带电粒子在匀强电场中的运动典型例题与练习

专题: 带电粒子在匀强电场中的运动典型题

注意：带电粒子是否考虑重力要依据情况而定

（1）基本粒子：如电子、质子、 粒子、离子等，除有说明或明确的暗示外，一般都不考虑重力（但不能忽略质量）。

（2）带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。 一、带电粒子在匀强电场中的加速运动

【例1】如图所示，在真空中有一对平行金属板，两板间加以电压U 。在板间靠近正极板附近有一带正电荷q 的带电粒子，它在电场力作用下由静止开始从正极板向负极板运动，到达负极板的速度为多大？

【例2】如图所示，两个极板的正中央各有一小孔，两板间加以电压U ，一带正电荷q 的带电粒子以初速度v 0从左边的小孔射入，并从右边的小孔射出，则射出时速度为多少？

二、带电粒子在电场中的偏转（垂直于场射入）

⑴运动状态分析：粒子受恒定的电场力，在场中作匀变速曲线运动．

⑵处理方法：采用类平抛运动的方法来分析处理——（运动的分解）．

02102v t at t ì?????í??????

垂直于电场方向匀速运动：x=沿着电场方向作初速为的匀加速：y=两个分运动联系的桥梁：时间相等 设粒子带电量为q ，质量为m ，如图6－4－3两平行金属板间的电压为Ｕ，板长为L ，板间距离为d ．

则场强U

E d ＝，

加速度qE qU

a m md

=

=

， 通过偏转极板的时间：0

L

t v =

侧移量：y =22

220

1242L U qUL at dU mdv ==

偏加 偏转角：0tan at

v q =

=20

2LU qUL dU mdv =偏加 （U 偏、Ｕ加分别表示加速电场电压和偏转电场电压）

带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点．所以侧移距离也可表示为： tan 2

L

y q =.粒子可看作是从两板间的中点沿直线射出的 q U M N q

U

v 0 v 图6－4－3

【例3】质量为m 、电荷量为q 的带电粒子以初速0v 沿垂直于电场的方向，进入长为l 、间距为d 、电压为U 的平行金属板间的匀强电场中，粒子将做匀变速曲线运动，如图所示，若不计粒子重力，则可求出如下相关量：

（1）粒子穿越电场的时间t ：

（2）粒子离开电场时的速度v

（3）粒子离开电场时的侧移距离y ： （4）粒子离开电场时的偏角?：

（5）速度方向的反向延长线必过偏转电场的中点 解：（1）粒子穿越电场的时间t ：

粒子在垂直于电场方向以0v v x =做匀速直线运动，

t v l 0=，0

v l t =

； （2）粒子离开电场时的速度v ：

粒子沿电场方向做匀加速直线运动，加速度md

qU

m qE a =

=

，粒子离开电场时平行电场方向的分速度0

mdv qUl at v y =

=，所以202

22)(mdv qUl v v v v y x +=+=。 （3）粒子离开电场时的侧移距离y ：

2

2

2221mdv qUl at y ==

（4）粒子离开电场时的偏角?：

因为20tan mdv qUl v v x y ==?，所以20

arctan mdv qUl =?。 （5）速度方向的反向延长线必过偏转电场的中点

由20tan mdv qUl =?和2

022mdv qUl y =，可推得?tan 2

l

y =。粒子可看作是从两板间的中点沿直线射出的。

三、带电粒子经加速电场后进入偏转电场

【例4】如图所示，由静止开始被电场（加速电压为1U ）加速的带电粒子平行于两正对的平行金属板且从两板正中间射入，从右侧射出，设在此过程中带电粒子没有碰到两极板。若金属板长为L ，板间距离为d 、两板间电压为2U ，试分析带电粒子的运动情况。

解：（1）粒子穿越加速电场获得的速度1v

设带电粒子的质量为m ，电量为q ，经电压1U 加速后速度为1v 。由动能定理有 2

1121mv qU =

，

m

qU v 1

12= （2）粒子穿越偏转电场的时间t ：

带电粒子以初速度1v 平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，在偏转电场中运动时间为t ，则

