201705浦东初三数学二模试卷
（完卷时间：100分钟，满分：150分）2017.5
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
（A ）3.14；
（B ）
3
1
； （C ）3； （D ）9． 2．下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是（ ）
（A ）a 3； （B ）22a ；
（C ）3a ； （D ）4a ．
3．函数1-=kx y （常数0>k ）的图像不经过的象限是（ ） （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限． 4．某幢楼10
那么这10 （A ）180，180； （B ）180，160； （C ）160，180；
（D ）160，160．
5．已知两圆的半径分别为1和5，圆心距为4，那么两圆的位置关系是（ ） （A ）外离 ； （B ）外切； （C ）相交；
（D ）内切．
6．如图，已知ABC △和DEF △，点E 在BC 边上，点A 在DE 边上，边EF 和边AC 交于点G ．如
果AE =EC ，B AEG ∠=∠．那么添加下列一个条件后，仍无法判定DEF △与ABC △一定相似的是
（A ）
EF DE BC AB =； （B ）GE GF
AE AD =
； （C ）EF EG AC AG =； （D ）EA
EG EF ED =
． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 计算：=?2
a a ． 8． 因式分解：=-x x 22 ． 9． 方程x x -=-28的根是 ． 10．函数2
3)(+=
x x
x f 的定义域是 ． 11．如果关于x 的方程022=+-m x x 有两个实数根，那么m 的取值范围是 ． 12．计算：()
=++
b a a
3
12 ． 13．将抛物线122-+=x x y 向上平移4个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是 ． 14．一个不透明的袋子里装有3个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他的差异，从袋子中随机
（第6题图）
摸出1个球，恰好是白球的概率是 ． 15．正五边形的中心角是 ．
16．如图，圆弧形桥拱的跨度16=AB 米，拱高4=CD 米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是 米．
17．如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，我们称这个三角形为“等
线三角形”，这条边称为“等线边”．
在等线三角形ABC 中，AB 为等线边，且AB =3，AC =2，那么BC = ．
18．如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =7．点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且点B 、F 关于过点E
的直线对称．如果以CD 为直径的圆与EF 相切，那么AE = ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：1
21
282
223
1
++
+---． 20．（本题满分10分）
解不等式组：32145,311.2
2x x x x ->-??
?-≤??（
）
21．（本题满分10分，每小题各5分）
已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，且四
（第18题图）
（第16题图） ① ②
边形OABC 是平行四边形，52=OC ，552sin =∠AOC ．反比例函数x
k
y =的图像经过点C 以及边AB 的中点D ．
求：（1）这个反比例函数的解析式； （2）四边形OABC 的面积．
22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元．在销售的过程中价格有调整，按原价格每本8.25元，卖出36本；后经两次涨价，按第二次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分别获得的销售利润恰好相等． （1）求第二次涨价后每本练习簿的价格；
（2）在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这个增长率． （注：100%-=?（后一次的利润前一次的利润）利润增长率前一次的利润
）
23．（本题满分12分，每小题各6分）
已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，?=∠90C ，BC =CD ，点E 、F 分别在边BC 、
（第23题图）
CD 上，且BE =DF =AD ，联结DE ，联结AF 、BF 分别与DE 交于点G 、P ． （1）求证：AB =BF ；
（2）如果BE =2EC ，求证：DG =GE ．
24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
已知抛物线32-+=bx ax y 经过点A ）（3,7-，与x 轴正半轴交于B ）（0,m 、C ）（0,6m 两点，与y 轴交于点D ． （1）求m 的值；
（2）求这条抛物线的表达式；
（3）点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当∠PQD =90°
且PQ =2DQ 时，求点P 、Q 的坐标．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
如图所示，?=∠45MON ，点P 是MON ∠内一点，过点P 作OM PA ⊥于点A 、ON PB ⊥于
（第24题图）
