计算方法第四章参考答案

第四章参考答案

1. 设2

()35,,0,1,2,...k f x x x kh k =+==，则12[,,]n n n f x x x ++=3

和123[,,,]n n n n f x x x x +++= 0 2. 给定()f x x =

在144,121,100这3点处的函数值，试以这3点建立2次

(抛物)插值公式，利用插值公式求115的近似值并估计误差。答：

(144)(121)(144)(100)(100)(121)

()101112(100144)(100121)(121144)(121100)(144100)(144121)

x x x x x x p x ------=

?+?+?------

当x=115 p(x)=10.6728

11510.7238=

()()()53

213()115144115121115100 1.631103!8

R X ε--=?---=?

()()

(144)(121)169(144)(100)169()1011

(100144)(100121)100169(121144)(121100)121169(100)(121)169(100)(121)1441213

(144100)(144121)144169(169100)(169121)169144x x x x x x p x x x x x x x ------=?+

?------------+

?------

P(115)=10.7236

此题用牛顿公式来做要简单点,特别是后面还需要增加一点节点,这个自己做做! 3. 设j x 为互异节点0,1,...,j n =,求证：

()n

k k

j j j x l x x

==∑ k n ≤

证明：记gk(x)= k

x , k=0,1 n 作gk(x)以01,,n x x x 为插值节点的n 次插值多项式，则有()()()()

()(1)0

()01!n n

k k k

j j g g x g x l x x x n ε+==-

=-=+∑∏

()0

j j x x l x =-=∑ k=0,1 n 或()0

k j j x x l x ==∑ k=0,1 n

4. 已知函数()y f x =的函数表： xi 1 2 3 4 5 yi=f(xi)

分别写出(1) 4次拉格朗日插值多项式; 答：

()

()24

(6)

x x x x x x x x x x x x p x x x x x x x x x --

--=?+?+

+??-

P(2.5)=5.6875

(2) 4次Newton 插值多项式

答

()13(1)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)324

p x x x x x x x x x =+-----+----

P(2.5)=5.6484

数值分析第4章答案

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。令4 ()f x x =，则

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案第一章数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称

数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。（2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

数值计算方法答案

数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70） 2009．9，9

习题一 1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式： (())(())'()()()() f x x f x f x x f x f x δδ?= ≈得（1）()f x = 11 ()()*2%1% 22x x δδδ≈ ===；（2）4 ()f x x =时 44 4 ()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈ === 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。解：由教材9P 关于1212.m n x a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈2 1 ((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ?+?+ =2 (0.3443100.1352)fl ?+ =0.3457210? （2）31.97+（2.456+0.1352） 2 1 (0.319710(0.245610))fl fl ≈?+? = 21 (0.3197100.259110)fl ?+? =0.34562 10? 易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122 10?，故（2）的计算结果较精确。 4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？

计算方法第四章参考答案

第四章参考答案 1. 设2 ()35,,0,1,2,...k f x x x kh k =+==，则12[,,]n n n f x x x ++=3 和123[,,,]n n n n f x x x x +++= 0 2. 给定()f x x = 在144,121,100这3点处的函数值，试以这3点建立2次 (抛物)插值公式，利用插值公式求115的近似值并估计误差。答： (144)(121)(144)(100)(100)(121) ()101112(100144)(100121)(121144)(121100)(144100)(144121) x x x x x x p x ------= ?+?+?------ 当x=115 p(x)=10.6728 11510.7238= ()()()53 213()115144115121115100 1.631103!8 R X ε--=?---=? ()() ()() ()() ()() (144)(121)169(144)(100)169()1011 (100144)(100121)100169(121144)(121100)121169(100)(121)169(100)(121)1441213 (144100)(144121)144169(169100)(169121)169144x x x x x x p x x x x x x x ------=?+ ?------------+ ?+ ?------ P(115)=10.7236 此题用牛顿公式来做要简单点,特别是后面还需要增加一点节点,这个自己做做! 3. 设j x 为互异节点0,1,...,j n =,求证： ()n k k j j j x l x x ==∑ k n ≤ 证明：记gk(x)= k x , k=0,1 n 作gk(x)以01,,n x x x 为插值节点的n 次插值多项式，则有()()()() ()(1)0 ()01!n n n k k k j j j j j g g x g x l x x x n ε+==- =-=+∑∏ ()0 0n k k j j x x l x =-=∑ k=0,1 n 或()0 n k k j j x x l x ==∑ k=0,1 n 4. 已知函数()y f x =的函数表： xi 1 2 3 4 5 yi=f(xi) 1 4 7 8 6

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析（p11页） 4 试证：对任给初值x 0, (0) a a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 21 12(1)(,0,1,2,.... (2),1,2,...... k k k x k x a x a k x a k +-= -=≥= 证明：（1） ( 2 2 112222k k k k k k k k x a a x ax a x a x a x x x +-??-+-=+-== ? ?? （2）取初值0 >x ，显然有0 >k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8，而 ( )k k k k k x x x x x 28882182 1-=-??? ? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.221041 85 .28--+?=??<-∴>≥ 1 k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021* ?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1 a 为* x 中第一个非零数）则7 .21 =x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71 .22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718 x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7 .21 =x ，0183.01 <-e x ∴ 其相对误差限为00678.07 .20183.01 1≈<-x e x 同理对于71 .22 =x ，有 003063.071 .20083 .022≈<-x e x

计算方法模拟试题及答案

计算方法模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵的一种变换方法。

5．改进欧拉法的公式为。三、计算题（每小题12分，共60分） 1. 求矛盾方程组； ??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2．用列主元法解方程组 ??? ??=++=++=++4 26453426352321 321321x x x x x x x x x 3．已知方程组 ???? ? ?????=????????????????????----131********x x x a a a a （1）写出雅可比法迭代公式；（2）证明2