初一数学上册第一章与第二章知识点与习题

第一章：有理数

一、有理数 知识点1：负数

⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。。。）

⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，，3 (4)

-）

⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0 例题：

例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。

《

例2：收入—2000元，表示 。

知识点2有理数：整数和分数统称为有理数。 ⑴ 定义： 例题：

1、7

6

%,

5,260,2001,0,120.1,100020,- ,3

1 -?--??，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。 知识点3．数轴

数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可

1、写出数轴上A,B,C,D,E 各点表示的数，并用“>”号连接起来。

/

2、写出大于—4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。 知识点4：相反数 例题：

a>0 -a<0 a=0 -a=0 a<0 -a>0

1、（1）与a 互为相反数，那么a= 。

、

（2）a-1的相反数是 。

（3）若-x 的相反数是，则x= 。

（4）如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是-2，那么m+n= 。 知识点5：绝对值

1、几何意义：在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。

a a>0

2︱a ︱= 0 a=0

-a a<0

…

例题：

1、实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系

是 ．

2、在数轴上表示a 、 b 、 c 三个数的点的位置如图所示，化简式子：|a － b |+|a

－ c |－| c － b |.

c 0 a b

知识点6：倒数

（1） 定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 即：a,b 互为倒数?ab=1

`

注：倒数等于本身的数是1，-1。 例题：

1、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且c ＝–l ，求c

b a cd

c 2)(2||2+-+的值．

2、下列说法正确的是 。

①只有1的倒数等于它的本身。②－的倒数是。③零没有倒数。④的倒数是10。

a

o

⑤任何一个有理数a 的倒数都等于a

1。⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。 知识点7．有理数大小比较 例题：

1、实数a,b 在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b 的大小关系。

`

2、因为

-

32-，所以，31- 3

2- 3、若x

#

重点：先确定符号，再计算 例题：

1、下列说法正确的是

①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。③两个有理数的和可能为0。④两个有理数的和可能等于其中一个加数。⑤若a 与-2互为相反数，则a+(-2)=0。 2、如果|x|=2,|y|=3, 则 ①x,y 同号，x+y= ②x,y 异号，

x+y= 2．有理数的减法

法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

【

字母表示为： a-b=a+(-b)

例题：

下列说法正确的是。

①在有理数的减法中，被减数不一定比减数或差大。②两个相反数相减得零。③零减去一个数，仍得这个数。④负数减去正数，差为负数。⑤较小的数减去较大的数，所得的差一定为负。

3、有理数的加减混合运算

（1）步骤：现将式子写成代数和的形式，再按加法法则进行计算，适当的应用加法运算律

例题：

1、某校购回面粉10袋，每袋50千克，入库时又重新称量，结果如下，（超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）。+，，+,0,,+,,,+。问：①该校共买进面粉多少千克②平均每袋面粉重多少③平均每袋面粉比标准量多还是少

'

4、有理数的乘法

（1）有理数的乘法法则

注:ab>0?a,b同号。 ab<0?a,b异号。

（2）乘法运算律

乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac

例题：

1、如果|a|=2,|b|=3,且ab<0,求3a+2b的值。

：

2、下列说法正确的是。

①一个数与1的积等于它本身。②一个数与-1的积是它的相反数。③如果ab=0，则一定有a=b=0。④一个有理数和它相反数的积一定为负。⑤积比每个因数都大。

3、如果三个数的积为负数，则这几个数中有个负因数。

5．有理数的除法

（1）法则

①除以一个数等于乘以这个数的倒数。【注】0不能做除数。

即：)0(1

a ≠?=÷

b b

a b

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于的数，都得零。

~

（2）乘除混合运算时，先变除为乘，再按照乘法计算 例题：

1、()=

???

??-?-÷32327

121118362??÷+-= ??? 6、有理数的乘方

（1）定义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数。

=???????a a a a n a

n 个

特别的，当ａ＝１时，有()()

221

11

11

n

n --=-=-

（n=1,2,3.....)

