等腰梯形的习题
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明配套练习
1.下列命题中，错误的是（ ）
A ．矩形的对角线互相平分且相等
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．等腰梯形的两条对角线相等
D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
2.用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直
角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 3.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形
Ｂ．直角梯形
Ｃ．矩形
Ｄ．菱形
4.已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ．
5.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=
，AD AB =．点 E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠=
6. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形
B ．菱形
C ．梯形
D ．平行四边形
7. 如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB
延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（ ） Ａ．AE FC =
Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠
Ｄ．BE AF =
8.下列说法正确的是（ ） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．等腰梯形的对角线相等
D ．对角线互相垂直的四边形是菱形
9. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪开后，可以拼成的四边形是（ ） A ．矩形或等腰梯形 B ．矩形或平行四边形
C ．平行四边形或等腰梯形
D ．矩形或等腰梯形或平行四边形
10.在等腰梯形ABCD 中，5AB DC AD BC ==∥，，713DC AB ==，，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC
为平行四边形时，运动时间为（ ） A ．3s B ．4s C ．5s D ．6s 11.已知：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥， 垂足分别为点D ，E 连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形．
A
C
D
F E
A
D
E
C
B
A
D C
B E
A
B Q
12.如图，在正六边形ABCDEF 中，对角线AE 与BF 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．
（1）观察图形，写出图中两个不同形状．．．．的特殊四边形； （2）选择（1）中的一个结论加以证明．
13. 如图1，ABC △是直角三角形，如果用四张与ABC △全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那么在Rt ABC △中，AC
AB
的值是
．
14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，
BAD ∠的平分线AE 交BC 于E F G ，，分别是AB AD ，的中点．
（1）求证：EF EG =；
（2）当AB 与EC 满足怎样的数量关系时，EG CD ∥？并说明理由．
15.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，E F ，是边AB 上两点，且AE BF =，DE 与CF 相交于梯形ABCD 内一点O ． （1）求证：OE OF =；
（2）当EF CD =时，请你连接DF CE ，，判断四边形DCEF 是什么样
的四边形，并证明你的结论．
16. 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，110A =
∠，则C =∠（ ） Ａ．90
Ｂ．80
Ｃ．70
Ｄ．60
17. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = CD ，E 、F 分别是AB 、
BC 的中点，若∠1 = 35?，则∠D = ．
18.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是
AD 延长线上一点，DE BC =．
（1）求证：E DBC ∠=∠；
（2）判断ACE △的形状（不需要说明理由）．
A
C
B
图1
图2
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｄ
Ｇ
Ａ Ｆ
A
B
C
D
O
F E
A D C
B
D A B
C
E
最新梯形、等腰梯形及其性质、判定(中考题集锦)
精品文档 梯形、等腰梯形及其性质、判定 第1题. （2007北京课标，5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高． 答案：解：作DF BC ⊥于点F ． 因为AD BC ∥，所以12∠=∠． 因为AB AD =，所以23∠=∠． 所以13∠=∠． 又因为AB DC =，60C ∠=o ， 所以11133022 ABC C ∠=∠=∠=∠=o ． 又因为AE BD ⊥于点E ，1AE =，所以2AB DC ==． 在Rt CDF △ 中，由正弦定义，可得DF = 所以梯形ABCD 第2题. (2007福建福州课改,3分)下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 答案：Ｂ 第3题. (2007福建福州课改,4分)如图，45AOB ∠=o ，过OA 上到点O 的距离分别为1357911L ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标 出一组黑色梯形的面积（如图所示1234S S S S L ，，，， ）写出第10个黑色梯形的面积10S = ． 答案：76 第4题. （2007福建三明课改，4分）用含30o 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平 行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 答案：B B C B C
