《复变函数》考试试题
伊犁师范学院数学系考试试题
课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：
考试形式：闭卷 编号：一 命题教师：
一、 判断题（4x10=40分）：
1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ）
2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0
z f z z →一定不存在。（ ）
3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( )
4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ）
5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ）
6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ）
7、若)(lim 0
z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ）
8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?
C dz z f 。（ ）
9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。
2、幂级数∑+∞
=0n n
nz 的和函数为__________。
3、设1
1
)(2+=
z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞
=0
n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n z
z e _____________。 三、计算题（8x5=40分）：
1、.)
)(9(2||2
?
=+-z dz i z z z
2、求).,1(
Res 2i z
e iz +
3、.62lim n
n i ???
? ??-∞→
4、求)2)(1(1)(--=z z z f 在
+∞<<|z |2内的罗朗展式。 5、求0154
=+-z z ，在|z |<1内根的个数。
伊犁师范学院数学系考试试题
课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：
考试形式：闭卷 编号：二 命题教师：
一、判断题（4x10=40分）：
1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。（ ）
2、有界整函数必为常数。（ ）
3、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。( )
4、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。（ ）
5、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ）
6、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。（ ）
7、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ ）
8、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。（ ）
9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 10、cos z 与sin z 的周期均为πk 2。（ ） 二、填空题（4x5=20分）
1、=-?
=-1||00)
(z z n z z dz
__________。 2、设1
1
)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________。
3、若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________。
4、=+z z 2
2cos sin _________。
5、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。
三、计算题（8x5=40分）：
1、.cos 1
1||?
=z dz z
2、求).,1(
Res 2
i z
e iz -+
3、n
n i i ???
? ??-+???? ??+2121。
4、求)2)(1(1)(--=z z z f 在
+∞<<|z |2内的罗朗展式。 5、求02822
69=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数。
伊犁师范学院数学系考试试题
课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：
考试形式：闭卷 编号：三 命题教师：
一、判断题（3x10=30分）：
1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件。（ ）
2、若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续。（ ）
3、如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0
z f z z →一定不存在。( )
4、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ ）
5、若函数f (z )=u (x ,y )+ iv (x ,y )在D 内连续，则二元函数u (x ,y )与(x ,y )。（ ）
6、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。（ ）
7、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 8、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 9、存在整函数)(z f 将复平面映照为单位圆内部。（ ）
10、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、设1
1
)(2+=
z z f ，则)(z f 的定义域为__________。 2、设C iy x y x i xy x z f ∈+?+-++=),sin(1()2()(222，则)(lim 0
z f z z →__________。 3、=+z z 22cos sin ___________。 4、设1
1
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。 5、幂级数∑∞
=0
n n nx 的收敛半径为__________
6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点。
7、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是内D _________。、
8、函数||)(z z f =的不解析点之集为________。
9、=)0,(Res n z
z
e ____________，其中n 为自然数。
10、公式x i x e ix sin cos +=称为_____________. 三、计算题（8x5=40分）：
1、设?-++=C d z
z f λλλλ1
73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 2、求??==+--+
3||1
||1)
4)(1(21sin z z z z z dz
i zdz e π。
3、设1
)(2-=z e z f z
，求).),((Re ∞z f s
4、求函数z
e 1在+∞<<||0z 内的罗朗展式。 5、求复数1
1
+-=
z z w 的实部与虚部。 6、求.21212
2
??? ??-+??? ??+i i
四、证明题（6+7+7=20分）：
1、若函数f (z )在z 0处可导，则f (z )在z 0连续。
2、若数列}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
3、设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析。
伊犁师范学院数学系考试试题
课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：
考试形式：闭卷 编号：四 命题教师：
一、判断题（3x10=30分）：