—

例题：

1、3x 表示（ ）

（A ）3x （B ）x x x ++ （C ）x x x ?? （D ）3x + 2、2010)1(-的值是（ ）

A ．1

B ．—1

C ．2010

D ．—2010

7、有理数的混合运算

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。

{

（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 例题：

1、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，求20092008a a +的值。

2、用3，-5,7，-13这四个数，进行加、减、成、除运算，每个数字用一次，使其结果为24。

3、3

22143655314?

??

??-+??? ??-?-??? ??-÷-

8、科学记数法

（1）定义：一个大于10的数记成n

a 10?的形式。其中,101<≤a n 是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。

（2）10的指数n 确定方法：①等于原数的整数位数减1；②等于小数点向右移动的位数。

#

（3）一般的，10的n 次幂，在1的后面有n 的0。 例题：

1、 用科学记数法表示下列各数：

（1）1万= ； 1亿= ； （2）= ； 76500000-= . 2、下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数

8561005.7,102.3,101?-??

3、月球轨道呈椭圆形,近地点平均距离为363300千米,远地点平均距离为405500千米 , 用科学记数法表示 : 近地点平均距离为 ，远地点平均距离为__________.

\

4、3

)5(-×40000用科学记数法表示为( )

×10

5

B.－125×10

5

C.－500×10

5

D.－5×106

9、近似数和有效数字

（1）有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

（2）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。 （3）对于较大的数取近似数时，结果一般要用科学记数法表示，不看幂，只看

a

1、（1）025.0有 个有效数字，它们分别是 ；

]

（2）320.1有 个有效数字，它们分别是 ； （3）61050.3?有 个有效数字，它们分别是 . 2、按照括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0238.0（精确到001.0）；（2）605.2（保留2个有效数字）；

（3）605.2（保留3个有效数字）； （4）20543（保留3个有效数字）.

3、下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位有几个有效数字

.

;4.132)1( （2）0572.0； （3）31008.5?

第二章：整式加减

单项式

一、定义：数与字母乘积的代数式。（单独的一个数或单独的一个字母也是单项式）

重点提醒：

单项式中不能含有加、减运算，只含有乘法、乘方运算和数字作为分母的除法运

算，其中分母（除数）不能为0，分母不能为字母。如： 是单项式， 不

是单项式。

例：在代数式4

,3x

a ,y +2,－5m 中_____为单项式，_____为多项式.

二、单项式的系数

单项式包括数字因数和字母因数两个方面，其中数字因数叫单项式的系数。

ab 3 a+b 3 —

1 5+6

重点提醒：

（1）单项式的系数包括数字前面的符号。如-5x2y 单项式的系数为-5

；

（2）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 三、单项式的次数

单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

重点提醒：

（1）单项式的次数仅仅与字母有关，单个字母的次数是1，单独一个非零数的次数是0

比如，单项式b 次数为1；单项式-6次数为0；单项式7×102ab2c 次数为4，与102无关

（2）在单项式中系数与数字因数有关，次数与字母因数有关。 （3）为什么单独一个非零数的次数是0

`

〈1〉在单项式的次数表示所有字母的指数和，单独一个非零数所指的是一个常

数项，常数项里面没有字母，所以常数项的次数是0。

〈2〉 “单独一个”指单项式，“非零数”指常数，“次数”是所有字母的指数和，

“0“指所有字母的指数都是0

比如单项式-6，也可以看成是-6×a0=-6×1=-6，所以单独一个非零数的次数是0

例、－2

32y

x 的系数是_____，次数是_____.