精品文档 第5题. （2007甘肃兰州课改，4分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．矩形 Ｄ．菱形 答案：Ｄ 第6题. （2007广东河池非课改，2分）已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ．答案：5＜a ＜9 第7题. （2007广西玉林课改，2分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=o ，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与 CE 相交于P ，则DPE ∠= ． 答案：120o 第8题. （2007湖南郴州课改，8分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ． 求证：EM =EN 答案：因为AD ∥BC ，AB =DC ，所以B C ∠=∠ 因为,,EM AB EN CD ⊥⊥所以90BME CNE ∠=∠=? 在Rt △BME 和Rt △CNE 中， BME CNE B C BE CE ∠=∠??∠=∠??=? ，所以Rt △BME ≌ Rt △CNE 所以EM ＝EN 第9题. （2007河南课改，3分）如图，在直角梯形ABCD 中， 1cm 2cm AB CD AD CD AB AD ==∥，⊥，，，4cm CD =，则BC = cm ． 第10题. （2007湖北十堰课改，3分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．梯形 D ．平行四边形 答案：Ｃ E N M D C B A B C D A A B D F E
1.4 等腰梯形的性质和判定(1)
1.4 等腰梯形的性质和判定(1) [ 教案] 班级 姓名 学号 九年级数学备课组 教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。 3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。 教学重点：等腰梯形的性质和判定。 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程： 创设情境： 我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探 索得到等腰梯形的性质和判定。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。 1.什么叫梯形 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 2.两种特殊的梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形 3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等; 二、等腰梯形的判定： 1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、 2、定理的证明： 已知： 求证： 分析：本题可 以从不同角度着手证明。 3、定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 三、等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 E D C B A D C B A
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 四、典型示例： 1、 如图梯形ABCD 中，A D ∥BC ，M 是AD 的中点，∠MBC=∠MCB 求证：四边形ABFE 是等腰梯形； 2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长 和∠D 的度数. 3．已知：，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=2 1（BC-AD ） 4，△ABC 中AB ＝BC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，试说明四边形EBCD 是等腰梯形． 五、巩固练习 1.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ） A.等腰梯形 B.直角梯形 C.平行四边形 D.不能确定 2.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.135° 3.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对. 4.梯形的上底长为 5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______. 5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______. 6.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______. 7.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______. 8、四边形ABCD 是等腰梯形，A D ∥BC ，AB=DC ，PB=PC. 求证： PA=PD B C A M D A D C B P
梯形及多边形的性质及证明
