八年级数学勾股定理易错点与重难点复习(一)
勾股定理易错点与重难点复习（一）
1、已知实数a 满足100822018a a a －＋－＝，那么221008a －＝ 。 2018
2、已知571x x ＋－－＝
，则57x x ＋＋－＝ 。 12 3、已知a ＋b ＝4，ab ＝1，则a b
b a
＋
＝ 。 4 4、已知2510x x -+= （1）求1x x +
的值； （2）求221
x
x +的值； （3）求441x x +的值； （4）直接写出551x x +＝_________，6
6
1x x +＝_________。 解：1x x +
＝5 221
x x +＝3 331x x +＝25 441x x +＝7 551x x +＝55 66
1
x x +
＝18
知识点 勾股定理及其逆定理 【知识梳理】
1、勾股定理的基础概念
（1）勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾（a ）和股（b ）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c ）来表示斜边。
（2）勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：2勾＋2股＝2
弦。
（3）勾股定理的表示方法：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则2
a ＋2
b ＝
2c 。
（1）勾股定理的前提是，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系。
（2）利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边。尤其在记忆2a＋2b＝2c时，此关系式只有当c是斜边时才成立。若b是斜边，则关系式是2a＋2c＝2b；若a是斜边，则关系式是2b＋2c＝2a。
（3）勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由2a＋2b＝2c，得2a＝，2b＝等。熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助。
2、勾股定理的验证
方法1：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形。
方法2：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形（赵爽弦图）。
方法3：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的梯形。
3、勾股数
满足2a＋2b＝2c的三个正整数，称为勾股数。
（1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足2a＋2b＝2c；②都是正整数。两者缺一不可。（2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足2a＋2b＝2c（但不一定是勾股数），以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm、0.4cm、0.5cm为边长的三角形是直角三角形。
4、勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a、b、c满足2a＋2b＝2c，那么这个三角形是直角三角形。
（1）不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”。 （2）当满足2
a ＋2
b ＝2
c 时，c 是斜边，∠C 是直角。
5、逆命题与互逆定理
（1）如果一个命题的题设、结论与另一个命题的题设、结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题。把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 想一想：原命题成立时，逆命题一定成立吗？
（2）一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
【例题精讲一】勾股定理的理解运用
例1. 1、在直角三角形中，斜边＝2，则＝______。
2、已知直角三角形两边x 、y 的长满足24x －＋
652+-y y ＝0，则第三边长为__________。
3、如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 上的一点，BE ∥AC ，且DE ⊥AD 。若BD ＝2，CD ＝4，则BE 的长为________。
（图1） （图2）
【课堂练习一】
1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长是__________。
2、一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为_________。
3、如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝8，AD ＝6，ABC S △＝42，则AB
AC
＝_________。 4、已知一直角三角形的两直角边长为1、2，则斜边上的高线长为________。
【例题精讲二】用勾股定理求面积
例 2. 1、如图1，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为___________cm 2。
ABC AB 222AB AC BC ++
（图1） （图2） （图3）
2、如图2，分别以等腰Rt △ABC 的边AB 、AC 、BC 为直径在AB 的同侧画半圆，若AB ＝4，则图中两阴影部分面积之和是_________。
3、如图3，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝60°，∠BCD ＝30°，BC ＝6，那么△ACD 的面积是________。
【课堂练习二】
1、如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 。
（图4） （图5）
2、如图5，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE 于点E ，且AE ＝5，BE ＝12，阴影部分的面积是 。
3、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ 。
【例题精讲三】勾股方程的应用
例3. 1、如果一个三角形三条边长分别为4、5、6，求这个三角形的面积。
A
B
C
D
7cm
2、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分面积。
【课堂练习三】
1、如果一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，那么它的面积为。
2、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD＝8，AB＝4，那么△BED 面积是多少？
【例题精讲四】勾股定理求立体图形中的最短路径
例4. 1、已知，如图1是一个封闭的正方形纸盒，E是CD中点，F是CE中点，一只蚂蚁从一个顶点A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是（）
A．A?B?C?G B．A?C?G C．A?E?G D．A?F?G
（图1）（图2）（图3）
2、如图2，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm。若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）
A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm
3、如图3，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC。一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）
A．
6
4
??
?
??