1

12qU m L v L t ==

（3）粒子穿越偏转电场时沿电场方向的加速度a ：

q v 0

2

带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向的加速度dm

qU m F a 2

=

'=

（4）粒子离开偏转电场时的侧移距离y ：

带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向作初速度为0的做匀加速直线运动

d

U L U L qU m dm qU at y 1222122422121=

??==

（5）粒子离开偏转电场时沿电场方向的速度为y v ： 带电粒子离开电场时沿电场方向的速度为y v ，则1

22mU q

d L U at v y ==

（6）粒子离开偏转电场时的偏角?：

设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为θ。则d

U L

U v v x

y 122tan =

=

θ

【例5】如图所示，由静止开始被电场（加速电压为1U ）加速的带电粒子平行于两正对的平行金属板且从两板正中间射入。若金属板长为L ，板间距离为d 、两板间电压为2U ，试讨论带电粒子能飞出两板间的

条件和飞出两板间时的速度方向。

分析：设带电粒子的质量为m ，电量为q ，经电压1U 加速后速度为1v 。由动能定理有 2112

1mv qU =

，m

qU v 1

12=

。 带电粒子以初速度1v 平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，若能飞出偏转电场，在电场中运动时间为t ，则1

12qU m L v L t ==

。 带电粒子在偏转电场中运动时的加速度dm

qU a 2

=

。 带电粒子飞出偏转电场时的侧移y 的最大值为2d

，则d U L U d 12242=，所以2

2122L

d U U =。由上式可知，当两极板间电压22122L d U U >时，带电粒子不可能飞出两金属板之间；当2U ≤2

2

12L d U 时，带电粒子可飞出两金

属板之间。

在满足2U ≤22

12L d U 的条件下，设带电粒子飞出两金属板之间的侧移为y ，由上面的讨论可知

d

U L U at y 12

22421=

=。 带电粒子离开电场时沿电场方向的速度为y v ，则1

22mU q

d L U at v y =

=。

设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为θ。则d

U L

U v v x

y 122tan =

=

θ。 【例6】如图6－4－10，让一价氢离子．一价氦离子和二价氦离子的混合物由静

U 1 d L

U 2 q

图6－4－10

【例7】若几种不同的带电粒子经同一加速电场1U 加速后进入同一偏转电场2U ，证明粒子的侧移位移y 、

偏转角度θ与粒子的q 、m 无关，仅取决于加速电场和偏转电场，即d U U l y 12

24= ， d U lU 1

22tan =θ.

【例8】氢核（H ）和氦核（He ）垂直射入同一匀强电场，求分别在下列情况下离开电场时它们的横向位移之比：

（1）初速相同；（2）初动能相同；（3）初动量相同；（4）先经过同一加速电场后进入偏转电场。

【例9】如图所示，电子经U 1电压加速后以速度v 0进入偏转电压为U 的电场中，电子离开电场后打在距离偏转电场为L 的屏上，试求电子打在屏上的位置与屏的中点的距离y （平行板的长度为，板间距离为d ）

【例10】如图所示，加速电场的两极板间距为d ，两极板间电压为U 1，偏转电场的平行金属板的板长，两极板间电压为U 2。设电子初速度为零经加速电场加速后以某一速度沿两板中线垂直进入偏转电场中，电子离开偏转电场后打在距离偏转电场为L 的屏上P 点，当偏转电场无电压时，电子恰好击中荧光屏上的中心点O ，当偏转电场加上偏转电压U 2时，电子打在荧光屏上的点P 。（已知电子的质量为m ，电量为e ） (1) .求电子从进入加速电场到击中恰好P 点的时间。 （2）OP 的距离。 （3）电子击中荧光屏时的速度大小。

四、带电粒子在复合场中的运动

【例11】如图6－4－6，水平方向的匀强电场中，有质量为m 的带电小球，用长L 的细线悬于O 点．当小球平衡时，细线和竖直方向成θ角,如图所示．现给小球一个冲量，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动．问：小球在轨道上运动的最小速度是多少？