梯形及多边形的性质及证明（导学案） 一、知识过关 1. 梯形的定义：________________________________________． 2. 等腰梯形的性质 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________． 3. 梯形的中位线：______________________________________． 4. 梯形中位线定理：_____________________________________ ___________________________________________________． 5. 四边形中的中点 6. 中心对称图形：_______________________________________ ___________________________________________________． 7. 中心对称图形上的______________都被___________平分． 8. n 边形的内角和等于_________________；外角和等于_____． 9. 平面图形的镶嵌： ___________________________________________________ ___________________________________________________． 二、精讲精练 1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论不一定正确的 是（ ） A ．AC =BD B ．∠OB C =∠OCB C ．S △AOB =S △DOC D ．∠BCD =∠BDC 等腰梯形 A C D B 直角梯形D A C B C A D B F E D C B A
【小学数学】小学五年级数学上册梯形的面积练习题及答案.docx
小学五年级数学上册梯形的面积练习题及答案 知识点：梯形面积计算公式的推导 1、可以把一个梯形分成两个（）形 ;也可以分成一个（）形和一个（）形。 2、梯形的上底长 8厘米 ;下底长 14厘米 ;高是上底的一半。梯形的面积是（）平方厘米。 3、两个完全一样的梯形拼成的一个平行四边形的面积是80平方厘米 ;高是 5厘米 ;梯形的上底是 7 厘米 ;梯形的下底是（）厘米。 4、一个梯形上下底的和是 16米;高是 7米;它的面积是（） 5、判断下列各题 ;对的打√ ;错的打× （ 1）两个面积一样的梯形一定可以拼成一个平行四边形（）（ 2）平行四边形的面积是梯形面积的两倍（）（ 3）计算一个梯形的面积 ;比武知道他的上下底和高（） （ 4）一个梯形两底的和是 12米;高是 10米 ;则它的面积是 60平方米（） 知识点：梯形面积计算公式的应用 6、一块梯形的麦田 ;上底是 36米;下底是 54米;高是 40米;求这块麦田的面积。 7、计算下面各梯形的面积。（单位：厘米） 1015 148 16 20 8、有一块梯形花地 ;上底是 8米;下底是 10米 ;高是 4.8米。已知每株花占地 0.06平方米 ;这块地能种花多少株？ 9、一个梯形的上底是 12分米 ;高是 8分米 ;面积是 108平方分米。这个梯形的下底是多上分米？ 10、已知梯形的面积是 20平方分米 ;求阴影部分的面积。 3.2分米
6.8分米 11、如图所示 ;大正方形的边长是 12米 ;小正方形的边长是 5米;求阴影部分的面积。 12、下图中 ;阴影部分的面积是 13.5平方厘米 ;着个梯形的面积是多少？ 7厘米 9厘米 13、用篱笆围城一个梯形养鸡场;一边利用房屋的墙壁 ;篱笆的长是65米;求养鸡长得面积。 15 米
《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》教案
《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》教案 教学目标： 知识目标：理解和掌握等腰梯形的性质定理的内容及简单的应用； 能力目标：通过动手操作，探索等腰梯形的性质及其证明方法，初步培养学生探索问题和研究问题的能力； 情感目标：营造一个相互协作的课堂气氛，引领学生自主探究、集体讨论，激发学生的学习热情； 教学重点与难点： 1、等腰梯形性质的探究及证明； 2、等腰梯形性质定理的简单应用。 教学过程： 1、复习旧知，引入新课 填空（1）的四边形是平行四边形； （2）的四边形是平行四边形； （3）的四边形是平行四边形； （4）的四边形是平行四边形； （5）的四边形是平行四边形； （6）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； 用举反例的方法举出有一组对边平行，一组对边相等但并不是平行四边形的图形即等腰梯形，从而由这个错误的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定义；我们这节课就来研究等腰梯形的性质。 2、自主探索、提出猜想 把学生分成以四个人一组的若干小组，提供给每个小组一个等腰梯形的模型，让同学们用各种数学工具通过各种数学方法，如翻折、旋转等来探索等腰梯形有哪些性质？ 同学们可能会得出下面一些结论： （1）两腰相等； （2）两个底角相等； （3）等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； （4）两条对角线相等； …………
3、交流反馈、共同论证 结论（1）由等腰梯形的定义可以得到而不用证明；结论（2）的证明探索： 的两种思路：） 一是把两个角转化到同一个三角形中，用“等边对等角 二是把两个角转化到两个全等三角形中，用“全等三角形的对应角相等”证明； 完善结论后得到： 等腰梯形的性质定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。 结论（3 ）： 观察翻折、旋转的动画演示后，由轴对称图形和中心对称图形的定义可以直接得到： 等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴。 等腰梯形不是中心对称图形！ 结论（4）的证明可以让学生独立完成，请一个同学上黑板板书，其他同学自己在课堂练习本上完 C E C C C F
等腰梯形的性质
课 题. 等腰梯形的性质 教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。 3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推 理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。 教学重点：等腰梯形的性质 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程： 创设情境： 我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探 索得到等腰梯形的性质。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。 新知探索： 一、引人新课： 1、_______________________________的图形叫做等腰梯形? 2、____________相等的_______________叫做等腰梯形; 二 等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 2、定理的证明： 已知： 求证： 分析：本题可以从以下的三个角度着手证明（附三种方法的图形）。 证法一： 证法二： 证法三： 3、定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 本节小结： 本节课你有什么收获（先小组讨论，然后推举代表回答）： ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 本节作业 1、 E D C B A D C B A D C B A E D C B A F E D C B A E D C B A