＋
π
cm B．5cm C．35cm D．7cm
【课堂练习四】
1、如图4所示，有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（）
A．3米B．4米C．5米D．6米
（图4）（图5）
2、如图5，为了庆祝春节，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m。如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为。
【例题精讲五】勾股定理的实际应用
例1. 1、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。如图所示，据气象观测，距沿海城市A的正南方向240千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向往C运动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响。
（1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由；
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
2、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
【课堂练习五】
1、如图1为某楼梯，测得楼梯的宽为2米，斜坡长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的面积至少为______。
（图1）（图2）
2、如图2，一个梯子AB长2.5 m，顶端A靠在墙AC上（AC⊥CD），这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下滑了多少m？
3、如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域。运用所学知识判断A市是否受影响，如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
1、Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB长是（）
A．4 B．1 C．
33
2
D．
33
4
2、如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是（）A．S1＋S2＝S3 B．S12＋S22＝S32C．S1＋S2＞S3D．S1＋S2＜S3
（第2题）（第3题）
3、如图，将一个边长分别为
4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．3B．3
2C．5D．5
2
4、平面直角坐标系中，点P(－3，2)到坐标原点的距离是__________。
5、一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高_______米。
6、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CD是斜边AB的高，则CD的长为________。
7、一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行。20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为。
（第7题）（第8题）
8、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC且AD＝6cm，CE⊥AB且CE＝8cm，则△ABC的周长
为。
9、一根70cm的木棒，（“能”或“不能”）放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中。
10、在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为10和35，那么这个直角三角形的斜边长为。
11、如图，在等边三角形△ABC中，射线AD四等分∠BAC交BC于点D，其中∠BAD＞∠CAD，求CD
BD
的值。
（第11题）（第12题）
12、如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。
CD＝AD·BD。
13、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，求证：2
14、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝15千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
逆命题与勾股定理的逆定理
1、将命题“对顶角相等”的题设、结论互相交换后得到的命题为：。
2、下列四组数中，其中有一组与其他三组规律不同，这一组是（）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．4，5，7
第18章[1].勾股定理知识点与常见题型总结
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：， 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD 22 1 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=
方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在A B C ?中，90C ∠=? ，则c = b = ，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求
人教版数学八年级下册重难点
八年级下册重难点第十六章分式 16．1 分式从分数到分式一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，二、重 分式的值为零的条件点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 分式的基本性质一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点 1．重点: 理解分式的基本性质. 2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 16．2 分式的运算16．2．1 分式的乘除（一） 一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算. 二、重点、难点 1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算. 16．2．1 分式的乘除（二）一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 二、重点、难 点 1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 16．2．1 分式的乘除（三）一、教学目标：理 解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算. 二、重点、难点 1．重点：熟练地进行分式乘方的运算. 2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 16．2．2 分式的加减（一）一、教学目 标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算. （2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2．难点：熟练地进行异分母 的分式加减法的运算. 16．2．2 分式的加减（二）一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟 练地进行分式的混合运算. 二、重点、难点 1．重点：熟练地进行分式的混合运算
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勾股定理知识点易错点 一、知识体系： 二、知识点： 1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。即：a2＋b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）.如图所示，我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜 边叫做“弦”。 注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种 关系。 （2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。 2 、勾股定理的验证
