两角和与差的三角函数练习(含答案)
#
一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）
1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（）
A．B．&
C．
D．﹣2
2．（4分）已知，则=（）
A．，B．C．D ．
/
3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin （α+）+cos（α+）=（）
A．B．
﹣
C ．》
D．
﹣
7．（4分）
（2008?海南）=（）
A．B．；C．2D ．
8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（）
^
A．
B．
﹣
C ．
﹣
D．
~
9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα
的值为（）A．B．C．$D．
10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（）
A．s in（α+β）＞sinα+sinβ。
B．
cos（α+β）＞cosαcosβ
C．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β）
/
11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x ﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（）
A．B．C．
﹣(
D．
﹣
12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（）A．B．…C．D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ．
*
5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为
_________ ．
13．（5分）?的值为_________ ．
14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为
_________ ．
三、解答题（共4小题，满分0分）
6．化简：
（1）；
?
（2）﹣．
16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值．
17．求值：（1）；
（2）tan（﹣θ）+tan（+θ）+tan（﹣θ）tan（+θ）．
18．（2008?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．
[
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）
{
1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（）
A．B．C．！
D．
﹣2
考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．
专题：计算题．
分析：。
首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．
解答：
解析：由3sinα+cosα=0?cosα≠0且tanα=﹣
所以
故选A．
点评：此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛．
>
2．（4分）已知，则=（）
A．B．C．#
D．
考点：任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
专题：计算题．
分析：（
求出cosa=，利用诱导公式化简，再用两角差的余弦公式，求解即可．
解答：
解：cosa=，cos（+a）=cos（2π﹣+a）=cos（a﹣）
=cosacos+sinasin=×+×=．
故选B．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．
~
3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（）
A．B．
﹣C．'
D．
﹣
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题．
分析：~
利用同角三角函数的基本关系利用sinα的值求得cosα的值，然后利用二倍角公式和诱导公式对sin （α+）+cos（α+）进行化简，最后把cosα的值代入即可．
解答：
解：∵sinα=，＜α＜π，
∴cosα=﹣，而sin（α+）+cos（α+）=sin（α+）=cosα=﹣．
故选D
点评：本题主要考查了二倍角公式，两角和公式和诱导公式化简求值．考查了基础知识的综合运用．在利用诱导公式时应注意根据角的范围确定三角函数值的正负．
#
7．（4分）（2008?海南）=（）
A．B．C．2（
D．
考点：二倍角的余弦．
分析：本题是分式形式的问题，解题思路是约分，把分子正弦化余弦，用二倍角公式，合并同类项，约分即可．解答：？
解：原式=
=
=
=2，
故选C．
点评：对于三角分式，基本思路是分子或分母约分或逆用公式，对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．
】
8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（）
A．B．
﹣C．
﹣;
D．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题．
分析：`
由已知条件可得θ为第四象限角，根据同角三角函数关系式可得cosθ的值，由三角函数诱导公式化简sin
（θ﹣5π）sin（π﹣θ），然后可求得它的值．
解答：
解：∵θ∈（﹣，），
∴θ为第四象限角，
∴cosθ==，
∴sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）=sinθcosθ=﹣×=﹣，
故选B．
点评：>
本题主要考查了利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值的问题．考查了考生对三角函数基础知识的综合运用．
9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα的值为（）
A．B．》
C．
D．
考点：三角函数中的恒等变换应用．
分析：&
题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．
解答：
解：∵，
∴，
故选C
点评：本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．
#
10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（）
A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβ
C．]
sin（α+β）＞sin（α﹣β）
D．c os（α+β）＞cos（α﹣β）
考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
分析：根据公式化简sin（α+β）和cos（α+β），因为α和β为锐角，得到正弦、余弦函数的函数值为正值，判断出谁大谁小即可．
/
解答：解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，
又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ＞0，
故sin（α+β）＞sin（α﹣β）．
故选C
点评：考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式以及两角和与差的余弦函数函数公式化简求值，并会利用三
角函数值比较大小．
[
11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy 中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（）
A．B．C．《
﹣D．
﹣
考点：两角和与差的正弦函数；直线与圆相交的性质．专题：综合题．