梯形与重心
梯形与重心 知识点一：梯形 要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。 知识点二：等腰梯形 要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。 知识点三：直角梯形 要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。 知识点四：等腰梯形的性质 要点诠释： 1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。 2.等腰梯形的对角线相等。 知识点五：等腰梯形的判定 要点诠释： 1.梯形的定义。 2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 知识点六：四边形的分类 要点诠释： 知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心 要点诠释： 1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重 心；平行四边形 对角线的交点是平行四边形的重心。 2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 三、规律方法指导 知识点回顾：
2 ?梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究, 类型一：梯形中的辅助线 1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于Jr ,它的两底分别是L■一，和「Ed，
求它的腰长 思路点拨： 已知：如图，在梯形 ABC ［中，』応一 ,?'1 / C - . r' :■ . -…. 求：AB 的长. 解析：过点A 作/I C I 1' D 交BC 于E, ???四边形ABCD 是等腰梯形， AB=CD ??? AD// BC 又??? m ?四边形AECD 是平行四边形? ?，■ -I ：-：：-' ..J-V ：- * _：■ ?厶一二 ??? ― -HN', ?二二】是等边三角形. 又???丄J —’w ?二丄 / √L ? 一 二- 总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时， 无论是平移一腰还是平移一条对角 线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决； 举一反三： 【变式1】（平移对角线）已知梯形 ABCe 的面积是32,两底与高的和为 一条对角线 与两底垂直，则另一条对角线长为 【答案】梯形 ABCD 中, AD// BC, BD ⊥ BC. 由题得：x+y+z=16 , 仗+ "二32 2 设 AD=X BC=y DB=z, （熟记梯形面积公式） 解得 χ+y=8 , z=8, 过D 作DE// AC 交BC 的延长线于 ?四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） E. 16,如果其中 B
等腰梯形的习题
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明配套练习 1.下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 2.用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直 角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 3.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．矩形 Ｄ．菱形 4.已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ． 5.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠= ，AD AB =．点 E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠= 6. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．梯形 D ．平行四边形 7. 如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（ ） Ａ．AE FC = Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠ Ｄ．BE AF = 8.下列说法正确的是（ ） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．等腰梯形的对角线相等 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形 9. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪开后，可以拼成的四边形是（ ） A ．矩形或等腰梯形 B ．矩形或平行四边形 C ．平行四边形或等腰梯形 D ．矩形或等腰梯形或平行四边形 10.在等腰梯形ABCD 中，5AB DC AD BC ==∥，，713DC AB ==，，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ） A ．3s B ．4s C ．5s D ．6s 11.已知：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥， 垂足分别为点D ，E 连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形． A C D F E A D E C B A D C B E A B Q