1、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ ）
2、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ）
3、若)(lim 0
z f z z →存在且有限，则z 0是函数f (z )的可去奇点。( )
4、若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠。（ ）
5、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C
dz z f 。
（ ）。
6、若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数。（ ）
7、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。（ ）
8、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(
=+n f 且,...2,1,21
)21(==n n
n f 。
（ ） 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。（ ）
10、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若n n n
i n n z )1
1(12++-+=
，则=∞→n z n lim __________。
2、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-?C n
dz z z )(1
__________。
3、函数z sin 的周期为___________。
4、函数e z 的周期为__________。
5、幂级数∑∞
=0
n n nx 的收敛半径为__________。
6、幂级数∑∞
=0
n n nx 的和函数为__________。
7、若函数f (z )在整个平面上处处解析，则称它是__________。 8、若ξ=∞
→n n z lim ，则=+++∞→n
z z z n
n (i)
21______________。
9、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________。 10、函数2
11
)(z
z f +=
的幂级数展开式为_________。 三、计算题（5x6=30分）：
1、.62lim n
n i ??? ??-∞
→ 2、设)
2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的洛朗展开式。
3、设1
)(2-=z e z f z
，求).),((Re ∞z f s
4、求函数)2sin(3z 的幂级数展开式。
5、求函数63
sin z
z 在+∞<<||0z 内的罗朗展式。
6、求复数1
1
+-=
z z w 的实部与虚部。 四、证明题（6+7+7=20分）
1、设∞是函数f (z )的可去奇点且C A z f z ∈=∞
→)(lim ，试证：
))((lim )),((Re A z f z z f s z --=∞∞
→。
2、若整函数f (z )将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ，则)(0)(C z z f ∈?≡。
3、证明0364=+-z z 方程在2||1< 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：五 命题教师： 二、 判断题（3x10=30分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、有界整函数必在整个复平面为常数。（ ） 3、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点。( ) 4、若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析。（ ） 5、若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛。（ ） 6、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。（ ） 7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 8、存在整函数f (z )将复平面映照为单位圆内部。（ ） 9、若函数f (z )是区域D 内的解析函数，且在D 内的某个圆内恒等于常数，则f (z )在区域D 内恒等于常数。（ ） 10、)(1|sin |C z z ∈?≤。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-? C n dz z z )(1 __________。 2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则 =+→)(lim 1z f i z _________。 3、函数e z 的周期为__________。 4、设2 11 )(z z f += ，则)(z f 的孤立奇点有__________。 的收敛半径为_________。 5、幂级数∑∞ =0n n nx 的和函数为____________。 6、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的 _____________。 7、若ξ=∞ →n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________。 8、=)0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数。 9、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________。 10、函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为__________。 三、计算题（5x6=30分）： 1、设)2)(1(1 )(--=z z z f ，求)(z f 在 }1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式。 2、求??==+--+ 3||1 ||1) 4)(1(21sin z z z z z dz i zdz e π。 3、求函数)2sin(3z 的幂级数展开式。 4、求函数z e 1在+∞<<||0z 内的罗朗展式。 5、求方程14258=+-z z z 在单位圆内零点的个数。 6、求n n i ?? ? ??+∞ →21lim 。 四、证明题（6+7+7=20分） 1、设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析。 2、如果函数)(z f 在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则 )1|(|1|)(|≤≤z z f 。 3、证明：方程014258=-+-z z z 在开单位圆内根的个数为5。 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：六 命题教师： 一、判断题（3x10=30分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。（ ） 2、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 3、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件。( ) 4、若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠。（ ） 5、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。 （ ） 6、若函数f (z )是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 7、若)(0)('D z z f ∈?≠，则函数f (z )在是D 内的单叶函数。（ ） 8、若z 0是f (z )的m 阶零点，则z 0是1/ f (z )的m 阶极点。（ ） 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。（ ） 10、)(1|sin |C z z ∈?≤。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若n n n i n n z )1 1(12++-+= ，则=+∞→n z z lim __________。 