00023高等数学(工本)201004 历年真题及答案解析

2010年4月高等教育自学考试全国统一命题考试

高等数学(工本)试题

课程代码：00023

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.在空间直角坐标系中,方程122

2222=++c

z b y a x 表示的图形是( ) A.椭圆抛物面

B.圆柱面

C.单叶双曲面

D.椭球面 2.设函数z =x 2y ,则

=??x z ( ) A.212-y yx

B.x x y ln 2

C.x x y ln 22

D.()12-y yx

3.设Ω是由平面01=-+-z y x 及坐标面所围成的区域,则三重积分=???Ω

dxdydz ( ) A.8

1 B.

61 C.31 D.21 4.已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( )

A.2C 1x +C 2cos x

B.2Cx +cos x

C.cos x +C (2x -cos x )

D.C (2x -cos x ) 5.设幂级数∑∞--1)3(n n n x a

在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( )

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.敛散性不定 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设函数y

x y z cos sin =,则=??x z .

7.已知dy e dx e y x y x +++是某函数()y x u ,的全微分,则()=y x u , .

8.设∑是上半球面()01222≥=++z z y x ,则对面积的曲面积分??∑

=dS .

9.微分方程x y 2sin =''的通解为y= .

10.无穷级数∑∞

=0!2n n

n 的和为 . 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

11.求过点P (3,-1,0)并且与直线0

321-=-=z y x 垂直的平面方程. 12.设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求

x z ??,y z ??. 13.设方程x

y x ln =确定函数()y x z z ,=,求全微分dz. 14.求函数()22,xy y x y x f +=在点(1,-1)沿与x 轴正向成30°角的方向l 的方向导数.

15.求空间曲线t z t y t x ===,sin ,cos 在点????

??4,22,22π处的切线方程. 16.计算二重积分()dxdy e

I D y x ??+-=22,其中区域D ：.0,422≥≤+y y x

17.计算二次积分??

=2

0 2 sin ππy dx x x dy I . 18.计算对弧长的曲线积分

()?+-L ds y x 132,其中L 是直线2-=x y 上从点(-1,-3)到点(1,-1)的直线段.

19.计算对坐标的曲线积分

?+L ydx xdy 其中L 是抛物线2x y =上从点(-2,4)到点(2,4)的一段

弧. 20.求微分方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解.

21.判断级数()∑∞=-+-131321n n n n 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?

22.设函数()?

??<≤<≤-=ππx x x x f 0,0,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求系数b 7.

四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

23.求函数()y x xy y x y x f 311381021,22-----=的极值.

24.设曲线()x y y =在其上点(x ,y )处的切线斜率为x +y ,且过点(-1,e -1),求该曲线方程.

25.将函数()2

312+-=

x x x f 展开为(x +1)的幂级数.