重心与平衡
重心与平衡 活动内容：探讨重心与平衡的知识在实际生活中的应用． 活动目的： 1、了解考虑物体重心的意义，知道找物体重心的方法． 2、了解物体的平衡状态、平衡位置．知道不同平衡位置的稳定性不同，稳定性与重心的关系及在生活中的实际应用． 3、激发学生爱科学、学科学的兴趣；培养运用物理知识，分析、解决实际问题的能力． 活动准备： 长方形的塑料尺、心形卡片、中空的管子（圆环）、烟盒、奶瓶、细竹竿、硬币、梯形皮包、支架及茶杯、走索演员在一根高空钢丝上表演的投影片，在绳索上驾驶摩托车下挂载人“车厢”的投影片． 活动过程： 科学讲座，并进行讨论与思考 ①你能回答老师给你提出的问题吗？ ②你觉得重心和平衡的知识在生活中的应用广泛吗？你能举出实例吗？物理学中的其它知识呢？ 1、分析确定重心的问题 重心是重力在物体上的作用点也就是物体各部分所受重力的合力的作用点． 为什么要考虑物体的重心呢？当我们希望一个物体保持平衡时，就要用到重心的概念．例如，这里有一把尺子，为了把尺子支撑住，有一个办法就是把它放在桌子上．这时，桌子向尺子的各个部分都施加了支撑力，但是尺子的重力也可以被看作只作用在重心上．我们可以把一个手指尖放在尺子重心的下面，这时，仅仅支在一个点上就能把尺子支撑起来．你可以用手指尖按照上述办法使尺子保持平衡．下面，我们将用平衡点作为重心的别名． ①你可以用实验的方法来寻找尺子的平衡点．首先，把尺子放在互相隔开的两个食指尖上．然后，慢慢地让两个手指向一起靠拢，方法是先移动一个手指，再移动另一个手指．最后，这两个食指将在尺子的中点处靠在一块．于是，平衡点就是尺子的中点．就是那些非均匀物体，也可以用这种滑动手指的方法找到它们的平衡点．你可以采用同样的方法，试着找出铅笔、钢笔和高尔夫球棒的重心．你将会很容易地找到这些物体的平衡点．但是，在这些情况下手指每次应向前移动多少，可能估计得不很恰当．你可以先用一把扫帚试着估计一下，然后再进行实验． ②寻找不规则形状物的重心，还有一种方法可供使用．如寻找一个心形卡片重心的方法是用两个手指轻轻地把心形卡片捏起来，卡片就会前后摆动起来，最终它将静止下来．当卡片静止后，通过手捏卡片的那个点在卡片上画一条铅垂线．用手指在另外一点（这点不应在刚才画的那条铅垂线上）把卡片捏起来，待卡片静止后，再画一条铅垂线．这两条线相交的那一点，就是心形卡片的重心或平衡点．当你把手指支在这一点的下面，就可以把卡片平衡地支撑起来． ③任何物体都有一个重心．人的重心大约是在肚脐的后面、身体的中心处．假设让一个人躺在跷跷板上，让他的肚脐恰好在跷跷板支撑点的上方，这样，人体通常能够达到平衡，跷跷板的两端都将不接触地面． ④一段中空的管子，重心位于管的空心内，而不是在制作这管子的材料（管壁）上．这是与重心的定义相符合的．重心不一定要位于物体内．如果你试着使一段管子或圆环达到平衡，你可以用手指支撑它们的外侧，这是一种不稳定的平衡状态．如果一段管子处于竖直状态或圆环是处在水平状态（即它们的圆形截面处在水平面内），又要用一个手指支撑它们，就必须用一块硬纸板托在圆环（或管子）下面，再用手指支在纸板上即可． 任何物体的形状和物质结构的改变，都可以使它的重心发生移动．当我们把尺子从一端削掉
等腰梯形(练习)
《等腰梯形》基础训练 姓名 班级 学号 成绩 【知识要点】 1、等腰梯形的性质定理和判定定理，并能应用进行计算和证明； 2、通过添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题； 3、方法：梯形问题一般通过添加平行线，或作高，将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形的问题来解决的． 等腰梯形性质： ⑴边： ；⑵角： ； ⑶对角线： ；(3)对称性：___________________________. 等腰梯形判定： ⑴定义： ； ⑵角： ； ⑶对角线： ； 一．填空题 (3分×10 = 30分) 1．等腰梯形的上、下底长分别为6、8， 且有一个角是60°， 则它的腰长为 ． 2．如果等腰梯形的高等于腰长的一半，则它的四个角分别等于 ． 3．已知等腰梯形的上、下底长分别为2㎝和6㎝，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 ． 4．若梯形面积为144，且两底的比为4:5，高为16，则梯形的上、下底分别为 ． 5．直角梯形的高为6㎝，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别为_____ _____㎝． 6．如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠B =60°，AC ⊥AB ，则∠D = _ __°，∠ACD =_________°． 7．如图2，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，DE ∥AB ，DE =DC ，∠A=100°，∠EDC =_______°． 图1 图2 图3 8．如图3，在等腰梯形ABCD 中，相等的线段共有 对． B A D C E B A D C B D C A
9．等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别是15㎝、49㎝，则腰为=㎝．10．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12，BC=10，AD=5，则CD= ．二．选择题(3分×6 = 18分) 1．有两个角相等的梯形是( ) （A）等腰梯形（B）直角梯形（C）一般梯形（D）直角梯形或等腰梯形2．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，则四边形ABCD中( ) （A）平行四边形（B）等腰梯形（C）矩形（D）等腰梯形或矩形3．下列命题正确的是( ) （A）凡是梯形对角线都相等 （B）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 （C）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （D）只有两个角相等的梯形是等腰梯形 4．已知梯形的中位线长为24㎝，上、下底的比为1:3，则梯形的上、下底之差是( ) （A）24㎝（B）12㎝（C）36㎝（D）48㎝ 5．已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是( ) （A）78°或120°（B）102°或60°（C）120°或78°（D）60°或120° 6．下列关于等腰梯形的判断，正确的是( ) （A）两底相等（B）同底上的两底角互补 （C）每两个角相等（D）对角线交点在对称轴上 三．解答题(6分×6 + 8分×2 = 52分) 1．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD与CD的长度分别为a和b． （1）求AB的长．（2）若AD⊥AB于点A，求梯形的面积．
