函数的基本性质
第四讲 函数的基本性质
.函数的单调性概念
（1）增函数和减函数的概念
如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． （3）函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔>--上是增函数；
②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数；
3.常见函数的单调性：
（1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0 ),(+∞-∞上是减函数； （2）反比例函数x k y = ，当0>k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数，当0 （3）二次函数c bx ax y ++=2 ，当0>a 时，在区间)2,(a b - -∞是减函数，在区间),2(+∞- a b 是增函数，当0 b 是减函数. 4.函数单调性判定方法 ①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法 ④图像法，利用图像研究函数的单调性. 1.根据函数的单调性的定义，证明函数1)(3 +-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。 2.判断函数)0()(>+=p x p x x f 的单调性 3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。 4.函数)(x f 对任意的R b a ∈,都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且0>x 时，)(x f ＞1,（1）证明：)(x f 是R 上的增函数；（2）若5)4(=f ，解不等式：f （)232 --m m 3<。 5.求下列函数的单调区间 ,1 )(+= x x x f (2)32)(2-+=x x x f ， 9696)()3(22++++-=x x x x x f 6.(1)求函数f(x)=2 45x x --的单调增区间； （2）求函数20 1 )(2 --=x x x f 的单调区间。 7.若函数f(x)=ax x 22+-与x a x g =)(在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围为 . 8.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=, 0,)2(,0,1)12()(2 x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围。 9.如果c bx x x f ++=2 )(，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，比较)4(),2(),1(f f f 的大小。 10.(1)求函数23)(++-=x x x f 的值域； （2）求函数5 21 32+- +=x x y 的最小值。 11.f(x)是定义在)2,1[-上的增函数，若)1(-a f ＞)31(a f -，求实数a 的取值范围。 课时训练6. 1．下列函数在(0,1)上是增函数的是 A ．y x = B ．2y x = C ．31y x =-+ D ．2 1y x =-+ 2．已知函数3 ()f x x = ，则下面区间不是递减区间的是 A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(1,)+∞ 3．函数3 )(x x f =，]2,0[∈x ，则)(x f 的值域是 A ．]8,0[ B ．]6,0[ C ．]6,1[ D ．]8,1[ 4．函数()f x 是定义在(2,2)-上的减函数，则不等式()(2)f x f x >-的解集为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 5．若函数()1 x f x x a -= +在(),1-∞-上是减函数，则a 的取值范围是 A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．(],1-∞ D ．(),1-∞ 6．设0 1y x x = + -的最小值是________． 7．已知函数f (x )＝x 2–6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________． 8．求证：函数2 ()1 f x x =-在(1，＋∞)上是减函数． 9．函数f (x )的图象如图所示. （1）根据图象指出函数f (x )的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数； （2）根据图象，结合（1）的结论，给出函数f (x )的最值情况. 10．已知函数2 ()22,[5,5]f x x ax x =++∈-. （1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值； （2）若函数()f x 在区间[5,5]-上是单调函数，求a 的取值范围. 11． 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有 A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)＞25 12．函数()f x x = 的值域是 A ．[ 12，+∞） B ．（–∞，12 ] C ．（0，+∞） D ．[1，+∞） 13．已知函数 ()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设 ()()(){}()()(){}{}12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的 较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 的最小值为,A ()2H x 的最大值为 B ,则A B -= A ．2216a a -- B ．2216a a +- C ．16- D ．16 14．若定义在R 上的函数)(x f 同时满足下列三个条件：①对任意实数b a ,均有 )()()(b f a f b a f +=+成立；②4 1 )4(= f ；③当0>x 时，都有0)(>x f 成立. （1）求)0(f ，)8(f 的值； （2）求证：)(x f 为R 上的增函数； （3）求解关于x 的不等式2 1)53()3(≤ ---x f x f . 函数的奇偶性 1.奇偶性的概念 （1）()f x 是奇函数⇔对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=-⇔对定义域内任意x ，都有()()0f x f x -+=⇔()f x 图像关于原点对称； （2）()f x 是偶函数⇔对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=⇔对定义域内任意x ，都有()()0f x f x --=⇔()f x 图像关于y 轴对称； 2.若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f . 3.若函数)(x f 是偶函数，则|)(|)(x f x f =. 4.函数奇偶性的运算性质： （1）奇函数±奇函数是奇函数；（2）偶函数±偶函数是偶函数；（3）奇函数⨯奇函数是偶函数；（4）偶函数×偶函数是偶函数；（5）奇函数×偶函数是奇函数；（6）奇函数/奇函数是偶函数；（7）偶函数/偶函数是偶函数；（8）奇函数/偶函数是奇函数 5.函数奇偶性是研究函数在定义域上的整体性质. 1.已知c b cx bx ax x f ++++=3)(2 3 是定义在)2,1(b b -上的偶函数，求a,b,c 的值. 2.判断下列函数的奇偶性 (1).1.1)(-+=x x x f (2)22)(++-=x x x f (3)11)(2 2 ++-=x x x f (4)2 21)(2 -+-=x x x f (5)1111)(2 2 +++-++=x x x x x f (6)⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>-+-=<++=0 ,320,00 ,.32)(22x x x x x x x x f 3.已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，对任意R b a ∈,，都有)()()(a bf b af ab f +=，（1）求)1(),0(f f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论。 4. （1）若)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数=a 。 （2）已知函数x a x x x f ) )(1()(++= 为奇函数，则=a 。 5.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时x x x f 2)(2 -=，则当0 6.设)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且1 1 )()(-=+x x g x f ，求)(),(x g x f 的解析式。 