2、设11 )(2+=z z f ，则)(z f 的定义域为__________。 3、函数sin z 的周期为___________。 4、=+z z 22cos sin ________。 5、幂级数∑+∞ =0n n nz 的收敛半径为_____________。 6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 7、若函数f (z )在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f (z )=|z |的不解析点之集为__________。 9、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为_________。 10、公式x i x e ix sin cos +=称为__________。 三、计算题（5x6=30分）： 1、.62lim n n i ?? ? ??-∞ → 2、设?-++=C d z z f λλλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 3、设1 )(2-=z e z f z ，求).),((Re ∞z f s 4、求函数63 sin z z 在∞<<||0z 内的罗朗展式。 5、求复数1 1 +-=z z w 的实部与虚部。 6、求i e 3 π -的值。 四、证明题（6+7+7=20分） 1、方程0169367=-++z z z 在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则二元函数),(y x u 与),(y x v 都在D 内连续。 3、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：七 命题教师： 一、判断题（3x10=24分）： 1、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ ） 2、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 3、如果z 0是f (z )的极点，则)(lim 0 z f z z →一定存在且等于无穷大。( ) 4、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。 （ ） 5、若函数f (z )是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 6、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 7、若z 0是f (z )的m 阶零点，则z 0是1/ f (z )的m 阶极点。（ ） 8、)(1|sin |C z z ∈?≤。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若11 sin (1)1n n z i n n =++-，则lim n n z →+∞=__________。 2、设2()1z f z z =+，则)(z f 的定义域为__________。 3、函数z e 的周期为___________。 4、=+z z 22cos sin ________。 5、幂级数2 20n n n z +∞ =∑的收敛半径为_____________。 6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 7、若函数f (z )在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f (z )=|z |的不解析点之集为__________。 9、方程833380z z z -++=在单位圆内的零点个数为_________。 10、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题（5x6=30分）： 1、.62lim n n i ?? ? ??-∞ → 2、设?-++=C d z z f λλλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 3、设2()1 z e f z z =+，求Re ((),).s f z i ± 4、求函数 (1)(2) z z z --在1||2z <<内的罗朗展式。 5、求复数1 1 +-= z z w 的实部与虚部。 6、利用留数定理计算积分：20,(1).cos dx a a x π>+? 四、证明题（6+7+7=20分） 1、方程0169367=-++z z z 在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析， ),(y x u 等于常数，则()f z 在D 内恒等于常数。 3、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。 五、计算题（10分）： 求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{:||1,Im 0}z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{:||1}w w <。 第七套参考答案与评分标准 一、1、错；2、错；3、对；4、对；5、对；6、对；7、对；8、对；9、错；10、错。 二、1、ie ；2、z i ≠±；3、2i π；4、1；5、1；6、m -1；7、整函数；8、整复平面； 9、0个；10、11n n =≠时，1，时，0。 三、1、arg 25lim lim 0.66n n n in z n n i e →∞ →∞-????== ? ????? 2、当||3z <时，2()2(371)f z i z z π=++， 2分 所以'()2(67)f z i z π=+， 4分 因此'(1)2{6(1)7}2(613)f i i i i ππ+=++=-+。 5分 3、2Re ((),)lim ()lim ,12z z i z i z i e e e s f z i z i z z i i →→=-==++ 3分 2Re ((),)lim ()lim ,12z z i z i z i e e e s f z i z i z z i i →-→-=+==-+- 5分 4、 21,(1)(2)21 z z z z z =----- 2分 021,21/22n n z z z ∞ =??=-=- ?--??∑ 3分 0 1 ,1n n z z ∞==-∑ 4分 所以000 1(1).(2)(1)22n n n n n n n z z z z z z ∞∞∞ ===??=--=-+ ?--??∑∑∑ 5分 5、2221(1)(1)||1 1|1||1|z z z z z z w z z z --++--===+++ 2分 222 ||12Im |1||1|z z i z z -=+++ 3分 所以，22||1Re ,|1|z w z -= +2 2Im Im .|1|z w z =+ 5分 6、设ix z e =，则1 ,cos ,2 dz z z dx x iz -+== ix z e = 1分 所以2120||1||12,cos 21 2 z z dz dx dz iz i z z a x z az a π-====-+++++ ??? 3分 222||11224Res(,.21211z dz i a z az z az a ππ=-=-+=++++-? 5分 四、1、设673()9,()61,f z z g z z z ==+- 2分 则在||1z =上，有673|()|9||98||6||1|()|,f z z z z g z ==>=++= 4分 应用儒歇定理，得结论成立。 6分 2、由函数()f z 的解析性，得(,),(,)u x y v x y 在D 内可微， 2分 又因为(,)u x y 等于常数，所以 (,)(,) 0,0,u x y u x y x y ??==?? 3分 再利用Cauch-Riemann 条件，得 (,)(,) 0,0,v x y v x y x y ??==?? 5分 所以结论成立。 7分 3、由于z 0是)(z f 的m 阶零点，所以11()()()...m m m m f z a z z a z z ++=-+-+2分 因此，1()()(()...)()(),m m m m m f z z z a a z z z z g z +=-+-+=- 3分 ()g z 在z 0解析，并且0()0g z ≠， 4分 所以 11 (),()() m z z f z g z -=- 6分 即结论成立。 