等腰梯形的性质专项练习30题(有答案)ok
等腰梯形的性质专项练习30题（有答案） 1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=2，AB=6，∠B=60°，求下底BC的长． 2．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC⊥AB．求∠B的度数． 3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=3，求梯形中位线的长． 4．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，将CB延长至点F，使BF=CD．求∠CAF的度数． 5．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∠C=60°，求AB的长． 6．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC、BD交于M，AB=2，CD=4，∠CMD=90°，求：BD的长． 7．如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD． （1）求∠A的度数． （2）设AD=2cm，求梯形ABCD的面积． 等腰梯形的性质---- 1
等腰梯形的性质--- 2 8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠B=60°．AE ⊥BC 于E ；EF ⊥CD 于F ，点F 是CD 的中点．求证：AD=BE ． 9．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB=CD ，AE ⊥BC 于E ，∠B=60°，∠DAC=45°， ，求梯 形ABCD 的周长？ 10．如图示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，中位线长为5cm ，高为2cm ，求梯形底边BC 的长及梯形的面积． 11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=6cm ，BD ⊥CD 于D ，∠C=60°． （1）求∠DBC 的度数； （2）求AD 的长． 12．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2AD ，梯形周长为40，对角线BD 平分∠ABC ，求梯形的腰长及两底边的长． 13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，已知AD=5cm ，BC=9cm ， 求等腰梯形ABCD 的周长．
等腰梯形性质教案
课题等腰梯形的性质和判定日期 教学目标1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念 2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养 学生的分析能力和计算能力． 3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生 体会图形变换的方法和转化的思想 重难点教学重点：等腰梯形的性质和判定． 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教 法 小组讨论，引导发现、练习巩固 角色教师活动学生活动 备 注 教学过程一、【复习提问】 1.什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯 形？ 2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？ 3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅 助线有哪几种？ 我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是 否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题． 二、【引人新课】 等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯 形． 例1已知：如图，在梯形中，， ，求证： （1）如图，过点作、，交于，得 ，所以得． （2）作高、，通过证推 出． 与老师共同讨论 解决。 引导学 生口述 证明方 法，然 后利用 投影仪 出示三 种证明 方法 A B C D
教学过程（3）分别延长、交于点，则与 都是等腰三角形，所以可得. 由此我们想到梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两 个角相等． 例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等． 已知：在梯形中，，，求 证：． 分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出 ，然后再利用，即可得出 ． 解决梯形问题常用的方法 在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作 交于，从而把梯形问题转化成三角形来解， 实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法 叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法 之—（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形． （4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点， 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形． 我们学过“如果一个 三角形中有两个角 相等，那么它们所对 的边相等．”因此， 我们只要能将等腰 梯形同一底上的两 个角转化为等腰三 角形的两个底角，定 理就容易证明了． 让学生想一想，还可 以用什么样的方法 作辅助线来解决梯 形问题，多找几名学 生回答，然后教师总 结，可借助多媒体演 示见图）． 解决梯形 问题的基 本思想和 方法就是 通过添加 适当的辅 助线，把 梯形问题 转化为已 经熟悉的 平行四边 形和三角 形问题来 解决．