7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且1 )(2 +++=nx x m x x f ，求)(x f . 8.已知)(x f =835+++bx ax x ，且10)2(=-f ，求)2(f 的值。 9.函数)(x f 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则))2 5 ((f f 的值是( ) A.0 B.21 C.1. D.2 5 . 10.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当]1,0[∈x 时，,)(x x f =则 =)5.7(f 。 11（1）.已知偶函数)(x f 在),0[+∞上单调递增，则满足)12(-x f ＜)3 1(f 的x 的取值范围是 A.)32,31( B )32,31[ C.)32,21( D.)3 2,21[ （2）.若)(x f 是定义在R 上的奇函数，在]0,(-∞上递增，且0)1(=f ，则使0)( 13.定义在区间]2,2[-上的偶函数)(x g ，当0≥x 时，)(x g 单调递减，若)1(m g -＜)(m g 成立，求m 的取值范围。 14.设函数1 )1()(22 ++=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M . 课时训练7 1．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 A ．1y x =+ B ．2 y x =- C ．1y x = D ．3y x = 2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且有(3)(1)f f >，则下列各式中一定成立的是 A ．(1)(3)f f -< B ．(0)(5)f f < C ．(3)(2)f f > D ．(2)(0)f f > 3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 4．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ 的x 的取值范围是 A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ 5．函数1 ()1f x x = +的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．已知3 ()f x x x =+，,a b ∈R ，且0a b +>，则()()f a f b +的值一定 A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．正负都有可能 7．如果定义在区间[3＋a,5]上的函数f (x )为奇函数，那么a 的值为________． 8．已知)(x f 是偶函数，当0 +，令1 ()()g x f x =． (1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据； (2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)． 10．设()f x 是奇函数，对任意的实数,x y 有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时， ()0f x <，则()f x 在区间[,]a b 上 A ．有最大值()2a b f + B ．有最小值()2 a b f + C ．有最大值()f a D ．有最小值()f a 11．定义在R 上的偶函数()f x 满足：(4)(2)0f f =-=，在区间(,3)-∞-与[3,0]-上分 别递增和递减，则不等式()0xf x >的解集为 A ．(,4) (4,)-∞-+∞ B ．(4,2)(2,4)-- C ．(,4)(2,0)-∞-- D ．(,4)(2,0)(2,4)-∞-- 12．已知函数22()3px f x x q +=+是奇函数，且5(2)3 f =，求实数p ，q 的值． 13．若对一切实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)，并证明：f (x )为奇函数； (2)若f (1)＝3，求f (－3)． 《函数的基本性质》知识总结 1.单调性 函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。 ⑴函数单调性的定义 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________. 单调性的等价定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f 0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔x y x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f 0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔x y x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法 ①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等. 注意： ①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2 121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2 121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。 ②导数法（选修）：在()f x 区间()a b ，内处处可导，若总有'()0f x >（'()0f x <），则()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数；反之，()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数，且处处可导，则'()0f x ≥（'()0f x ≤）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。 判定函数的单调性一般要将式子)()(21x f x f -进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。 提醒 求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“U ”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。 ⑶与函数单调性有关的一些结论 ①若()f x 与()g x 同增（减），则()f x ＋()g x 为增（减）函数，(())f g x 为增函 第四讲 函数的基本性质 .函数的单调性概念 （1）增函数和减函数的概念 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． （3）函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在⇔>--上是增函数； ②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔ []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在⇔<--上是减函数. 2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数； 3.常见函数的单调性： （1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0 （3）二次函数c bx ax y ++=2 ，当0>a 时，在区间)2,(a b - -∞是减函数，在区间),2(+∞- a b 是增函数，当0+=p x p x x f 的单调性 3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。 4.函数)(x f 对任意的R b a ∈,都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且0>x 时，)(x f ＞1,（1）证明：)(x f 是R 上的增函数；（2）若5)4(=f ，解不等式：f （)232 --m m 3<。 