验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下几个步 3、勾股定理的逆定理：（重点） 如果三角形的三边长a 、b 、c 且a 2＋b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。 注意：（1）证明时不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角形，当然也 不能说成“斜边、直角边” （2）a 2＋b 2=c 2它只是一种表现形式，不能因为a 2＋b 2≠c 2就说这个三角形不是直角三角 形。如a=5，b=3,c=4. a 2＋b 2≠c 2但此三角形是直角三角形。a 为斜边。 利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法：求出三角形中较小两边的平方和 与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三角形，否则不是。 勾股数：满足a 2＋b 2=c 2的3个正整数，且满足a 2＋b 2=c 2。1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么 。 222a b c +=强调说明：勾——最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形就为直角三角形。 3、3、定理的证明方法 我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
第18章勾股定理全章学案
勾股定理（第一课时） 执笔：陈家菊 一．温故知新 1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于 ；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于 。 2.分别求出下式中的x 的值：①x 2=5 ②(x -2)2=5 ③2(2x -1)2=9 二．学习新知 1.完成P 65的探究，猜想得出的结论： 。 2.分别用下面的图形证明上述结论（方法：面积法） b a b c a a c b a c b a a b c b c a b c c b a D C B A 4.在上面第4个图中画出剪裁线，拼成能证明勾股定理的图形，你能拼出几种？ 5．完成P 68--2，并对答案，由小组长给予评价。 三．释疑提高 求正方形B 的边长 625 400 求正方形A 的面积 14425 A B 3.在Rt △ABC 中，有两边长为5，12，求第三边长及斜边上的高线的长度。 4、在Rt △ABC 中，∠C =90°（1）已知a :b =1:2,c =5,求a .（2）已知b =6, ∠A =30°, 求a ,c . 四．小结归纳： 五．巩固检测： 1.课本P 70,4、5、8 2.作业精编 P 32 、33 3.课堂作业P 27、28 勾股定理（第二课时） 执笔：陈家菊 一．温故知新 1.勾股定理的内容： 2、几组常用的勾股数为： 3、实数包括 和 ，数轴上的点与实数是 的关系。 二．学习新知 1.完成P 66的探究1，门框的对角线AC 是斜着能通过的最大长度，只要AC （大于或小于）木板的长或宽中较短的一边，木板 （能或不能）从门框内通过。 2.完成P 67的探究2，在Rt △ABO 中,已知 ，可求 ，在Rt △ODC 中，已知 ，可求 。 3.完成P 68的练习1，组长检查并做出评价。 4. 完成P 68的探究3，在数轴上找无理数的位置，先要确定这个无理数是直角边分别为哪两个正整数的直角三角形的 ，再用尺规在数轴上找到它的位置。 5. 完成P 69的练习1。 三．释疑提高 1.有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ,40cm ,30cm 的木箱中，能否放进去？ 2.将一个长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是hcm ,求h 的范围。 3.小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖着来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，竹竿的两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 4.一圆柱底面周长为6cm ,高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，求爬行的最短距离。
勾股定理知识点总结
第十七章勾股定理知识点总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 八年级数学下册重难点、考点 9.3平行四边形 重点：平行四边形的概念；平行四边形的性质和判定 考点：综合运用平行四边形的性质和判定来解决有关线段、角、面积、周长等问题以及图形的全等、直线的位置关系等问题是中考必考的内容。题型以基础题和中档题为主，在综合题中经常涉及。 9.4矩形、菱形、正方形 重点：矩形、菱形、正方形的定义和性质，矩形、菱形、正方形的判定，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 难点：平行线间的距离 考点：以考查各种平行四边形的性质和判定及其应用为主。单独命题时，主要以选择、填空、解答的形式出现；综合考查时，主要以探究、开放、阅读理解的形式出现。 9.5三角形的中位线 重点：三角形的中位线；三角形中位线的性质 难点：中点四边形 考点：三角形的中位线和性质是中考命题的重点，多与其他平面图形结合在一起综合考查。 单独命题时以填空或选择的形式出现。 第十章分式 重点：理解分式的意义；会利用分式的基本性质进行约分和通分；会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程，能够用它解决实际问题。 难点：分式的约分和通分；分式的运算；解分式方程，增根的来源及运用；如何用分式方程解决具体问题。 10.1分式 重点：分式的概念；分式有意义、无意义或等于0的条件。 考点：分式有意义、无意义或等于0的条件为中考热点，题型以选择、填空为主，或以综合性的题目为载体综合考查。 10.2分式的基本性质 重点：分式的基本性质。 难点：分式的约分和通分；分式恒等变形。 考点：分式的基本性质是中考中重要的考点之一，它是以后运算的基础，题型多以选择、填空形式出现。 10.3分式的加减 重点：同分母分式的加减；异分母分式的加减。 考点：常与分式的化简、求值相结合，题型以选择、填空或分值不高的解答题为主。 10.4分式的乘除 重点：分式的乘除；分式的混合运算。 考点：分式的运算是中考的重要考点之一，重点考查分式的混合运算、分式的求值，有时和其他知识结合起来考查。题目有选择、填空和解答。 10.5分式方程 重点：分式方程的定义；分式方程的解法及增根 难点：分式方程的应用。 考点：解分式方程和列分式方程解应用题都是中考命题的重要考点，大部分以解答题的形式出现，也有一些以选择、填空的形式出现。 第十一章反比例函数 第十八章目录 一、勾股定理 (2) 考向1：勾股定理的直接用法 (3) 考向2：勾股定理的构造应用 (3) 考向3：用勾股定理求两点之间的距离问题 (4) 考向4：用勾股定理求最短问题 (4) 考向5：利用勾股定理作长为n的线段 (5) 二、勾股定理的逆定理 (6) 考向6：利用勾股定理逆定理判断垂直 (7) 考向7：勾股定理和逆定理并用 (7) 考向8：旋转问题 (7) 考向9：折叠问题 (8) 第十八章勾股定理知识点总结与典型例题 一、勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：如果直角三角形 的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222 a b c += 2、要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b ，a ） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3、勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：（课本P72） 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b(完整版)八年级数学下册重难点
第十八章勾股定理知识点总结与典型例题
勾股定理全章知识点归纳总结