人教版五年级数学上册 梯形的面积练习题
人教版五年级数学上册梯形的面积练习题 不要忘记梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 用字母表示：S=（a+b）×h÷2 一丶填空。 （1）13.6公顷=（）平方米67000平方米=（）公顷650平方厘米=（）平方分米0.48平方米=( )平方分米 4.8平方米=（）平方分米62平方厘米=（）平方分米 1.2公顷=（）平方米 1.2平方千米=（）公顷 650平方分米=（）平方米35000平方米=（）公顷 （2）两个（）的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于 （），高等于（），每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的（）。 （3）一个梯形的上底4米，，下底3米，高6米，面积是（） （4）一个梯形上底12米，比下底短6米，高6.5米，它的面积是（）（5）一个梯形的面积是6.5平方分米，上下底之和是13厘米，这个梯形的高是（）（6）一个梯形面积是12平方米，高是3米，上底2.3米，下底是（）（7）一个梯形的上下底之和是56厘米，高是12厘米，面积是（）三、判断，对的在（）里面“√”，错的画“×”。 （1）平行四边形的面积一定比梯形面积大。（） （2）两个面积相等的梯形可以拼成一个平行四边形。（） （3）梯形的面积等于梯形的上底加下底的和乘高。（） （4）梯形的面积是平行四边形的一半。（） （5）把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的高一定相等。（）（6）两个等底等高的三角形，面积一定相等，但形状不一定相同。（）（7）面积相等的梯形，一定可以拼成一个平行四边形。（
四、计算下面每个梯形的面积。 （1）上底1.6m，下底3.9m，高:2m （2）上底8dm，下底4dm,高0.6m （3）下底18米，是上底的3倍，高与上底相同。 (4)上底8cm,下底是上底的一半,高4.5cm。 五、应用题 1、一条水渠的横截面是一个梯形，渠口宽2.6m,渠底宽2m,渠深1.5m, 横截面面积是 多少平方米? 2、有一块梯形菜地，上底长16m，下底长28m，高14.5m，如果每平方米疏菜收入43元， 这块菜地的总收入是多少元？
苏教版初中数学梯形和重心
梯形和重心 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 掌握梯形，等腰梯形，直角梯形的概念和等腰梯形的性质和判定，会用梯形的有关知识进行计算和证明． ● 会求梯形的面积． ● 培养化归的思想和添加辅助线的能力． ● 会找线段，三角形，平行四边形的重心，掌握三角形重心的性质并能加以应用． 重点： ● 掌握等腰梯形的性质和判定，并能不断优化推理论证． 难点： ● 把梯形或其它多边形的问题转化为三角形或平行四边形的问题求解，优化几何基本图形的组合； ● 熟练掌握梯形的常见辅助线添法． 学习策略： ● 经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形 中应用。 二、学习与应用 （一）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： （二）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。 知识回顾---复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
知识点一：梯形 要点诠释：一组对边平行，另一组对边 的四边形叫梯形． 知识点二：等腰梯形 要点诠释：两腰 的梯形叫等腰梯形． 知识点三：直角梯形 要点诠释：有一个角是 的梯形叫直角梯形． 知识点四：等腰梯形的性质 要点诠释： （1）等腰梯形同一个底上的两个角 ． （2）等腰梯形的两条对角线 ． 知识点五：等腰梯形的判定 要点诠释： （1）两腰 的梯形是等腰梯形． （2）同一底上两个角 的梯形是等腰梯形． 知识点六：四边形的分类 要点诠释： 知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏．详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#246430．
梯形及等腰梯形的性质和判定
1、梯形定义 ： 2、基本概念（如图）： 底： 腰： 高： 等腰梯形直角梯形 3②等腰梯形同一底上的两个角 ． ③等腰梯形的两条对角线 ． 4、等腰梯形判定方法： 。 几何表达式：梯形ABCD 中，若 ，则 ． 【注意】等腰梯形的判定方法： 1、先判定它是梯形。 2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形． 梯形中位线性质： ． （强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．）
例如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE. 分析:1、先证梯形ABCD是等腰梯形, 根据等腰梯形的性质得到AC=BD; 2、再证四边形BECD是平行四边形,从而得到CE=BD,所以AC=CE.. 例1、.如图,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积. 【变式练习】 1.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF. (1)求证：AB=CF； (2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由. 2.(2010广州白云山模拟,6)四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( ) A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.平行四边形 3.(2010天津塘沽模拟,6)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB的长等于( ) A.10 cm B.13 cm C.20 cm D.26 cm