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数的基本性质 知识梳理 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数 [()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若 ()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为 y x o 减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0) a f x x a x =+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在 [,0)a -、]a 上为减函数． （3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满 足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在 0x I ∈，使得 0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =． ②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在 0x I ∈，使得 0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =． （2）函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的性质 定义 判定方法 函数的奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数 ()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 函数的基本性质 基础知识： 1.奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系； ③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2.单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数的基本性质 一．函数的单调性： 1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有 ? >--?>--? <0)](()([0) ()()()(12121 21221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数 )(x f y =在D 上是增加的。对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有? <--?<--? >0)](()([0) ()()()(12121 21221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数 )(x f y =在D 上是减少的。 2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。（图像在此区间上是增加的） 自左向右看图像是下降的。（图像在此区间上是减少的） 3.判断函数单调性的方法： （1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。（数形结合） 解题程序：解析式-----图像-----单调区间 （2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。 高中基本初等函数： 一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：) 0(≠=k x k y ， 简单幂函数：3,2,21 , 1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：) 10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+ =a x a x y ①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。 ②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同； 当0 函数的基本性质(对称性、周期性) 1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期. 2、对称性： （1）轴对称 ()()f a x f a x +=-?函数)(x f y =关于a x =对称 注意：)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称.得证. 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 a b x += 对称. （2）点对称 ()()2f a x f a x b ++-=?函数)(x f y =关于点),(b a 对称 b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称.得证. 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称. 函数的基本性质 函数的增减性 函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D 上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 最大值 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标． 最小值 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标． 偶函数 (1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 奇函数 (1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 奇偶性的应用中常用到的结论 (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝0. (2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M. (3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 函数单调性的判定与证明 求证：函数f(x)＝1 x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1 函数的基本性质要点总结 研究一种函数就要研究它的性质，单调性与奇偶性是函数最重要的基本性质。 一、单调性 要点1:增函数、减函数定义及图象特征 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意 两个自变量的值，，当＜时，都有f（）＜f（），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。减函数的定义类似。 反映在图象上，若是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是 上升（下降）的。 关于函数单调性的理解： （1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言 有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是 非单调的，如常数函数y=c，又如函数。 （2）函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数 值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。 因此，若要证明在[a，b]上是递增的，就必须证明对于区间[a，b]上任意 的两点x 1、x 2 ，当x 1 ＜x 2 时都有不等式f (x 1 )＜f (x 2 )成立。 若要证明在[a，b]上不是单调递增的，只须举出反例就足够了。即只要找 到两个特殊的x 1、x 2 ，若a≤x 1 ＜x 2 ≤b，有f (x 1 )≥f (x 2 )即可。 （3）函数单调性定义中的x 1、x 2 ，有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1 、x 2 ”， “任意”二字决不能丢掉。证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小， 通常规定x 1＜x 2 ；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。 要点2：单调性与单调区间 如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做y＝f（x）的单调区间。 关于单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。 若函数在其定义域内的两个区间A、B上都是增（减）函数，一般不能简单认为 在A∪B上是增（减）函数。如在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞） 函数的基本性质 函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性 一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。 例2、判断函数1()x f x x += 在)0,(-∞上的单调性并加以证明. 练习： 判断函数2()1x f x x += -在（-∞，0）上的单调性并加以证明。 [例3] 求证函数f (x )＝x ＋x a (a .,>0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 分析 利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形． 证明 (1)设0 函数的基本性质知识点总结 函数的基本性质 函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质。如果对于函数f(x)定义 域内的任意x都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于 函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。如果函 数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。 判断函数奇偶性的步骤如下： 1.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称。 2.确定f(-x)与f(x)的关系。 3.若f(-x) =f(x)或f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(-x) =-f(x)或f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数。 函数的简单性质包括： 1.图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称。 2.在公共定义域上，奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 函数的单调性 函数的单调性是函数的局部性质。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）。必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 对于复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x)，A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集。 1.若函数u=g(x)在区间A上单调增（或单调减），且函数y=f(u)在区间B上也单调增（或单调减），则复合函数 y=f[g(x)]在区间A上单调增（或单调减）。 2.若函数u=g(x)在区间A上单调增（或单调减），且函数y=f(u)在区间B上单调减（或单调增），则复合函数y=f[g(x)]在区间A上单调减。 4.判断函数单调性的方法步骤： ①任取区间D内的两个不同点x1和x2，且x1 高中数学必修1函数的基本性质 １.奇偶性 （1）定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x ）＝－f （x )，则称f (x ）为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意ｘ都有ｆ(-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。 如果函数f (ｘ)不具有上述性质,则f (ｘ）不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质,则f (ｘ)既是奇函数，又是偶函数。 注意: 错误! 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○，2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 错误! 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 错误! 确定f (－x ）与f (x ）的关系; 错误! 作出相应结论: 若ｆ(－x ) = f (x ) 或 f (－x ）-ｆ(x ) = 0，则f (x )是偶函数; 若ｆ(-x ） =-f (x ) 或 f (－ｘ)+f (x ) ＝ ０，则f （ｘ)是奇函数。 (3）简单性质: ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上: 奇＋奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶＝偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 ２．单调性 (1)定义:一般地，设函数ｙ=f (x )的定义域为I ，ﻩ如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2,当x 1 函数的基本性质知识点总结 函数的基本性质 基础知识： 1.奇偶性 （1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称； ②设() g x的定义域分别是12,D D，那么在它们 f x，() 的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2.单调性 （1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 数学校本课程----函数的基本性质 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. I ．函数的定义 设A ，B 都是非空的数集，f 是从A 到B 的一个对应法则.那么，从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做从A 到B 的函数.记做y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ，原象集合，A 叫做函数f (x )的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C B. II ．函数的性质 （1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集.若对任意的x ∈D ，都有f (－x )=－f (x )，则称f(x)是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (－x )=f (x ),则称f(x)是偶函数. （2）函数的增减性 设函数f (x )在区间D ′上满足：对任意x 1, x 2∈D ′，并且x 1 函数的基本性质及常用结论 一、函数的单调性 函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势,高考中常考其一下作用:比较大小，解不等式,求最值。 定义：（略） 定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212()()()0x x f x f x -->⇔ []1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数; []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212 ()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数。 定理2：（导数法确定单调区间) 若[]b a x ,∈，那么 ()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数。 1.函数单调性的判断（证明） （1）作差法(定义法） （2）作商法 (3)导数法 2。复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈,且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。 3。由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ,且I J ⋂≠∅: (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时, ①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同， ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)() f x F x g x g x =≠的增减性不能确定; （2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数,那么: ①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x = ≠、5()()(()0)() g x F x f x f x =≠的增减性不能确定;③3()()()F x f x g x =-为增函数。函数的基本性质 知识总结
函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质
高考数学-函数的基本性质
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质
函数的基本性质(对称性、周期性)
函数的基本性质(解析版)
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(完整)函数的基本性质及常用结论