【解析】方法一：设小球在图6－4－7中的Q 处时的速度为u ，则mgcosα＋qEsinα＋T ＝mu 2/L 开始小球平衡时有qE ＝mgtanθ ∴T ＝mu 2/L －mgcos(θ－α)/cosθ

可以看出，当α＝θ时，T 最小为：T ＝mu 2/L －mg/cosθ 若球不脱离轨道T≥0，所以/cos u gL q 3

所以最小速度为/cos gL q

方法二：由题给条件，可认为小球处于一个等效重力场中，其方向如图6－4－8，等效重力加速度g′＝

g/cosθ．K 为此重力场“最低点”，则图中Q 便是圆周运动“最高点”．小球在Q 有临界速度u ＝g L ￠

＝/cos gL q 时，小球恰能完成圆周运动．

图6－4－7 g ￠

g ￠

图6－4－8 图6－4－6

一、选择题

1、一带正电小球从光滑绝缘的斜面上O点由静止释放，在斜面上水平虚线ab和cd之间有水平向右的匀强电场如图所示。下面哪个图象能正确表示小球的运动轨

迹

（）

2、在空间中水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2BC，如右图所示．由此可见( )

A．电场力为3mg B．小球带正电

C．小球从A到B与从B到C的运动时间相等

D．小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小相等

3、平行板电容器两板间的电压为U,板间距离为d,一个质量为m,电荷量为q的带电粒子从该电容器的正中央沿与匀强电场的电场线垂直的方向射入,不计重力?当粒子的入射初速度为v0时,它恰好能穿过电场而不碰到金属板?现在使该粒子以v0/2的初速度以同样的方式射入电场，下列情况正确的是（）

A.该粒子将碰到金属板而不能飞出

B.该粒子仍将飞出金属板，在金属板内的运动时间将变为原来的2倍

C.该粒子动能的增量将不变

D.该粒子动能的增量将变大

4、如图所示，两块长均为L的平行金属板M、N与水平面成α角放置在同一竖直平面，充电后板间有匀强电场。一个质量为m．带电量为q的液滴沿垂直于电场线方向射人电场，并沿虚线通过电场。下列判断中正确的是( )

A.液滴在电场中做匀速直线运动

B.液滴在电场中的电势能逐渐增大

C．电场强度的大小E＝mgcosα/q D．液滴离开电场时的动能增量为－mgLsinα

5、如图所示，水平方向的匀强电场场强为E，有一带电物体P自O点竖直向上射入，它的初动能E K0=4J，当P上升至最高点M时，其动能E Km=6J，那么当它折回通过与O在同一水平线上的O′时，其动能E K为（)

A．10J B．12J C．24J D．28J

6、(2011年安徽理综)图(a)为示波管的原理图．如果在电极YY′之间所加的电压按图(b)所示的规律变化，在电极XX′之间所加的电压按图(c)所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是( )

7、如图所示，a、b、c三条虚线为电场中的等势面，等势面b的电势为零，且相邻两个等

势面间的电势差相等，一个带正电的粒子在A点时的动能为10 J，在电场力作用下从A运

动到B速度为零，当这个粒子的动能为7.5 J时，其电势能为( )

A．12.5 J B．2.5 J

C．0 D．－2.5 J

二、综合题

8、如图甲所示，A、B是一对平行放置的金属板，中心各有一个小孔P、Q，PQ连线垂直金

属板，两板间距为d．现从P点处连续不断地有质量为m、带电量为＋q的带电粒子（重力不计），沿PQ 方向放出，粒子的初速度可忽略不计．在t＝0时刻开始在A、B间加上如图乙所示交变电压（A板电势高于B板电势时，电压为正），其电压大小为U、周期为T．带电粒子在A、B间运动过程中，粒子间相互作用力可忽略不计．

（1）进入到金属板之间的带电粒子的加速度.