点B ，且22=PB ．取OP 的中点C ，联结AC 并延长，交OB 于点D ． （1）求证：OPB ADB ∠=∠；
（2）设x PA =，y OD =，求y 关于x 的函数解析式；
（3）分别联结AB 、BC ，当ABD △与CPB △相似时，求PA 的长．
浦东新区2016学年第二学期初三教学质量检测
数学参考答案及评分说明
（第25题图）
（备用图）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．C ； 3．B ； 4．A ； 5．D ； 6．C ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．3a ； 8．()2-x x ； 9．4-=x ； 10．2-≠x ； 11．1≤m ； 12．b a
3
13
7+； 13．()2,1-； 14．
4
3
； 15． 72； 16．10； 17．5； 18．3．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 解：原式=124
1
222-++
--．………………………………………………………各2分 = 4
3
-
．………………………………………………………………………………2分 20．（本题满分10分）
解：由①得:5436->-x x ．…………………………………………………………………2分 22->x ．……………………………………………………………………2分 1->x ．……………………………………………………………………1分 由②得:x x ≤-23．………………………………………………………………………2分 22≤x ．………………………………………………………………………1分 1≤x ．………………………………………………………………………1分 ∴原不等式组的解集是11≤<-x ．……………………………………………………2分 21．（本题满分10分，每小题各5分）
解：（1）过点C 作CH ⊥OA 于点H ．………………………………………………………1分 在△COH 中，∠CHO=90°, ∴sin ∠AOC=55
2=OC CH ． ………………………1分
∵52=OC ，∴CH=4．………………………………………………………………1分 在△COH 中，∠CHO=90°, ∴222=-=CH OC OH ．
∵点C 在第一象限，∴点C 的坐标是（2，4）．………………………………………1分 ∵反比例函数x k y =
的图像过点C （2，4），∴k =8．即x y 8
=．…………………1分
（2）过点D 作DG ⊥OA 于点G ．……………………………………………………………1分
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =OC =52．……………………………………1分 ∵点D 是边AB 的中点，∴AD =5． …………………………………………………1分 在△DAG 中，∠DGA=90°, ∴sin ∠DAG =sin ∠AOC=552=DA DG ．
∴DG=2，AG =1．∴设点D 的坐标为（a ，2）． ∵反比例函数x
y 8
=
的图像过点D （a ，2），∴a =4．即OG =4．…………………1分 ∴OA =OG －AG =3．∴四边形OABC 的面积为12．……………………………………1分
22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）设第二次涨价后每本练习簿的价格为x 元．………………………………………1分 由题意得：()()25236225.8?-=?-x ．…………………………………………2分 解得：11=x ．
答：第二次涨价后每本练习簿的价格为11元．……………………………………1分 （2）设每本练习簿平均获得利润的增长率为y ．………………………………………1分 由题意得：()()2111225.82
-=+?-y ．…………………………………………2分
解得：2.0=y 或2.2-=y （不合题意，舍去）．…………………………………2分 答：每本练习簿平均获得利润的增长率为20%．…………………………………1分 23．（本题满分12分，每小题各6分） 证明：（1）∵ AD ∥BC ，AD=BE ，∴四边形ABED 是平行四边形．………………………1分
∴AB =DE ．………………………………………………………………………………1分 ∵BE =DF ，BC =CD ，∴ CE =CF ．……………………………………………………1分 又∵∠BCF=∠DCE=90o，BC =CD ．∴△BCF ≌△DCE ．……………………………2分 ∴ DE =BF ．………………………………………………………………………………1分 ∴ AB =BF ．
（2）延长AF 与BC 延长线交于点H ．………………………………………………………1分
∵BE =2CE ，BE =DF=AD ，CE =CF ，
∴ DF =2CF ，AD=2CE ．…………………………………………………………………1分
∵ AD ∥BC ，∴
CF
DF
CH AD =
．……………………………………………………………1分 ∴AD =2CH ．………………………………………………………………………………1分 ∴AD=2CE =2CH ．
又∵EH =CE +CH ．∴AD=EH ．…………………………………………………………1分
∵ AD ∥BC ，∴EH
AD
GE DG =
．……………………………………………………………1分
∴DG=GE．
解：（1）抛物线32-+=bx ax y 与y 轴的交点D （0，3-）．……………………………1分
∵抛物线经过点A （7，3-），∴抛物线的对称轴为直线2
7
=x ．…………………1分 ∴
2
7
26=+m m ．解得1=m ．…………………………………………………………1分 （2）由1=m 得B （1，0）．
将A （7，3-）、B （1，0）代入抛物线解析式得：?
