) (2 2= - - +） （bc ac ab c b a c b a2 2 2 ) (2 2 2 2- - - + + = + + 1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值 2、已知0 13 6 4 2 2= + - + +y x y x，y x、都是有理数，求y x的值。3．已知2 ()16,4, a b ab +==求 22 3 a b + 与2 () a b -的值。 练习：()5,3 a b ab -==求2 () a b +与22 3() a b +的值。 2．已知6,4 a b a b +=-=求ab与22 a b +的值。 3、已知22 4,4 a b a b +=+=求22 a b与2 () a b -的值。
和差问题练习题
和差问题练习题 教学目标 1.会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备． 2.总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题． 知识点拨： 和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。 为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。 知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下： 方法一： (和+差)÷2=大数和-大数=小数 方法二： (和-差)÷2=小数和-小数=大数 【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？ 1. 甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟 比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？ 2.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有 多少棵？ 3.有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少 米？ ．
4.陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各 是多少厘米？ 【例2】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高， 每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！你能根据下面的图， 算出点点和跳跳各有多长吗？ 1.二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？ 2.两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？ 【例3】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？ 1.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？ 2.学校水果店运来苹果和梨共40千克，苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5千克，则水果店运来苹果和梨各多少袋？
和倍差倍问题应用题及答案
和倍差倍问题应用题及答案 一、和倍问题 【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数 总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：杏树有62棵，桃树有186棵。 例2商店运来苹果和梨共重200千克，苹果的重量相当于梨的3倍，这个商店运来苹果和梨各多少千克？ 解（1）梨的重量＝200÷（3＋1）＝50（千克） （2）苹果的重量＝200－50＝150（千克） 答：这个商店运来苹果150千克，梨50千克。 二、差倍问题 【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。 例2 南街村种花生公顷数是玉米的8倍，花生比玉米多种63公顷。花生、玉米各种多少公顷？ 解（1）种玉米的公顷数＝63÷（8－1）＝9（公顷）（2）种花生的公顷数＝9×8＝72（公顷） 答：种花生72公顷，种玉米9公顷.
平方差完全平方公式专项练习题
平方差公式专项练习题 A卷：基础题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a）D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个B．2个C．3个D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．
B卷：提高题一、七彩题 1．（多题－思路题）计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -? ． （2）二变：利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ．
小学数学四年级下册和差问题专项训练
小学数学四年级下册和差问题专项训练 基础知识 填空 1、三角形一个内角的度数是108°，这个三角形是（）三角形. 2、一个三角形三条边的长度分别为7厘米，8厘米，7厘米，这个三角形是（ ）三角形. 3、一个三角形两个内角的度数分别为35°，67°，另一个内角的度数是（ ），这是一个（）三角形. 4、等腰三角形的底角是75°，顶角是（）. 5、在一个直角三角形中，一个锐角是75°，另一个锐角是（）. 6、一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边长4厘米，围成这个等腰至少需要（）厘米长的绳子. 7、一个三角形最多有( )个直角，最少要有( )个锐角. 8、三角形的一个内角为45°，另一个内角是它的2倍，第三个内角是( )度，这个三角形叫( )三角形. 9、用（）个完全一样的等边三角形可以拼成一个等腰梯形；用（）个完全一样的等边三角形可以拼成一个大的等边三角形. 判断 1、一个钝角三角形里最多有两个钝角. （） 2、两个一样的三角形可以拼成一个平行四边形. （） 3．有一个内角是60度的等腰三角形一定是等边三角形. ( ) 4．等腰直角三角形的底角一定是45度. （）
5．底和高都分别相等的两个三角形，它们的形状一定相同.（） 6、用三根长度分别为5厘米、5厘米和11厘米的绳子可以围成一个等腰三角形. （） 7、直角三角形、钝角三角形只有一条高. （） 8、在一个五边形中，画上两条线段可以把这个五边形分成3个三角形，因此五边形的内角和是540°. （） 能力提高 1、一个书架分上、下两层，共放有图书100本，如果从上层取出5本放入下层， 那么上层比下层还多6本.原来上、下层各有图书多少本？ 2、两笼鸡蛋共19个，若甲笼再放入4个，乙笼中取出两个，这时乙笼比甲笼的 鸡蛋还多1个.甲乙笼原来各有鸡蛋多少个？ 3、一片树林里有很多种树，有1500棵树不是松树，1200棵树不是杨树，松树和 杨树共700棵.杨树多少棵？ 4、某校选二年级至六年级的同学参加数学竞赛，有60名不是四年级的，有50名 不是五年级的，四年级和五年级的共38名同学参赛.四年级有多少名同学参赛？ 5、有两箱玩具，第一盒比第二盒多60只.如果从第二盒中取出3只，这时第一盒的只数是第二盒的8倍.求两箱玩具原来各有多少只？