（2）如果只有在每个周期的0～时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，则上述物理量d、m、q、U、T之间应满足的关系．

（3）如果各物理量满足（2）中的关系，求每个周期内从小孔Q中有粒子射出的时间与周期T的比值. 9、示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形.它的工作原理等效成下列情况：如图所示,真空室中电极K发出电子（初速度不计），

经过电压为U1的加速电场后，由小孔S沿水平金属板，

A、B间的中心线射入板中.板长L，相距为d，在两板

间加上如图乙所示的正弦交变电压，前半个周期内B

板的电势高于A板的电势，电场全部集中在两板之间，

且分布均匀.在每个电子通过极板的极短时间内，电场

视作恒定的.在两极板右侧且与极板右端相距D处有一

个与两板中心线垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐

标原点相交.当第一个电子到达坐标原点O时，使屏以速度v沿-x方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回到初始位置，然后重新做同样的匀速运动.(已知电子的质量为m，带电量为e，不

（1）电子进入AB板时的初速度；

（2）要使所有的电子都能打在荧光屏上，图乙中电压的最大值U0需满足什么条件？

（3）要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，①荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置？②计算这个波形的最大峰值和长度.③并在如图丙所示的x-y坐标系

中画出这个波形.

10、如图1所示，A和B是真空中两块面积很大的平行

金属板、加上交变电压，在两板间产生变化的电场。已

知B板电势为零，在0～T时间内，A板电势U A随时间变

化的规律如图2所示，其中U A的最大值为U0，最小值为

-2U0 。在图1中，虚线MN表示与A、B板平行且等距的

一个较小的面，此面到A和B的距离皆为L。在此面所在处，不断地产生电量为q、质量为m的带负电微粒，微粒随时间均匀产生出来。微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动。设微粒一旦碰到金属板，就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压。已知在0～T时间内产生出来的微粒，最终有四分之一到达了A板，求这种微粒的比荷（q/m）。（不计微

粒重力，不考虑微粒之间的相互作用）。

11、示波器的示意图如图所示，金属丝发射出来的电子被加速后从金属板的小孔穿出，进入偏转电场．电子在穿出偏转电场后沿直线前进，最后打在荧光屏上．设加速电压U1＝1 640 V，偏转极板长l＝4 cm，偏转板间距d＝1 cm，当电子加速后从两偏转板的中央沿与板平行方向进入偏转电场．

(1)偏转电压为多大时，电子束打在荧光屏上偏转距离最大？

(2)如果偏转板右端到荧光屏的距离L＝20 cm，则电子束最大偏转距离为多少？

12、一带电平行板电容器竖直放置，如图所示．板间距d＝0.1 m，板间电势差U＝1 000 V．现从A处以速度v A＝3 m/s水平向左射出一带正电的小球(质量m＝0.02 g、电荷量为q＝10－7 C)，经过一段时间后发现小球打在A点正下方的B处，(取g＝10 m/s2)求：

(1)分别从水平方向和竖直方向定性分析从A到B的过程中小球的运动情况；

(2)A、B间的距离．

13、如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，它的极板长L＝0.1 m，两板间距离d＝0.4 cm，有一束相同的带电微粒以相同的初速度先后从两板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下极板上，微粒所带电荷立即转移到下极板且均匀分布在下极板上．设前一微粒落到下极板上时后一微粒才能开始射入两极板间．已知微粒质量为m＝2×10－6 kg，电荷量q＝1×10－8 C，取g＝10 m/s2.求：(1)为使第一个微粒的落点范围能在下极板的中点，求微粒入射的初速度v0.