多项式

一、

@

二、

定义：几个单项式的和叫多项式，多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。

例：下列说法正确的是（ ）．

A ．整式就是多项式

B ． 是单项式

C．x4+2x3是七次二项次 D．31

5

x

是单项式

二、多项式的次数

多项式的次数：在一个多项式中，次数最高的项的次数叫这个多项式的次数

《

重点提醒：

（1）多项式中，每个单项式叫多项式的项，项包括它前面的符号。

如:多项式x3+x2y-xy-6，它的项包括x3、x2y、-xy、-6

（2）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数。

如：多项式x3+x2y-xy-6，它是三次四项式，最高次项是x3、x2y

其中特别关注含x的最高次项是x3，含x的最高次项的系数是1（x3的系数）（3）多项式没有系数概念，但对多项式中的每一项来说都有系数。

（4）多项式有加减运算，而单项式则没有。

~

（5）多项式是由单项式组成，因此，它们的代数式中都不含有字母的分母。

例：多项式－3x2y2+6xyz+3xy2－7是_____次_____项式，其中最高次项为_____.

整式的加减

1、整式的加减法实质是合并同类项，基本步骤：（1）去括号；（2）合并同类项当算式中没有同类项时，这个算式就是运算的最后结果。

（1）、同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。

|

（2）、合并同类项：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项

同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。重点提醒：

(1)去括号法测：括号前是“-”号时，切记去掉括号后，原括号内的各项都要改变符号。

(2)合并同类项前一定要先判断谁与谁是同类项，项数很多时，我们通常在同类项下面做上相同的标记。

同底数幂的乘法

同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：=am+n

重点提醒：

?

(1)当含有负号时，先进行符合号运算，以确定积的符号。=-=-x8

(2)数乘以幂的积的乘法是根据乘法的交换律和结合律进行变形，化成数与数相乘，幂与幂相乘的，最后求其积。如(4×108)××103)=(4××108×103=×1011=×1012(科学计数法)

(3)在同底数幂的乘法运算时，一定要弄清底数是什么，指数是什么，是不是同底数幂。

(4)公式中的底数a可以是单独一个数或字母，也可以是单项式或多项式。

(5)单独一个字母，其次数是1。比如=a1+3=a4

(6)底数为和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看成一个整体。

比如（a+b）2.(a+b)3=（a+b）2+3=（a+b）5

(7)当底数不同，但满足底数互为相反数时，可以通过转化的方法变成同底数幂。(

比如(x-5y)3.(5y-x)4=(x-5y)3.(x-5y)4=(x-5y)7

幂的乘方

运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。(am)n=,逆运算=(am)n

重点提醒：

幂的乘方与同底数幂的乘法综合运算时，应先算乘方，再算乘法，处理性质符合问题十分关键，注意不能因“小符号”而误“大结果”。

比如a.(a2)3.(-a2)=×3.(-a2)=-积的乘方

积的乘方：等于每一个因数乘方的积。

步骤：先把每个因式乘方，然后把所得的幂相乘。(ab)n=anbn，逆运算anbn=(ab)n ；

重点提醒：

应用积的乘方法则时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方；注意系数及系数符号，“—”不可忽略。如(-3x）3=(-3）3 x3=-27 x3

`

~

.

~

测试题

~

七年级数学上册第一章有理数单元测试

姓名班级得分

一、选择题：（每题2分、计26分） 1（ ）、a,b,c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是 （Ａ）a+b<0 （Ｂ）a+c<0

（Ｃ）a －b>0 （Ｄ）b －*

2（ ）有理数-31的相反数是 Ａ、3 Ｂ、-3 Ｃ、 -

31 Ｄ、3

1

3（ ）、在-2，-3，-4，0四个数中，最小的一个是

A 、-2

B 、-3

C 、-4

D 、0

4 ( )、若m 与n 互为相反数，则结论一m+n=1定成立的是：

A 、m-n=0

B 、m+n=1

C 、m+n=0

D 、mn=0

5（ ）、计算：（

41+61-2

1

）×24的结果是 Ａ、-2 Ｂ、-1 Ｃ、2 Ｄ、１

{

6（ ）、每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远，它距地球的距离约为千米，

将0千米用科学记数法表示为

A ．×910千米

B ．×810千米

C ．15×710千米

D ．×710千米 7（ ）、计算： -36/-4的结果是

Ａ、9 Ｂ、-9 Ｃ、91 Ｄ、-9

1

8( )、下列说法正确的是

A ．0不能做除数

B ．0不能做被除数

C ．0可以做除数

D ． 0既不能做除数，也不能做被除数 9（ ）、下列说法正确是． !