~
分析：把直线与圆的方程联立得到关于x与y的二元二次方程组，求出方程组的解即可得到交点A和B的坐标，然后根据α为第一象限的角，由点A的坐标分别求出sinα和cosα的值，β为第三象限的角，由点B 的坐标分别求出sinβ和cosβ的值，最后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
解答：
解：联立得：
解得：或
所以点A （，），点B （﹣，﹣）．
由∠xOA=α为第一象限的角，∠xOB=β为第三象限的角，
根据两点的坐标分别得到：
|
sinα=，cosα=，sinβ=﹣，cosβ=﹣，
则sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=×（﹣）+×（﹣）=﹣．
故选D
点评：此题考查学生掌握象限角的三角函数值的求法，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（）
、
A．
B．C．D ．
）
考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．
分析：从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再合并，约分整理，得到和要求结论只差π的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论．
解答：
解：∵，
∴，
"
∴．
故选C
点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的或和这个角有关的角的三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．而本题应用了角之间的关系和诱导公式．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα= 1 ．
两角和与差的正弦函数；弦切互化；两角和与差的余弦函数．
~
考点：
专题：计算题．
分析：把已知条件根据两角和的余弦函数公式和两角差的正弦函数公式化简后，利用同角三角函数的关系及特殊角的三角值求出tanα的值．
解答：
解：∵cos（α+）=sin（α﹣），
%
∴cosαcos﹣sinαsin=sinαcos﹣cosαsin，即cosα﹣sinα=sinα﹣cosα，
化简得：（+）sinα=（+）cosα，即sinα=cosα
则tanα=1．
故答案为：1
点评：此题是一道三角函数化简的基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，要求学生牢记特殊角的三角函数值．
5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为
．
,
考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．
专题：计算题．
分析：先利用α的范围确定30°+α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos（30°+α）的值，最后利用两角和的余弦函数求得答案．
解答：$
解：∵60°＜α＜150°，∴90°＜30°+α＜180°．
∵sin（30°+α）=，∴cos（30°+α）=﹣．
∴cosα=cos[（30°+α）﹣30°]
=cos（30°+α）?cos30°+sin（30°+α）?sin30°
=﹣×+×=．
故答案为：
点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
}
13．（5分）?的值为 1 ．
考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
专题：计算题．
分析：【
根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦公式化简原式，然后利用平方差公式分解因式，约分可得值．
解答：
解：原式=?=?
=?=1．
故答案为1
点评：此题是一道基础题，要求学生掌握同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦公式的应用，做题时应会把“1”灵活变形．
-
14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=﹣2 ．
考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
专题：计算题．
分析：把点P代入直线方程求得tanα的值，进而利用万能公式对sin2α+2cos2α化简整理后，把tanα的值代入即可．
%
解答：解：∵P（cosα，sinα）在y=﹣2x上，
∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2．
∴sin2α+2cos2α=+2?
===﹣2．故答案为：﹣2
点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，万能公式的应用．要熟练记忆同角三角函数中的平方关系，倒数关系及商数关系等．
&
15．（5分）的值为
．
考点：三角函数的化简求值．
专题：计算题．
分析：]
利用两角和公式使cos5°转化为cos（30°﹣25°），利用两角和公式展开后，化简整理求得答案．解答：
解：原式====．
故答案为：
点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值．考查了学生分析问题和综合运用基础知识的能力．
三、解答题（共4小题，满分0分）
,
6．化简：
（1）；
（2）﹣．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：计算题．
》
分析：（1）利用两角和公式把原式展开后整理求得问题的答案．
（2）利用正切的二倍角公式对原式进行化简整理求得问题答案．
解答：
解：（1）原式=
=
=﹣=﹣tan（α﹣β）．
（2）原式=
（
==tan2θ．
点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数基本关系的应用．要求考生能对三角函数基础公式的熟练记忆．
16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值．
考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．
专题：计算题；综合题．
分析：利用诱导公式，倍角公式，两角和的正弦公式，化简，然后求出sinα，代入求值即可．
解答：
解：=
由已知可得sin，
∴原式=．
点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦，考查学生运算能力，是基础题．
17．求值：（1）；
（2）tan（﹣θ）+tan（+θ）+tan（﹣θ）tan（+θ）．
考点：三角函数的化简求值．
专题：计算题．
分析：（1）将10°用30°﹣20°表示，利用两角差的余弦公式展开，利用三角函数的诱导公式，化简求值．（2）利用两角和的正切公式的变形形式表示出两角的正切和，求出值．
解答：
解：（1）原式====．（2）原式=tan[（﹣θ）+（+θ）][1﹣tan（﹣θ）tan（+θ）]+tan（﹣θ）tan（+θ）=．
点评：本题考查凑角及凑公式的数学思想方法、考查两角和，差的正弦，余弦，正切公式．
18．（2008?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．
考点：两角和与差的正切函数．
分析：
（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；
最后利用tan（α+β）=解之．
（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．
解答：
解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，
因为α为锐角，则sinα＞0，从而
同理可得，
因此．
所以tan（α+β）=；
（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，
所以由tan（α+2β）=﹣1得．