(2)若带电微粒以第(1)问中的初速度v0入射，则平行板电容器所获得的电压最大值是多少？

14、为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线从A匀速运动到B，必须对该电荷施加一

个恒力F，如图所示，若AB＝0.4 m，α＝37°，q＝－3×10－7C，F＝1.5×10－4N，A点的

电势φA＝100 V．(不计负电荷受的重力)

(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势．

(2)求q在由A到B的过程中，电势能的变化量是多少？

15、（2012年2月重庆八中检测）如图所示，两平行金属板A、B长L=8cm，两板间距离d=8cm，A板比B 板电势高300V，一不计重力的带正电的粒子电荷量q＝10-10C，质量m＝10-20kg，沿电场中心线RD垂直电场线飞入电场，初速度υ0＝2×106m/s，粒子飞出平行板电场后可进入界面MN、PS间的无电场区域。已知两界面MN、PS相距为12cm，D是中心线RD与界面PS的交点。

求:（1）粒子穿过界面MN时偏离中心线RD的距离以及速度大小？（2）粒子到达PS界面时离D点的距离为多少？（3）设O为RD延长线上的某一点，我们可以在O点固定一负点电荷，使粒子恰好可以绕

O点做匀速圆周运动，求在O点固定的负点电荷的电量为多少？（静电力常数k = 9．0×109N·m2/C2，保留两位有效数字）

参考答案

一、选择题

1、

2、AD

3、AC

4、【答案】CD

【考点】粒子在电场中运动

【解析】粒子在电场中受到重力和电场力作用，重力方向竖直向下，电场力方向垂直于两极板，两个力不在同一条直线上，故合力不为零，物体不可能做匀速运动。故A错误；物体沿直线运动，所以合力方向必定与物体的运动方向同向或者反向，很明显在这合力应与物体的运动方向反向。电场力方向应垂直于虚线向上，此过程中电场力不做功，故电势能保持不变。B错误；由平行四边形定则易知，C项正确；有动能定理可知，动能的增量等于重力做功，故D项正确。

5、【答案】D【考点】动能定理

【解析】此粒子在电场中受重力和电场力作用。由O向M 运动时电场力做正功，重力做负功。此过程中应用动能定理有：,并且在竖直方向，物体做竖直上抛运动，到最高点竖直方向的分

速度为O，故，。很显然从 O到M点的时间和从M到的时间相同。在水平方向上，物体在电场力的作用下做匀加速直线运动。所以的距离等于的水平距离的四倍。故过程中电场力做功也是过程中电场力做功的四倍。即。整个过程中应用动能定理，

解得

6、解析：由图(b)及(c)知，当U Y为正时，Y极电势高，电子向Y偏，而此时U X为负，即X′极电势高，中子向X′极偏，故选B.

答案：B

7、解析：根据题意可知，带电粒子从A到B，电场力做功为－10 J(动能定理)，则带电粒子从A运动到等势面b时，电场力做功为－5 J，粒子在等势面b时动能为5 J．带电粒子在电场中的电势能和动能之和为5 J，是守恒的，当动能为7.5 J时，其电势能为－2.5 J，D对．

答案：D

二、综合题

8、解：（1）——2分

所以，——2分

（2）在0时间内，进入A、B板间的粒子，在电场力的作用下，先向右做匀加速运动，在时间内再向右做匀减速运动，且在0时间内，越迟进入A、B板间的粒子，其加速过程越短，减速运动过程也相应地缩短，当速度为零后，粒子会反向向左加速运动。由题意可知0时间内放出的粒子进入

A、B板间，均能从Q孔射出，也就是说在时刻进入A、B板间的粒子是能射出Q孔的临界状态。——2分

粒子在时刻进入A、B间电场时，先加速，后减速，由于粒子刚好离开电场，说明它离开电场的速度为零，由于加速和减速的对称性，故粒子的总位移为加速时位移的2倍，所以有

①——2分

即——2

分

（3）若情形（2）中的关系式①成立，则t＝0时刻进入电场的粒子在电场中运动的时间为最短（因只有加速过程），设最短时间为t x，则有

②——1分

在时刻进入电场的粒子在的时刻射出电场，所以有粒子飞出电场的时间为

③——1分

由②③式得④——2

分

9、（1）电子在加速电场中运动，据动能定理，有

eU1=mv12,v1=

(2)因为每个电子在板A、B间运动时，电场均匀、恒定，故电子在板A、B间做类平抛运动，在两板之外做匀速直线运动打在屏上.在板A、B间沿水平方向运动时，有 L=v1t,

竖直方向，有 y′=at2,且a=，

联立解得 y′=.