A ．绝对值最小的数是1

B ．绝对值最小的数0

C ．绝对值最大的数是1

D ． -1是最大的负数 10（ ）、-4的倒数是 A ．

41 B ．-41 C ． 21 D ．-2

1

11（ ）、（-2）2003

的值为． A ．-2003

2

B ．2003

2

C ．-

D ．2004

2

12（ ）、多个因数相乘，积的符号由（ ）确定 A ．负因数的个数 B ．正因数的个数

：

C ．所有因数的个数

D ． 不能确定 13（ ）、一对相反数的积是

A 、正数

B 、0

C 、负数

D 、0或负数 二.填空题：（每题3分、计57分）

1、如果数轴上的点A 对应的数为，那么与A 点相距3个单位长度的点所对应的有理数为

___________。 2、倒数是它本身的数是 ；相反数是它本身的数是 ；绝对值是它本身的数是 。

3、a 的相反数是 ，|-3|的相反数是 ，用科学记数法表示0应记作 . %

4、已知9,a -=那么a -的相反数是 .；已知9a =-，则a 的相反数是 .

5、观察下列算式：

，

，

，

请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：.

6、如果|x ＋８|＝５，那么x ＝ 。

7、计算：-

/25*85（-4

1

）= 。 8、0既不是 .也不是 .

9、 .和 统称为有理数。

《

10、 、 和 是数轴的三要素。

11．在数轴上，与原点的距离是3的点表示的数为 .

三、规律探究（27分）

1、下面有8个算式，排成4行2列

；

2＋2， 2×2

3＋

23， 3×23 4＋34， 4×3

4

5＋

45， 5×4

5 ……， ……

（1）同一行中两个算式的结果怎样 （2）算式2005＋

20042005和2005×2004

2005

的结果相等吗 （3）请你试写出算式，试一试，再探索其规律，并用含自然数n 的代数式表示这一规律。

（5分）

'

2、你能很快算出2

2005吗（5分）

为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的正整数的平方，任意一个个位数为5的正整数可写成10n ＋5（n 为正整数），即求()2

105n +的值，试分析1n =，2，3……这些简单情形，从中探索其规律。

⑴通过计算，探索规律:

215225=可写成()10011125??++；

225625=可写成()10022125??++；

~

2351225=可写成()10033125??++； 2452025=可写成()10044125??++；

………………

2755625=可写成________________________________

2857225=可写成________________________________

⑵根据以上规律，试计算2

105=

(

3（5分）

已知32211124

=??;33221129234

+==??;

（1）猜想填空：

（2）计算①

②23+43+63+983+……+1003

·

4已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2， 求2||

4321

a b m cd m ++-+的值．

（5分）

—

*5已知02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x ，

求代数式200320022

12222x x x x +--- 的值．（7分）

|

1、观察等式：1＋3＝4＝2 2，1＋3＋5＝9＝3 2 ，1＋3＋5＋7＝16＝4 2

，1＋3＋5＋7＋9

＝25＝5 2

，…… 猜想：（1） 1＋3＋5＋7…＋99 ＝ ；

(2) 1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）＝ _____________ . （结果用含n 的式子

表示，其中n =1,2,3,……）。

2、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，

－11；21；－31；4

1

； ； ；……；第2003个数是 。

/

一、填空题

1.－2

32y x 的系数是_____，次数是_____.

2.多项式－3x 2y 2

+6xyz +3xy 2

－7是_____次_____项式，其中最高次项为_____.

|

3.在代数式

4

,3x

a ,y +2,－5m 中_____为单项式，_____为多项式. 4.三个连续奇数，中间一个是n ，第一个是_____，第三个是_____，这三个数的和为_____. 5.(－x 2

)(－x )2

·(－x )3

=_____. 6.( )3=－(7×7×7)(m ·m ·m ) 7.( )2

=x 2－

2

1

x +_____. 8.(－102

)÷50

÷(2×10)0

－－2

=_____. 9.(a －b )2

=(a +b )2

+_____.

