函数与方程的含参零点问题

函数与方程的含参零点问题

?方法导读

函数与方程问题常以基本初等函数或分段函数为载体,考查函数零点的存在区间、确定零点的个数、参数的取值范围、方程的根或函数图象的交点等问题.函数与方程不仅考查考生计算、画图等方面的能力,还考查考生函数与方程、数形结合及转化化归等数学思想的综合应用.在解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来.

?高考真题

【·天津卷理·】已知,函数,若关于的方程

恰有个互异的实数解,则的取值范围是______.

?解题策略

本题属于分段函数的零点问题,所以需要分类讨论:

当时,由,推出,

当时,由,推出,

再分别画出它们的图象,由图象可知,

当直线和的图象有两个不同的交点,而直线和

的图象无交点时满足条件.

?解题过程

当时,由,得,

当时,由,得,

令,作出直线,函数的图象如图所示,

的最大值为,由图象可知,若恰有个互异的实数解,则

,得.

?解题分析

1.求函数零点问题,是高考试卷中的热点问题,这类问题要通过学生的直观想

象能力,画出函数图象求解比较直观、易理解;

2.本题由求解问题,通过变形转化为求和

的问题,然后通过图象可以顺利求解;

3.分类讨论思想贯穿整个高中阶段的数学学习中,在每年的高考试卷做题中都

会出现,尤其是解决综合题型时,很多学生不知道该如何分类讨论,所以学生在

平时的训练中要有意识的加以培养和应用.

?拓展推广

1.判断函数零点个数的常见方法

(1)直接法:解方程,方程有几个解,函数就有几个零点;

(2)图象法:画出函数的图象,函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数;

(3)将函数拆成两个常见函数和的差,从而

,则函数的零点个数即为函数与函数

的图象的交点个数;

(4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式来判断.

2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法

(1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间

上;

(2)利用零点存在性定理进行判断;

(3)画出函数图象,通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断.

3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法

(1)把函数零点问题转化为方程根的问题

利用函数的零点方程的根,把求函数零点的相关问题转化为求方程根的问题,通过方程的根所满足的条件建立不等式来解决问题.

(2)把函数零点问题转化为函数图象与坐标轴的交点问题

利用函数的零点函数的图象与轴的交点,把函数零点的相关问题转化为图象与坐标轴的交点问题,再利用数形结合的思想方法来解决问题.

(3)把零点问题分离变量后转化为函数值域问题

将函数零点问题先转化为方程根的问题,然后进行变量分离,将参数分离出来转化为求函数值域问题,这种方法思路简洁,学生容易想到.

(4)把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题

将函数零点的个数问题通过等价转化为两个函数图象的交点个数问题,再借助图象找出所满足的条件,建立不等式或不等式组是解决与函数零点相关问题的重要策略.

变式训练1

【·全国Ⅰ卷理·】已知函数.若存在个零点,则的取值范围是( )

A

B

C

D

变式训练2

【·天津理·】已知函数,函数,其中,若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )

A

B

C

D

变式训练3

【·重庆文·】已知函数, 且在内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )

A

B

C

D

变式训练4

【·天津卷理·】已知函数=(,且)在上单调递减,且关于的方程恰好有两个不相等的实数解,则的取值范围是( )

A

B

C

D

变式训练5

【·浙江·】已知函数,函数恰有个零点,则( )

A ,

B ,

C ,

D ,

答案

变式训练1

C

函数存在个零点,即关于的方程有个不同的实根,即函数的图象与直线有个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,

由图可知,,解得,故选C.

变式训练2

D

由,得,

所以,

即,

,所以恰有个零点等价于方程

有个不同的解,即函数与函数

的图象的个公共点,由图象可知.

变式训练3

A

在内有且仅有两个不同的零点就是函数

的图象与函数的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数

和函数的图象,如图,

当直线与和都相交时;当直线与有两个交点时,

由,消元得,即,

化简得,当,即时直线

与相切,当直线过点时,,所以

,综上实数的取值范围是.

变式训练4

D

当时,单调递减,必须满足,故,此时函数在上单调递减,若在上单调递减,还需,即,所以;当时,函数的图象和直线只有一个公共点,即当时,方程只有一个实数解;因此,只需当时,方程只有一个实数解,根据已知条件可得,当时,方程

,即在上恰有唯一的实数解,判别式

,当时,,此时满足题意,令

,由题意得,即,即时,方程

有一个正根、一个负根,满足要求,当,即时,方程

有一个为、一个根为,满足要求;当,即,即时对称轴,此时方程有两个负根,不满足要求;综上实数的取值范围是.

变式训练5

C ,

法一(特殊值法):令成立.

法二(导数法):函数恰有个零点转化为

与三个不同的交点.

(1)当时,,无论取何值,与不可能有三个不同交点.

(2)当时,在上单调递减,,易得

在上单调递减,在上单调递减,无论取何值,与不可能有三个不同交点.

(3)当时,,

结合(2)得,

则, 与有三个不同交点.

(4)当时,结合(2)知在上是单调递增,无论取何值,与不可能有三个不同交点.

综上所述,.