只要偏转电压最大时的电子能飞出极板打在屏上，则所有电子都能打在屏上，所以

y m′=＜,U0＜.

(3)要保持一个完整波形，需每隔周期T回到初始位置，设某个电子运动轨迹如图所示，有

tanθ=,又知y′=，联立得L′=.

由相似三角形的性质，得,

则y=,

峰值为y m=.且x1=v·T

10、加速阶段的加速度 (1)

分

在T/4时刻发射的粒子恰好到达A

板……2分

减速阶段的加速度a2=2a1，用时t=T/8

……3分……2分

11、解析：(1)要使电子束打在荧光屏上的偏转距离最大，电子经偏转电场后必须从下板

边缘出来．

eU v

电子在偏转电场中的飞行时间t1＝；电子在偏转电场中的加速度a＝＝

要使电子恰好从下极板边缘出来，应有＝at＝＝

解得偏转电压U2＝205 V.

(2)电子束打在荧光屏上最大偏转距离y＝＋y2

由于电子离开偏转电场的侧向速度v y＝at1＝

电子离开偏转电场到荧光屏的时间t2＝，y2＝v y·t2＝＝＝0.05 m

电子最大偏转距离y＝＋y2＝0.055 m.

答案：(1)205 V (2)0.055 m

12、解析：(1)在水平方向上，小球开始向左做初速度为v A的匀减速运动，速度变为零后向右做匀加速运动，直到达到B点，过程中加速度不变，由电场力提供外力．

在竖直方向上，小球向下做初速度为零的匀加速运动，直到达到B点．

(2)水平方向：电场力为F＝q，加速度a＝

小球向左运动到最远的时间为t＝＝0.06 s.

在这段时间内向左运动的距离x＝v A t－at2＝0.09 m＜0.1 m，不会撞到左壁．

小球达到B点所用时间为T＝2t

竖直方向下落距离即为所求h AB＝gT2＝7.2 cm.

答案：(1)见解析(2)7.2 cm

13、解析(1)第一个微粒进入电容器后只受重力作用，做平抛运动，所以有：＝v0t，＝gt2

解得v0＝＝2.5 m/s

(2)当平行板电容器所获得的电压最大时，进入电容器的微粒刚好从下极板的右边缘射出，有：

L＝v0t1

＝at mg－q＝ma解得U＝6 V

答案(1)2.5 m/s (2)6 V

14、解析电荷由A匀速运动到B，说明电荷受到的电场力与恒力F是一对平衡力，等大反向，又因为是负电荷，所以电场力跟场强方向相反，可以判断出场强与F同向．再根据电场线与等势面垂直，画出过A、B两点的等势线．要求B点的电势和由A到B的过程中电荷电势能的变化量，就要先求出q在由A到B的过程中电场力所做的功．

(1)电荷由A到B过程中电场力的功

W AB＝F·AB cos(180°－α)＝－4.8×10－5 J，AB两点的电势差

U AB＝＝ V＝160 V

φA－φB＝U AB＝160 V.

所以φB＝－60 V，电场线及过A、B两点的等势线如图所示．

(2)W＝qU AB＝－4.8×10－5J，q从A到B的过程中电势能增加了4.8×10－5 J

答案(1)图见解析(2)4.8×10－5 J

15、（1）粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离（侧向位移）：

L=v0t，a=qU/m， y=at2，

联立解得 y=0.03m=3cm （5分）

带电粒子的水平速度：υx=υ0=2×106m/s

竖直速度：v y=at=t=1.5×106m/s （2分）

所以υ=2.5×106 m/s (2分)

（2）带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS线交于a，设a到中心线的距离为Y。

则=解得：

Y=4y=12cm

（5分）

（3）求得半径r=15cm （2分）

k=m（2分）代入数值，得Q=1.0×10-8C （1分）