7分 五、首先用分式线性映射111z z z +=-将原区域变为第三象限的区域13arg 2 z π π<<； 3分 再由221z z =将上述区域变为上半平面2Im 0z >； 6分 最后用映射22z i w z i -= +将上半平面变为单位圆||1w <； 9分 因此2 21( )1.1()1 z i z w z i z +--=++- 10分 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：八 命题教师： 一、判断题（2x10=20分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。（ ） 2、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 3、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。( ) 4、若函数f (z )在区域D 内解析，并且)(0)('D z z f ∈?≠，则f (z )是区域D 内的单叶函数。（ ） 5、若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。（ ） 6、若函数f (z ) 在单连通区域D 内的每一点均可导，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 7、若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数。（ ） 8、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11( =+n f 且,...2,1,21 )21(==n n n f 。 （ ） 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。（ ） 10、sin z 是一个有界函数。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若n n n i n n z )1 1(12++-+= ，则=+∞→n z z lim __________。 2、设()Ln f z z =，则)(z f 的定义域为__________。 3、函数sin z 的周期为___________。 4、若ξ=∞ →n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________。 5、幂级数5 n n nz +∞ =∑的收敛半径为_____________。 6、函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为_________。 7、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-? C n dz z z )(1 __________。 8、函数f (z )=|z |的不解析点之集为__________。 9、方程53215480z z z -++=在单位圆内的零点个数为_________。 10、设2 11 )(z z f += ，则)(z f 的孤立奇点有__________。 三、计算题（5x6=30分）： 1、求??==+--+ 3||1 ||1) 4)(1(21sin z z z z z dz i zdz e π。 2、设?-++=C d z z f λλλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 3、设2()1 z e f z z =+，求Re ((),).s f z i 4、求函数 2 10 (1)(2) z z z +--||z <<+∞内的罗朗展式。 5、求复数1 1 +-= z z w 的实部与虚部。 6、利用留数定理计算积分201 2sin dx x π+?。 四、证明题（6+7+7=20分） 1、方程7653155610z z z z +++-=在单位圆内的根的个数为7。 2、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析， (,)v x y 等于常数，则()f z 在D 内恒等于常数。 3、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。 五、计算题（10分）： 求一个单叶函数，去将z 平面上的区域4 {:0arg }5z z π<<保形映射为w 平面的单 位圆盘{:||1}w w <。 第八套试题答案与评分标准 一、1、对；2、错；3、对；4、错；5、对；6、对；7、对；8、错；9、对；10、错。 二、1、1ie -+；2、0z ≠；3、2π；4、ξ；5、1；6、20(1)n n n z +∞ =-∑；7、 11n i n π=≠时，2，时，0。；8、整复平面；9、5个；10、,.n i =±∞ 三、1、11 ||1 ||3111 sin 0|.2(1)(4)43 z z z z dz e zdz i z z z π+===+ =+=----? ? 2、当||3z <时，2()2(371)f z i z z π=++， 2分 所以'()2(67)f z i z π=+， 4分 因此'(1)2{6(1)7}2(613)f i i i i ππ+=++=-+。 5分 3、2Re ((),)lim ()lim ,12z z i z i z i e e e s f z i z i z z i i →→=-==++ 4、 2210111112,(1)(2)11 z z z z z z +-+=+---- 2分 1 01111,111/n n z z z z -∞=??== ?--?? ∑ 3分 22 20 11121112(),1n n z z z z z ∞-=+=+-∑ 4分 所以1 21 22200 101111112.(2)(1)n n n n n n n z z z z z z -∞ ∞ ∞ ----===+?? =-++ ? --?? ∑∑∑ 5分 5、22 21(1)(1)||1 1|1||1|z z z z z z w z z z --++--===+++ 2分 222||12Im |1||1|z z i z z -=+++ 3分 所以，22||1Re ,|1|z w z -= +2 2Im Im .|1|z w z =+ 5分 第一部分 选择题 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1． 复数i 25 8-2516z =的辐角为（ ） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ） A ． 圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 3．复数)5 ,-isin 5-3(cos z π π=的三角表示式为（ ） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则（ ） A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ） A ．4π － B ． 1,0,k ,4 2k ±=ππ－ C ．4 π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03 argz 0<< 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式： 复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准 复变函数与积分变换期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i -的幅角是（Λ2,1,0,23 ±±=+-k k ππ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π+ ）；3. 211)(z z f += ， =)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- (1) 3 + 2/ (3) l-2z 2-i 3 — 4, 57 习题1复数与复变函数 1.求下列复数的实部、虚部、共侧复数、模以及辐角: (2) 2.将下列复数化为三角表示式和指数表示式: (1)一1 +病 (2) l-cosQ + isin。 3.求下列各式的值: ⑴呻 (2) (V3-O2015 4.设z = x +，y.将方程|z| + Rez = l表示为关于x,)，的二元方程，并说明它是何种曲线. 5.设/为实参数，求曲线Z = M"+3(0 证明 z 2 —Z x = Z 2 — z 3 = Z3 — Z] 7.如果复数Z] ,Z 9 Z3满足等式 二至—Z3 一 z 3 - z, z 2 并说明这些等式的儿何意义。 8 .试用复数乘法的儿何意义证明三角形内角之和等于;T. 习题2解析函数 1.