??=-+-=-+.03,
33749b a b a ……………2分
解得：???
????
=-=.27,21b a …………………………………………………………………………1分
∴这条抛物线的表达式为：32
7
21
2-+
-=x x y ．……………………………………1分 （3） ①当点Q 在原点时，抛物线与x 轴的交点）（0,6即为点P ， 90=∠PQD 且PQ =2DQ ． ∴）（0,6P ，）（0,0Q ．…………………………………………………………1分 ②当点Q 不在原点时，过点P 作轴x PH ⊥于点H ． ∵ 90=∠=∠QHP DOQ ，QPH DQO ∠=∠，
∴△DOQ ∽△QHP ．…………………………………………………………………1分 ∵PQ =2DQ ，∴
2
1
===QP DQ PH OQ QH OD ． ∴62==OD QH ，OQ PH 2=．………………………………………………………1分 由题意，设）（0,k Q ，那么)26(k k P -+，． ∵点)26(k k P -+，在抛物线32
7
21
2-+-=x x y 上， ∴k k k 23)6(2
7
)6212-=-++
+-（ 解得01=k ，12-=k ．………………………………………………………………1分 当0=k 时，点Q 与点O 重合，舍去．
∴）（2,5P ，）（0,1-Q ．………………………………………………………………1分
∴）（0,6P ，）（0,0Q 或）（2,5P ，）（0,1-Q ．
（1）证明：记COA α∠=
∵PA OM ⊥，C 是OP 的中点，∴PC OC AC ==．……………………………1分 ∴COA CAO α∠=∠=．……………………………………………………………1分 又∵?=∠45MON ，
∴45ADB AOD CAO α∠=∠+∠=+o ．……………………………………………1分
45POB MON COA α∠=∠-∠=-o ．……………………………………………1分
又∵PB ON ⊥，
∴在△POB 中，∠PBO=90°,∴9045OPB POB α∠=-∠=+o o ．……………1分 ∴ADB OPB ∠=∠．
（2）解：延长AP ，交ON 于点E ，过点A 作AF ON ⊥于点F ．……………………1分 ∵PA OM ⊥，∠MON=45°, PB ON ⊥，
∴∠AEO=45°．
即△AOE 、△PBE 均为等腰直角三角形．
又P A =x ，PB
=PE =4，AO =AE =4x +．…………………………………1分
∴OE
+ ∴OF=EF=AF
+，OB
+DF =y x -+2222．………1分
∵ADB OPB ∠=∠，∴cot cot ADB OPB ∠=∠．∴DF PB
AF OB
=
．………………1分
y
+=
． ∴4
22422++=x x
x y ．………………………………………………………………1分
（3）∵PB ON ⊥，C 是OP 的中点，∴CB CP =． ∴CBP CPB ∠=∠，即△CBP 为等腰三角形．
又∵△ABD 与△CBP 相似，且ADB CPB ∠=∠． ∴ADB ABD ∠=∠或ADB DAB ∠=∠．
即AD AB =或BD AB =．…………………………………………………………1分
∵CA CO CP CB ===，∴2ACP COA ∠=∠，2BCP BOC ∠=∠．
∴?=∠=∠902AOB ACB ．
又∵CA CB =，∴?=∠45DAB ．………………………………………………1分
① 如果AB AD =，那么1804567.52
ADB ABD -∠=∠==o o
o ．
∴67.5OPB ∠=o ．∴22.5AOP BOP ∠=∠=o ． 又∵OM PA ⊥于点A 、ON PB ⊥于点B ，
∴22==PB PA ．……………………………………………………………1分
② 如果BA BD =，那么90ABD ∠=o ． ∵?=∠90PBD ，∴点A 在直线PB 上．
又∵OM PA ⊥于点A ，∴点P 与点A 重合．
而点P 是MON ∠内一点，∴点P 与点A 不重合．此情况不成立．………1分
综上所述，当△ABD 与△CBP 相似时，22=PA ．