10.化简：4(a +b )+2(a +b )－5(a +b )=_____.

）

+y =－3,则

3

2

－2x －2y =_____. 12.若3x

=12，3y

=4，则27

x －y

=_____.

13.［4(x +y )2

－x －y ］÷(x +y )=_____. 14.已知(9n )2

=38

,则n =_____.

15.(x +2)(3x －a )的一次项系数为－5，则a =_____. 16.( )÷(－6a n +2b n

)=4a

n －2b n －1

－2b n －2.

17.用小数表示×10－4

=_____. 用科学记数法表示为_____.

，

19.计算：［(－2)2

+(－2)6

］×2－2

=_____. 20.［－a 2

(b 4)3

］2

=_____. 二、选择题

21.下列计算错误的是( )

·5x 2

=20x 4

·3y 4

=15y 12

C.(ab 2)3

=a 3b

6

D.(－2a 2)2=4a 4

22.若a +b =－1,则a 2

+b 2

+2ab 的值为( ) B.－1 D.－3 23.若与

3

4a x

b 的和仍是单项式，则正确的是( ) —

=2,y =0 =－2,y =0 =－2,y =1

=2,y =1

24.如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都( ) A.小于6

B.等于6

C.不大于6

D.不小于6

25.下列选项正确的是( ) －(－2ab )=7ab B.－x －x =0 －(m +n －x )=－m －n D.多项式a 2

－

21a +41是由a 2，21a ，4

1

三项组成的 26.下列计算正确的是( ) A.(－1)0

=－1 B.(－1)－1

=1 －3

=3

21a D.(－a 3)÷(－a )7

=41a

27.(5×3－30÷2)0

=( )

C.无意义

28.下列多项式属于完全平方式的是( ) －2x +4 +x +

4

1 －xy +y 2

－4x －1

29.长方形一边长为2a +b ，另一边比它大a －b ，则长方形周长为( ) +2b

+b +b

－b

30.下列计算正确的是( ) ÷5a 5

=2a 2

+3

÷x

n －2

=x n +1

C.(a －b )2

÷(b －a )=a －b D.－5a 4b 3

c ÷10a 3b 3

=－2

1

ac 三、解答题

－2a 2

－(－4a +a 2

+3b )+a 2

32.(a +b －c )(a －b －c ) 33.(2x +y －z )2

34.(x －3y )(x +3y )－(x －3y )2

×99 －113×111

21－2(x －31y 2)+(－23x +31y 2),其中x =－1,y =2

1. 39.已知A =－4a 3

－3+2a 2

+5a ,B =3a 3

－a －a 2

,求:A －2B . 40.已知x +y =7,xy =2,求①2x 2

+2y 2

的值；②(x －y )2

的值.

41.一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2

，求这个正方形的边长.

四、计算

1.用乘法公式计算：143

2×153

1.

2.－12x 3y 4÷(－3x 2y 3)·(－3

1xy ).

3.(x －2)2(x +2)2·(x 2+4)2.

4.(5x +3y )(3y －5x )－(4x －y )(4y +x ) 五、解方程(组)

1.(3x +2)(x －1)=3(x －1)(x +1).

2.??

???=--+=--+23),)(()3()2(22y x y x y x y x 六、比较

比较下面算式结果的大小(在横线上选填“>”“<”“=”) 42+32 2×4×3 (－2)2+12 2×(－2)×1

62+72 2×6×7 22+22 2×2×2

通过观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明. 七、求值题

1.已知(x －y )2=36

625,x +y =6

7,求xy 的值.

2.已知a －b =2,b －c =－3,c －d =5,求代数式(a －c )(b －d )÷(a －d )的值. 八、证明

当x ,y 为实数，且x +y =1时，x 3+y 3－xy 的值是非负数.