填空： ■f a (1)、已知/(z) = u + iv是解析函数，其中u = —ln(x2 + y2),则一^ = _________ 2 dy (2)^ 设/(z) = %3-3xy2 + (ajcy-y3)i在z平面上解析，则《/ =。 (3)、若/(z) = w + iv是复平面上的解析函数，则f'(z) = ____________ 尸 - --------------------------- ° (4)、对数函数W = lnz的解析区域为。 (5)Z JZ(—2) =、In(—2) = . 2.利用导数定义推出：(Z〃)' = "Z〃T, 3.下列函数何处可导？何处解析? (1 )> /(z) = 2x3 + 3y3i 2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业: 二、 填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1 p269第六章习题(一) [ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ] 7.从 Ceiz /√zdz出发，其中C是如图所示之周线(√z沿正实轴取正值)，证明：(0, +)cosx/√xdx= (0, +)sinx/√xdx=√(/2)． 【解】| C(R)eiz /√zdz| C(R)| eiz |/R1/2 ds = [0,/2]| ei(cos+isin) |/R1/2 ·R d Ri = [0,/2]| e Rsin |R1/2 d R R1/2 [0,/2]e Rsin d． 由sin2/([0,/2] )，故R1/2 [0,/2]e Rsin d R1/2 [0,/2]e(2R/) d C r ri = (/(2R1/2 ))(1–e R )/(2R1/2 所以，| C(R)eiz /√zdz|0 (asR+)．rR而由| C(r)eiz /√zdz|(/(2r1/2 ))(1–e r ) 知| C(r)eiz /√zdz|0 (asr0+ )． 当r0+ ，R+时， [r,R]eiz /√zdz= [r,R]eix /√xdx= [r,R](cosx+isinx)/√xdx (0, +)cosx/√xdx+i (0, +)sinx/√xdx． [ri,Ri]eiz /√zdz= [r,R]ei(iy) /√(iy)idy= [r,R]e y ei/4 /√ydy． = (1 +i)/√2 · [r,R]e y /√ydy= 2(1 +i)/√2 · [√r,√R]e u^2 du (1 +i)√2 · (0, +)e u^2 du= (1 +i)√2 ·√/2 = (1 +i)√(/2)．由Cauchy积分定理， Ceiz 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i （ ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 第一章复习题 1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（ ） A. -2 B. 1 C. 8 D. 14 2. z=2-2i ，|z 2 |=（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. 8 3. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（ ） A.x 2-y 2+2xy B.x 2-y 2-2xy C.x 2+y 2+2xy D.x 2+y 2-2xy 5. arg(2-2i)=（ ） A.43π- B.4π- C.4π D.4 3π 6．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3 arg π = w B ．6 arg π = w C ．6 arg π - =w D ．3 arg π - =w 7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z z +=_ ，则a 2+b 2的值（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1 D ．大于1 8．设1 1z i = -+，则z 为（ ） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（ ） A. e 2+2x B. e |2i+2z| C. e 2+2z D. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（ ） A. e 2x B. e y C. e 2x cosy D. e 2x siny 11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 12. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 13 .下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D.π<<π2z arg 2 3 14.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 15.下列集合为有界单连通区域的是（ ） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1 D. π≤<πargz 2 1 16．下列集合为有界闭区域的是（ ） A ．0< arg (z+3)≤ 2 π B ．Re (z-i)<1 C ．1≤Imz ≤2 D ． 1≤||z i -≤4 1．第1题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：1.0 此题得分：1.0 2．第2题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 3．第3题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 4．第4题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 5．第5题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 6．第6题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：1.0 此题得分：1.0 7．第7题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 8．第8题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 9．第9题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 10．第10题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2.0 此题得分：2.0 11．第11题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2.0 此题得分：2.0 12．第12题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2.0 此题得分：2.0 13．第13题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 14．第14题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 15．第15题 A.. B.. C.. D.. 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：一 命题教师： 一、 判断题（4x10=40分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。（ ） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题（8x5=40分）： 第二章解析函数 1-6 题中： （1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。 （1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y). 证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 ， ， 解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2复变函数试题2
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