平方差公式专项练习(汇编)
平方差公式专练 (a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差 特点: 具有完全相同的两项 具有互为相反数的两项 使用注意的问题： 1、是否符合平方差公式使用的特点 2、判断公式中的“a ”和“b ”是一个数还是一个代数式 3、对“式”平方时要把全部平方，切忌出现漏乘系数的错误，如（a+2b ）（a-2b ）不要计算成a 2-2b 2 4、最好先把能用平方差的式子变形为（a+b ）（a-b ）的形式，再利用公式进行计算。 平方差公式基础练习题 1.下列可用平方差公式计算的是( ) A 、(x-y)（x+y ） B 、(x-y)（-y+x ） C 、(x-y)(-y+x) D 、(x-y)(-x+y) 2.计算（a+m ）(a+ 21)的结果中不含字母a 的一次项，则m 等于( ) A.2 B.-2 C. 21 D.- 2 1 3.（-4a-1）(4a-1)的乘积结果是 4.20072-2006?2008的计算结果是( ) A.-1 B.1 C.0 D.2?20072-1 5.计算()() 22-+x x ＝ ()()=+-b a b a 33 6. (2m-1)(2m+1)(4m 2+1)= 7. 先化简，再求值：（3x+2）（3x-2）-5x （x-1）-（2x-1）2,其中x=-31
8.已知x-y=2,y-z=4,x+z=14,求x 2-z 2的值。 9.计算： （-1+3x ）（-1-3x ） (-2b-5)(2b+5) (x+3) (x 2+9) (x-3) (x+2y-1)(x+1-2y) 平方差公式提高题 一、选择题: 1.下列式中能用平方差公式计算的有( ) ①(x-12y)(x+12 y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列式中,运算正确的是( ) ①222(2)4a a =, ②2111(1)(1)1339 x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a b a b ++??=. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 3.乘法等式中的字母a 、b 表示( ) A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、?多项式都可以
三年级奥数：和差问题专项练习及答案
三年级奥数：和差问题专项练习及答案 1.两个数的和为 36差为 22。则较大的数为多少?较小的数为多少? 大数:(36+22)÷2=29 2.在一个减法算式里被减数、减数与差三个数的和是 388减数比差大 16则减数等于多少? 减数+差=388÷2=194，减数=(194+16)÷2=105 3.两筐水果共重 124 千克第一筐比第二筐多 8 千克两筐水果各重多少千克? 第一筐:(124+8)÷2=66千克 4.某工厂去年与今年的平均产值 92 万元今年比去年多 10 万元.今年的产值多少万元去年的产值多少万元? 今年:(92×2+10)÷2=97万元 5.有两层书架共有书 173 本.从第一层拿走 38 本书后第二层的书是第一层的 2 倍还多6 本.则第二层有多少本书? 第一层现在:(173-38-6)÷(2+1)=43本，第二层:43×2+6=92本 6.乙两筐苹果共 75 千克从甲筐取出 5 千克苹果放入乙筐里甲筐苹果还比乙筐多 7 千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克? 甲:(75+5+5+7)÷2=46千克 7.张强用 270 元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵 140 元,买外衣和鞋比帽子多花 210 元.张强买这双鞋花多少钱? 外衣和鞋总和:(270+210)÷2=240元，鞋子:(240-140)÷2=50元 8.把100米长的绳子剪成三段,第二段比第一段多16米,第三段比第一段少18米,三段绳子各长多少米?
第一段:(100-16+18)÷3=34米 9.哥哥今年18岁,妹妹今年15岁,当两人年龄和为67岁时,哥哥是多少岁? 哥:(67+3)÷2=35岁 10.李华和张敏共有铅笔25支,如果李华用去4支,张敏用去3支,那么李华还比张明多2支,李华和张敏原来各有多少支? 李华现在:(25-4-3+2)÷2=10支，10+4=14支 11.兄弟俩共有邮票70张,哥哥给弟弟4张后,还比弟弟多2张,兄弟俩原来各有邮票多少张? 哥(70+4+4+2)÷2=40张 12.一个长方形的操场长与宽相差80米,知道沿操场跑两周是800米,这个操场长宽各是多少? 长:(800÷2÷2+80)÷2=140米 13.小王、小张共买书20本,如果小王给小张6本书,那么小王就比小张少2 问:小王、小张各买了多少本书? 小王比小张多:6+6-2=10，小王:(20+10)÷2=15。 或:小王现在:(20-2)÷2=9，原来:9+6=15 14.菜市场共有三种蔬菜,其中茄子辣椒共重50千克,辣椒、菜瓜共重70千克,茄子菜瓜共重60千克,三种蔬菜各种多少千克? 茄子+辣椒+菜瓜=(50+70+60)÷2=90千克，辣椒=90-60=30千克 15.甲、乙两筐苹果共重100千克,如果从甲筐取出12千克放到乙筐,这时甲筐的苹果还比乙筐重6千克。甲、乙两筐苹果原来各有多少千克? 甲现在:(100+6)÷2=53千克，甲原来:53+12=65千克
平方差、完全平方公式专项练习题(精品)
￥ 平方差公式专项练习题 一、基础题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ( ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． （ 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．二、提高题 *
1．计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．利用平方差公式计算：2009×2007－20082．- （1）利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -? ． （2）利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ． 3．解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）． ^ 三、实际应用题 4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少 }