小学五年级数学：梯形的面积教案
新修订小学阶段原创精品配套教材 梯形的面积教案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Trapezoidal area lesson plans 教师：风老师 风顺第二小学 编订：FoonShion教育
梯形的面积教案 一、教学目标 1．在实际情境中，认识计算梯形面积的必要性。 2．引导学生在自主参与探索的过程中，发现并掌握梯形的面积计算方法，能灵活运用梯形面积计算公式解决相关的数学问题。 3．结合数学“再创造”过程，培养学生观察、操作、比较等逻辑思维能力与初步的科学探究能力。 4．通过小组合作学习，培养学生合作学习的能力。 二、教学设计 （一）新知探索 （一）呈现实际情境，感受计算梯形面积的必要性 师：孩子们，这是一幅堤坝的图案，知道堤坝有什么作用吗？ 生：它是用来防水灾的。 师：对了，它是一种防水拦水的建筑物，请看，这是它的横截面，这个横截面是个什么图形吗？
生：梯形。 师：堤坝横截面是梯形是因为水的压强随深度增加而增大，因此在筑堤坝时要将下部做的又宽又厚，这样既能防止强大的水压将堤坝压垮，又节省材料！你还记得梯形各部分的名称吗？ 生：上底，下底，还有高。 师：那么这个堤坝的横截面积到底该怎么计算呢？今天，让我们共同来研究。（板书课题：梯形的面积） 师：你认为我们该从哪儿入手研究呢？想想我们在学习三角形的时候是怎么开始的？ 生：可以象三角形那样把梯形转化为学过的图形。 师：孩子们学得真好。我有个建议，发挥小组的力量，共同合作探究。 （二）提供材料，自主探究图形的转化过程 1、提出小组合作的要求 师：听清楚老师的要求： a.利用你们手上的梯形学具，独立思考能把梯形转化成已学过的什么图形。 b.想：拼成的图形和原来的梯形有什么关系？ 2．自主探究，合作学习 （学生小组合作讨论，动手操作，教师巡视参与并给以适当的指导。让部分小组上黑板展示）
第三课 独体字的重心
第三课独体字的重心 教学内容：课本9—10页 教学目标： （1）能通过观察概括独体字的大致形状，总结出书写规律。（2）能在临摹，书写独体字时注意重心平衡，特别是字形倾斜的独体字；临摹字形较小的独体字时，笔画稍粗，但不能将字写大。 （3）培养学生的观察能力，归纳能力。 （4）培养学生审美素养，加深学生对书法艺术的理解力。教学重点：能抓住书写规律，正确地临摹，书写独体字。 教学难点：在临摹，书写独体字重心的平衡。 教学方法：讲授式、探究式、合作式。 教学用具：课件、实物投影、范字、书写用具、字帖等。 教学过程： 一、导入新课 要写好硬笔行楷字，从书法技法上讲，关键有两条。一是笔画，即要掌握好自然连带这一最基本的笔画组合规律；二是结构，即要掌握笔画之间的搭配、布白。总的来说，写好笔画是为结构服务的。因此，归根到底是要写好结构。 二、具体研习 1.教师介绍汉字的十一种形状。从结构上讲，汉字可分为独体字与合体字两种。独体字也叫单体字，它是由基本笔画、部件组成的字。从外形看，汉字可分为以下十一种形状。 正方形、长方形、扁方形、正三角、倒三角、梯形、倒梯形、圆形、棱形、左斜形、右斜形。 2.学生观察课本中独体字例字，说说它们分别属于哪种形状，有什么特点。
3.学生讨论交流后，教师点拨。 4.对照例字按照行楷字的书写原则进行书写。 5.展示学生的书写作品，学生点评，并交流自己书写中遇到的问题。 6.师生共同解答有关问题，总结书写时应注意的事项： （1）相对来说，独体字笔画比较少，书写时一定要注意重心平稳。字的重心是支撑字的中心点，重心平稳，字才能立得住，才能斜中求正，字自然也会端正平稳。 （2）很多独体字两边都有撇捺斜形笔画，书写时要注意两边的笔画搭配起支撑作用，整个字才显得端正舒展、美观大方。 （3）尽管硬笔字的书写笔画粗细反差不是很大，但一个字的笔画也要有轻有重，有细有粗，尤其是个别笔画在折处、捺处、钩处、起笔和收笔处都宜粗重，这样字才显得富有弹性。 7.学生参照范例，用行楷抄写有关课文，注意体会独体字在句子中的运用。评出优秀作品进行表扬。欣赏名家书法作品。 三、课堂小结 汉字作为一种文字符号体系，已有几千年的历史，无论是楷书，还是行楷书，都是经过长期发展后固定下来的记录汉语的书写形式。汉字书写是中国人启蒙教育的重要内容，写字水平是反映一个人文化素质高低的一个重要方面。因此，我们应该在使用硬笔熟练地书写正楷字的基础上，学写规范、通行的行楷字，提高书写速度。要知道，写字根本没有天才。写好字全靠信心+细心+恒心。希望同学们课后多加练习。
小学五年级数学知识点：梯形知识点
小学五年级数学知识点：梯形知识点 知识点对朋友们的学习非常重要，大家一定要认真掌握，我们为大家整理了梯形知识点，让我们一起学习，一起进步吧! 梯形的面积=(上底+下底)x高÷2 用字母表示：S=(a+b)h÷2 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形.两腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫做直角梯形. 2.分类：梯形分为一般梯形和特殊梯形，特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形. 3.等腰梯形：(1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。 (2)性质：等腰梯形的腰相等，同一底上的两个内角相等，等腰梯形的对角线相等。 (3)判定方法：①两腰相等的梯形是等腰梯形; ②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形; ③对角线相等的梯形是等腰梯形. 【练习题】 (1)13.6公顷=( )平方米67000平方米=( )公顷650平方厘米=( )平方分米0.48平方米=( )平方分米 4.8平方米=( )平方分米62平方厘米=( )平方分米 1.2公顷=( )平方米1.2平方千米=( )公顷 650平方分米=( )平方米35000平方米=( )公顷
(2)两个( )的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。( )，高等于( )，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的( )。 (3)一个梯形的上底4米，下底3米，高6米，面积是( )